2025年冀教版九年级数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年冀教版九年级数学下册月考试卷516考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、若n为正整数，则等于（）A.-1B.1C.±1D.2n+12、计算错误的是（）A.（-2012）0=1B.C.D.（32）2=813、（2004•深圳）抛物线过点A（2，0）、B（6，0）、C（1，）；平行于x轴的直线CD交抛物线于点C；D，以AB为直径的圆交直线CD于点E、F，则CE+FD的值是（）

A.2

B.4

C.5

D.6

4、如图，⊙O的半径是2，直线与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A.B.C.D.5、如图；⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）

A.B.C.D.6、如图，在鈻�ABC

中，隆脧CAB=65鈭�

将鈻�ABC

在平面内绕点A

旋转到鈻�AB隆盲C隆盲

的位置，使CC隆盲//AB

则旋转角的度数()

A.35鈭�

B.40鈭�

C.50鈭�

D.65鈭�

7、【题文】如图，抛物线经过点（－1，0），对称轴为：直线则下列结论中正确的是（）

A.＞0B.当时，y随x的增大而增大C.＜0D.是一元二次方程的一个根8、下列结论中，不正确的是（）A.两点确定一条直线B.两点之间，直线最短C.等角的余角相等D.对顶角相等9、下列运算中，正确的是()A.a6÷a2=a3B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、计算：=____．11、（2015•福州校级模拟）如图，直角△ABC的直角边AB的长为6cm，∠C=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中两三角形重叠部分的面积等____cm2．12、“五一”期间；新华都商场贴出促销海报（图3）．在商场活动期间，小美同学随机调查了部分参与活动的顾客，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中的信息回答下列问题：

（1）王莉同学随机调查的顾客有____人；

（2）请将统计图1补充完整；

（3）在统计图2中，“0元”部分所对应的圆心角是____度；

（4）若商场每天约有2000人次摸奖；请估算商场一天送出的购物券总金额是多少元？

13、若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则一次函数y=kx﹣k（k≠0）的图象经过____象限．14、如图，等腰直角三角形ABC

顶点A

在x

轴上，隆脧BCA=90鈭�AC=BC=22

反比例函数y=4x(x>0)

的图象分别与ABBC

交于点DE.

连结DE

当鈻�BDE

∽鈻�BCA

时，点E

的坐标为________。15、某公司有15名员工，他们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表所示：。部门人数每人创年利润（万元）A140B110C25D44.2E22.5F23.5G32.4根据表中提供的信息：

（1）该公司每人所创年利润的平均数是____万元．

（2）该公司每人所创利润的中位数是____万元．

（3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平？答：____（请填“平均数”或“中位数”）评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)16、2条直角边分别相等的2个直角三角形全等____（判断对错）17、．____（判断对错）18、平分弦的直径垂直于弦____．（判断对错）19、x＞y是代数式（____）20、角的平分线上的点到角的两边的距离相等21、了解某渔场中青鱼的平均重量，采用抽查的方式____（判断对错）22、圆心相同的两个圆是同心圆．____（判断对错）23、等腰梯形、直角梯形是特殊梯形．____（判断对错）评卷人得分四、证明题(共4题，共36分)24、用反证法证明：若二次方程8x2-（k-1）x+k-7=0有两个不等实数根，则两根不可能互为倒数．25、如图：△ABC分别以AC；BC为边向外作等边△ACD；等边△BCE．连接BD、AE交于点F．试说明：

（1）AE=BD；

（2）∠AFD=60°．26、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．求证：△ABF≌△DAE．27、如图；在△ABC中，∠BAC的平分线是AP，PQ是线段BC的垂直平分线，PN⊥AB于N，PM⊥AC于M．

求证：BN=CM．评卷人得分五、作图题(共1题，共6分)28、数学的英语单词为mathematical，画出第一个大写字母M绕着原点顺时针旋转90°，180°，270°后的图形，并计算出OA点所在运动的过程扫过的面积．评卷人得分六、综合题(共4题，共36分)29、已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+3（a≠0）交x轴于A；B两点；交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2．

（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）若点P（0；t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：

探究一：如图1；设△PAD的面积为S，令W=t•S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；

探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（参考资料：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴是直线x=）

30、如图，抛物线y=x2与直线y=2x在第一象限内有一交点A．

（1）你能求出点A的坐标吗？

（2）在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．31、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax（x-2）（0＜a＜4）与x轴交于O，A两点，顶点为M，对称轴交抛物线y=（4-a）x2于点B；连接OB，AB，OM，AM，四边形OMAB面积为s．

（1）试说明a=2时；四边形OMAB是菱形．

（2）当a的值分别取1；2，3时，分别计算s的值，将其填入如表。

。a123s（3）将抛物线y=ax（x-2）（0＜a＜4）改为抛物线y=ax（x-2m）（0＜a＜4），其他条件不变，当四边形OMAB为正方形时，a=____，m=____．

（4）将抛物线y=ax（x-2）（0＜a＜4）改为抛物线y=ax（x-2m）（0＜a＜4），其他条件不变，s=____（用含m的代数式表示）32、在平面直角坐标中，抛物线y=ax2-3ax-10a（a＞0）分别交x轴于点A；B（点A在点B左侧）；交y轴于点C，且OB=OC．

（1）求a的值；

（2）如图1；点P位抛物线上一动点，设点P的横坐标为t（t＞0），连接AC；PA、PC，△PAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）如图2，在（2）的条件下，设对称轴l交x轴于点H，过P点作PD⊥l，垂足为D，在抛物线、对称轴上分别取点E、F，连接DE、EF，使PD=DE=EF，连接AE交对称轴于点G，直线y=kx-k（k≠0）恰好经过点G，将直线y=kx-k沿过点H的直线折叠得到对称直线m，直线m恰好经过点A，直线m与第四象限的抛物线交于另一点Q，若=，求点Q的坐标．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】【分析】首先由n为正整数，可得2n+1为奇数，由此可得等于-1．【解析】【解答】解：∵n为正整数；

∴2n+1为奇数；

∴=-1；

故选A．2、B【分析】【分析】分别根据0指数幂、立方根、负整数指数米及有理数乘方的运算法则进行计算即可．【解析】【解答】解：A、∵-2012≠0，∴（-2012）0=1；故本选项正确；

B、∵（-3）3=-27，∴=-3；故本选项错误；

C、∵（）-1==2，∴=2；故本选项正确；

D、∵（32）2=34，34=81，∴（32）2=81；故本选项正确．

故选B．3、B【分析】

由题意得：

D点坐标为（7，）；

如图；G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H．

则GH=EG=2；

则EH==1

∴CE+FD=CD-EF=CD-2EH=6-2=4．

故选B．

【解析】【答案】根据题意；G为直径AB的中点，连接GE，过G点作GH⊥CD于H．知CE+FD=CD-EF=CD-2EH，分别求出CD，EF即可．

4、C【分析】试题分析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=．故选：C．考点：1．垂径定理；2．圆周角定理．【解析】【答案】C．5、D【分析】【解答】解：连结OA；OB；如图1；

∵OA=OB=1；AB=1；

∴△OAB为等边三角形；

∴∠AOB=60°；

∴∠APB=∠AOB=30°；

∵AC⊥AP；

∴∠C=60°；

∵AB=1；要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大；

∵∠ACB=60°；

∴点C在⊙D上；且∠ADB=120°；

如图2；

当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2=

∴△ABC的最大面积为．

故选D．

【分析】连结OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为AB=1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周角定理判断点C在⊙D上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．6、C【分析】【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

根据两直线平行，内错角相等可得隆脧ACC隆盲=隆脧CAB

根据旋转的性质可得AC=AC隆盲

然后利用等腰三角形两底角相等求隆脧CAC隆盲

再根据隆脧CAC隆盲隆脧BAB隆盲

都是旋转角解答．【解答】解：隆脽CC隆盲//AB

隆脿隆脧ACC隆盲=隆脧CAB=65鈭�

隆脽鈻�ABC

绕点A

旋转得到鈻�AB隆盲C隆盲

隆脿AC=AC隆盲

隆脿隆脧CAC隆盲=180鈭�鈭�2隆脧ACC隆盲=180鈭�鈭�2隆脕65鈭�=50鈭�

隆脿隆脧CAC隆盲=隆脧BAB隆盲=50鈭�

．

故选C．【解析】C

7、D【分析】【解析】

试题分析：根据二次函数图象的开口方向向下可得a是负数，所以A选项错误；根据二次函数的增减性可得B选项错误；与y轴的交点在正半轴可得c是正数，所以C选项错误；根据抛物线的对称轴结合与x轴的一个交点的坐标可以求出与x轴的另一交点坐标，也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；从而得解．故选D．

考点:①二次函数图象与系数的关系；②二次函数的性质；③抛物线与x轴的交点．【解析】【答案】D.8、B【分析】【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，可以确定“两点之间，直线最短”是错误的．【解析】【解答】解：A；公理；不符合题意．

B；两点之间；线段最短，符合题意．

C；等角的余角相等；不符合题意．

D；对顶角相等；不符合题意．

故选：B．9、C【分析】解：A、a6÷a2=a6-2=a4；错误；

B、=错误；

C、+==1；正确；

D、=错误；

正确的是C．故选C．【解析】【答案】C二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的龄次幂等于1，可得答案．【解析】【解答】解：原式=+1=；

故答案为：．11、略

【分析】【分析】B′C′交AC于D，如图，利用互余得∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AB′=AB=6，∠BAB′=15°，∠AB′C′=∠B=90°，则∠B′AD=45°，于是可判断△AB′D为等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式计算出S△AB′D即可．【解析】【解答】解：B′C′交AC于D；如图；

∵∠B=90°，∠C=30°，

∴∠BAC=60°；

∵△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′；

∴AB′=AB=6；∠BAB′=15°，∠AB′C′=∠B=90°；

∴∠B′AD=60°-15°=45°；

∴△AB′D为等腰直角三角形；

∴B′D=AB′=6；

∴S△AB′D=×6×6=18（cm2）．

即图中两三角形重叠部分的面积等于18cm2．

故答案为18．12、略

【分析】【分析】（1）根据5元的有40人；占总人数的20%即可求得总人数；

（2）利用总人数减去其它奖项的人数即可求得获奖20元的人数；即可作出统计图；

（3）利用“0元”部分所占的比例乘以360度即可求解；

（4）求出平均获奖金额然后乘以总人数2000即可求解．【解析】【解答】解：（1）王莉同学随机调查的顾客人数是：40÷20%=200（人）；

故答案是：200；

（2）获奖是20元的人数：200-120-40-10=30（人）；

补图如下：

（3）“0元”部分所对应的圆心角是：×360=216°；

故答案是：216；

（4）根据题意得：

×2000=13000（元）；

答：商场一天送出的购物券总金额是13000元．13、一、二、四【分析】【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（1；﹣3），∴k=1×（﹣3）=﹣3＜0；

∴一次函数解析式为y=﹣3x+3，根据k、b的值得出图象经过一；二、四象限．

故答案为：一；二、四．

【分析】由题意知，k=1×（﹣3）=﹣3＜0，所以一次函数解析式为y=﹣3x+3，根据k，b的值判断一次函y=kx﹣k的图象经过的象限．14、(2+102,10鈭�2)【分析】【分析】此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垄脵

三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；垄脷

两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；垄脹

两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

此题还考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垄脵

图象上的点(x,y)

的横纵坐标的积是定值k

即xy=k垄脷

双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；垄脹

在图象中任取一点，过这一个点向x

轴和y

轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

首先设点D

的坐标是(m,4m)

点E

的坐标是(n,4n)

应用待定系数法求出直线AB

的解析式是多少；然后根据鈻�BDE

∽鈻�BCA

可得隆脧BDE=隆脧BCA=90鈭�

推得直线y=x

与直线DE

垂直，再根据点DE

关于直线y=x

对称，推得mn=3

最后根据点D

在直线AB

上，求出点n

的值是多少，即可判断出点E

的坐标是多少.

【解答】解：如图1

隆脽

点DE

是反比例函数y=4x(x>0)

的图象上的点；

隆脿

设点D

的坐标是(m,4m)

点E

的坐标是(n,4n)

又隆脽隆脧BCA=90鈭�AC=BC=22

隆脿C(n,0)B(n,22)A(n鈭�22,0)

设直线AB

的解析式是：y=ax+b

则{a(n鈭�22)+b=0an+b=22

解得{a=1b=22鈭�n

隆脿

直线AB

的解析式是：y=x+22鈭�n

．

又隆脽鈻�BDE

∽鈻�BCA

隆脿隆脧BDE=隆脧BCA=90鈭�

隆脿

直线y=x

与直线DE

垂直；

隆脿

点DE

关于直线y=x

对称；

隆脿m+n2=4m+4n2

隆脿mn=4

或m+n=0(

舍去)

又隆脽

点D

在直线AB

上；

隆脿4m=m+22鈭�nmn=4

整理；可得。

2n2鈭�22n鈭�4=0

解得n=2+102

或n=2鈭�102(

舍去)

隆脿

点E

的坐标是(2+102,10鈭�2).

故答案为(2+102,10鈭�2).

【解析】(2+102,10鈭�2)

15、略

【分析】【分析】（1）根据平均数的求法易得；

（2）观察表格；求中位数可将一组数据从小到大依次排列，中间数据（或中间两数据的平均数）即为所求；

（3）因为该组数据中数据40异常，影响了该组数据的一般水平，所以应使用中位数来描述该公司每人所创年利润的一般水平．【解析】【解答】解：（1）==6.4（万元）

即该公司每人所创年利润的平均数是6.4万元．

（2）将数据排列（从小到大）发现正中间的数据为4.2；

故该公司每人所创年利润的中位数是4.2（万元）．

（3）因为该组数据中数据40异常；影响了该组数据的一般水平；

所以应使用中位数来描述该公司每人所创年利润的一般水平．三、判断题(共8题，共16分)16、√【分析】【分析】利用“SAS”进行判断．【解析】【解答】解：命题“2条直角边分别相等的2个直角三角形全等”是真命题．

故答案为√．17、×【分析】【分析】根据二次根式的除法，可化简二次根式．【解析】【解答】解：==；

故错误；

故答案为：×．18、×【分析】【分析】直接根据垂径定理进行解答即可．【解析】【解答】解：∵当被平分的弦为直径时；两直径不一定垂直；

∴此结论错误．

故答案为：×．19、×【分析】【分析】本题虽为判断题，但实质上仍是代数式的判定问题，根据代数式的定义进行判定即可．【解析】【解答】解：x＞y为不等式；不是代数式，故错误．

故答案为：×．20、√【分析】【解析】试题分析：根据角平分线的性质即可判断.角的平分线上的点到角的两边的距离相等，本题正确.考点：角平分线的性质【解析】【答案】对21、√【分析】【分析】根据抽样调查和全面调查的区别以及普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解析】【解答】解：了解某渔场中青鱼的平均重量；采用抽查的方式是正确的；

故答案为：√．22、×【分析】【分析】根据同心圆的定义进行判断．【解析】【解答】解：圆心相同；半径不等的两个圆是同心圆．

故答案为×．23、√【分析】【分析】根据等腰梯形的定义以及直角梯形的定义判断即可．【解析】【解答】解：等腰梯形：两个腰相等的梯形叫等腰梯形叫做等腰梯形；所以可以得出：等腰梯形是特殊的梯形；

直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形；

由此可知等腰梯形；直角梯形是特殊梯形；所以原说法是正确的；

故答案为：√．四、证明题(共4题，共36分)24、略

【分析】【分析】首先假设若二次方程8x2-（k-1）x+k-7=0有两个不等实数根，且两根互为倒数，进而利用根与系数的关系得出k的值，再利用根的判别式得出矛盾，问题得证．【解析】【解答】证明：假设若二次方程8x2-（k-1）x+k-7=0有两个不等实数根；且两根互为倒数；

设两根为x1，x2，由题意可得：x1•x2==1；

解得：k=15；

故8x2-（15-1）x+18-7=0

即4x2-7x+4=0

则b2-4ac=49-64=-15＜0；

此方程无实数根；故假设不成立，原命题正确；

即若二次方程8x2-（k-1）x+k-7=0有两个不等实数根，则两根不可能互为倒数．25、略

【分析】【分析】（1）易证△ACE≌△DCB；根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；

（2）根据△ACE≌△DCB可得∠CDB=∠CAE，即可求得∠AFD=60°，即可解题．【解析】【解答】解：（1）∵∠ACD=∠BCE=60°；

∴∠BCD=∠ACE；

在△ACE和△DCB中；

；

∴△ACE≌△DCB（SAS）；

∴AE=BD；

（2）∵△ACE≌△DCB；

∴∠CDB=∠CAE；

∵∠FDA+∠FAD=（∠CDA-∠CDB）+（∠CAD+∠CAE）；

∴∠FDA+∠FAD=∠CDA+∠CAD=120°；

∴∠AFD=180°-120°=60°．26、略

【分析】【分析】由正方形的性质知，AB=DA，由同角的余角相等知，∠BAF=∠ADE，又有∠AFB=∠DEA=90°，故根据AAS证得△ABF≌△DAE．【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形；

∴AB=DA；∠BAF+∠DAE=90°

∵∠ADE+∠DAE=90°；

∵∠BAF=∠ADE；

在△ABF与△DAE中

；

∴△ABF≌△DAE．（8分）27、略

【分析】【分析】连接PB、PC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PM=PN，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PB=PC，然后利用“HL”证明Rt△PMC和Rt△PNB全等，最后根据全等三角形对应边相等证明即可．【解析】【解答】证明：如图；连接PB；PC；

∵AP是∠BAC的平分线；PN⊥AB于N，PM⊥AC于M；

∴PM=PN；∠PMC=∠PNB=90°；

∵PQ是线段BC的垂直平分线；

∴PB=PC；

在Rt△PMC和Rt△PNB中，；

∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL）；

∴BN=CM．五、作图题(共1题，共6分)28、略

【分析】【分析】利用网格特点和旋转的性质，分别画出大写字母M绕着原点顺时针旋转90°，180°，270°后5个顶点的对应点的位置，从而得到旋转的图形，然后根据扇形面积公式计算OA所扫过的面积．【解析】【解答】解：如图；大写字母M绕着原点顺时针旋转90°，180°，270°后的图形如图所示；

OA==；

所以OA在运动的过程中扫过的面积==π．六、综合题(共4题，共36分)29、略

【分析】【分析】（1）由抛物线的对称轴求出a；就得到抛物线的表达式了；

（2））①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM-SAOP-SDMP得到t的表达式；从而W用t表示出来，转化为求最值问题．

②难度较大；运用分类讨论思想，可以分三种情况：

（1）当∠P1DA=90°时；（2）当∠P2AD=90°时；（3）当AP3D=90°时；思路搞清晰问题就好解决了．【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2．

∴；

∴；

∴．

∴D（-2；4）．

（2）探究一：当0＜t＜4时；W有最大值．

∵抛物线交x轴于A；B两点；交y轴于点C；

∴A（-6；0），B（2，0），C（0，3）；

∴OA=6，OC=3．（4分）

当0＜t＜4时；作DM⊥y轴于M；

则DM=2；OM=4．

∵P（0；t）；

∴OP=t；MP=OM-OP=4-t．

∵S三角形PAD=S梯形OADM-S三角形AOP-S三角形DMP

=

=

=12-2t（6分）

∴W=t（12-2t）=-2（t-3）2+18

∴当t=3时，W有最大值，W最大值=18．

探究二：

存在．分三种情况：

①当∠P1DA=90°时；作DE⊥x轴于E，则OE=2，DE=4，∠DEA=90°；

∴AE=OA-OE=6-2=4=DE．

∴∠DAE=∠ADE=45°，；

∴∠P1DE=∠P1DA-∠ADE=90°-45°=45度．

∵DM⊥y轴；OA⊥y轴；

∴DM∥OA；

∴∠MDE=∠DEA=90°，

∴∠MDP1=∠MDE-∠P1DE=90°-45°=45度．

∴P1M=DM=2，．

此时；

又因为∠AOC=∠P1DA=90°；

∴Rt△ADP1∽Rt△AOC；

∴OP1=OM-P1M=4-2=2；

∴P1（0；2）．

∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC；

此时P1点的坐标为（0；2）

②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°；

∴；

∴．

∵；

∴．

∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．（12分）（结论（1分）；过程1分）

③当∠AP3D=90°时，以AD为直径作⊙O1，则⊙O1的半径；

圆心O1到y轴的距离d=4．

∵d＞r；

∴⊙O1与y轴相离．

不存在点P3，使∠AP3D=90度．

∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．30、略

【分析】【分析】（1）利用解方程组可得到A点坐标；

（2）需要分类讨论：AP=AO、OA=OP、AP=OP，根据等腰三角形的性质来求点P的坐标．【解析】【解答】解：（1）解方程组得或；

所以A点坐标为（2；4）；

（2）①当AP=AO时；作AB⊥x轴于B点，如图1；

当PB=OB时；△AOP是以OP为底的等腰三角形；

而A（2；4）；

所以P点坐标为（4；0）．

②当OA=OP时，∵A（2，4），

∴OA==2；

则P（±2；0）；

③当AP=OP时；如图2，过点P作PQ⊥AO于点Q．

设P（t；0）．

则Q（1；2）．

故OA•PQ=OP×4，即×2×=t×4；

解得t=5；

即（5；0）．

综上所述，符合条件的点P的坐标是（4，0）或（2，0）或（-2，0）或（5，0）．31、24m3【分析】【分析】（1）由抛物线y=ax（x-2）（0＜a＜4）与x轴交于O；A两点，可求得点A的坐标，继而求得对称轴，则可求得点M与点B的坐标，继而证得结论；

（2）分别求得当a的值分别取1；2，3时，B与M的坐标，即可求得答案；

（3）由抛物线y=ax（x-2m）（0＜a＜4）与x轴交于O，A两点，首先可求得点A的坐标，继而求得对称轴，则可求得点M与点B的坐标，由四边形OMAB为正方形，可得方程组；继而求得答案；

（4）结合（2）与（3），即可求得答案．【解析】【解答】解：（1）设OA与BM交于点C；

∵a=2；

∴抛物线的解析式为：y=2x（x-2）（0＜a＜4）；

∵其与x轴交于O；A两点；

∴O（0；0），A（2，0）；

∴对称轴为：直线x=1；

∴顶点M的坐标为：（1；-2）

∵a=2；

∴y=2x2；

∵对称轴交抛物线y=（4-a）x2于点B；

∴y=2，

∴点B的坐标为：（1；2）；

∴OC=AC=1；BC=MC=1；

∴四边形OMAB是平行四边形；

∵OA⊥BM；

∴四边形OMAB是菱形；

（2）当a=1时，M的坐标为：（1，-1），点B的坐标为：（1，3），S=S△OAB+S△OAM=OA•BC+OA•CM=×2×3+×2×1=4；

当a=2时，M的坐标为：（1，-2），点B的坐标为：（1，2），S=S△OAB+S△OAM=OA•BC+OA•CM=×2×2+×2×2=4；

当a=3时，M的坐标为：（1，-3），点B的坐标为：（1，1），S=S△OAB+S△OAM=OA•BC+OA•CM=×2×1+×2×3=4；

故答案为：4；4，4；

（3）∵抛物线y=ax（x-2m）（0＜a＜4）与x轴交于O；A两点；

∴点A的坐标为：（0；2m）；

∴对称轴为：直线x=m；

∴顶点M的坐标为：（m，-am2）；

则点B的坐标为：（m，（4-a）m2）；

若四边形OMAB为正方形，则；

解得：

故答案为：2，；

（4）由（3）得：S=S△OAB+S△OAM=OA•BC+OA•CM=×2m×（4-a）m2+×2m×am2=4m3．

故答案为：4m3．32、略

【分析】【分析】（1）令y=0；求出x轴交点坐标，再用OB=OC求出C点坐标，代入抛物线方程即可；

（2）先求出直线AC解析式；再用t表示出PN代入面积公式计算即可；

（3）依次求出直线AE的解析式为y=-x-2，直线WG的解析式为y=3x-8，直线KH的解析式为y=-2x+3，直线AV的解析式为y=-x-，即可．【