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文档简介
山东省实验中学2019届(西校区)高三11月模拟考试
数学试卷(理)
一、单选题
1.已知集合”={工|/—2%—3W0},N={y\y=3—cosx),则MnN=()
A.[2,3]B.(1,2]C.12,3)D.0
2.已知%€R,i为虚数单位,若复数2=/+务2+(工+2万为纯虚数,则%的值为()
A.±2B.2C.-2D.0
3.已知等比数列{an}中,a2a3a4=La6a7a8=64,则a4a5a6=()
A.±8B.-8C.8D.16
4.如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任
意选3个月的数据进行分析,则这3个月中至少有一个月利润(利润印攵入-支出)不低于
40万的概率为()
5.我国古代《九章算术》里,记载了一个“商功”的例子:今有刍童,下广二丈,袤三丈,
上广三丈,袤四丈,高三丈.问积几何?其意思是:今有上下底面皆为长方形的草垛(如图
所示),下底宽2丈,长3丈;上底宽3丈,长4丈;高3丈.问它的体积是多少?该书提
供的算法是:上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘,同样下底长的2倍与上底长的和与
下底宽相乘,将两次运算结果相加,再乘以高,最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为
()
A.13.25立方丈B.26.5立方丈C.53立方丈D.106立方丈
6.已知偶函数/(%)在区间(0,+8)上单调递增,且Q=Iogs2,b=ln2,c=—2°」,则
满足()
A./(b)Vf(a)</(c)B./(c)</(a)</(b)
C./(c)<f(b)</(a)D.f(a)<f(b)<f(c)
7.某几何体的正视图与侧视图如图所示,则它的俯视图不可能是()
8.若运行如图所示的程序框图,输出的九的值为127,则输入的正整数九的所有可能取值的
个数为()
/输入〃/
/输出//
(结束)
A.8B.3C.2D.1
9.己知点分别在正方形力BCD的边BC,CD上运动,且砺=(或,&),设|CE|=x,\CF\=
y,若|而-荏|=|荏I,则x+y的最大值为()
A.2B.4C.2yf2D.4鱼
10.已知函数/(x)=V3sinojx-2cos?亨+l(co>0),将/(%)的图象向右平移中(0V0Vm
个单位,所得函数g(x)的部分图象如图所示,则@的值为()
11.若函数y=/(x)满足:①f(%)的图象是中心对称图形;②若%w。时,/•(%)图象上的点
到其对称中心的距离不超过•个正数M,则称f(x)是区间。上的“M对称函数”.若函数f(x)=
(%+I)3+m(m>0)是区间[-4,2]上的“3m对称函数”,则实数m的取值范围是()
A.[V82,+00)B.[3^,+oo)C.(-oo,V82]D.(V82,+oo)
12.已知双曲线。:“2一卷=1(匕>0)的左、右焦点分别为尸],尸2,点P是双曲线C上的任意一
点,过点尸作双曲线C的两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于4B两点,若四边形
P40B(。为坐标原点)的面积为近,且听•抽>0,则点P的横坐标的取值范围为()
A.(_8,一用u(字,+8)B.(-字手)
C.(_时呼)U管,+8)D.(呼4
二、填空题
13.已知tana=2,则则”—=_______
sin4a
14.已知抛物线C:y=Q%2的焦点坐标为(0,1),则抛物线C与直线y=x所围成的封闭图形的
面积为.
(y2一1,
15.已知实数%,y满足不等式组卜%+y-4<0,则目标函数z=4/+丫?的最大值与最小值
(2x-y-1>0,
之和为.
16.在44BC中,。为48的中点,NACO与4CBD互为余角,AD=2,AC=3,则sinA的值
为■
三、解答题
71+1
17.已知数列{册}的前几项和多恰好与(1一与的展开式中含厂2项的系数相等.
(1)求数列{3J的通项公式;
⑵记b刀=(-l)nW,数列{%}的前n项和为一,求72n.
sn
18.在矩形/BCD中,AB=3,力。=2,点E是线段CD上靠近点。的一个三等分点,点F是
线段4D上的一个动点,且而=4而(OWAMI).如图,将/8CE沿BE折起至48EG,使得平
面BEG1平面ABED.
(1)当2=:时,求证:EF1BG;
(2)是否存在2,使得FG与平面OEG所成的角的正弦值为:?若存在,求出2的值;若不存
在,请说明理由.
19.春节过后,某市教育局从全市高中生中抽去了100人,调查了他们的压岁钱收入情况,
按照金额(单位:百元)分成了以下几组:[40,50),成0,60),[60,70),[70,80),[80,90),
[90,100].统计结果如下表所示:
fflM[40.50)(S0.60)[60,70)[70.80)(S0.90)[90,100]
S20n3010$
该市高中生压岁钱收入Z可以认为服从正态分布N(〃,14.42),用样本平均数歹(每组数据取区
间的中点值)作为〃的估计值.
(1)求样本平均数工;
(2)求P(54.1VZV97.3);
(3)某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动,并针对该市的高中生制定了赠送“读
书卡”的活动,赠送方式为:压岁钱低于〃的获赠两次读书卡,压岁钱不低于〃的获赠一次读
书卡.已知每次赠送的读书卡张数及对应的概率如下表所示:
读书冬(幽位*张,12
1
现从该市高中生中随机抽取一人,记V(单位:张)为该名高中生获赠的读书卡的张数,求
y的分布列及数学期望.
参考数据:若Z〜则尸(4一。<Z<〃+o)=0.6826,P(〃-20Vz<〃+2。)=
0.9544.
20.己知椭圆=Ka>b>0)的上顶点为点D,右焦点为尸2(1,0).延长OF?交椭圆。于
点E,且满足|。尸2|=3尸2矶.
(1)试求椭圆C的标准方程:
(2)过点尸2作与工轴不重合的直线,和椭圆C交于4B两点,设椭圆C的左顶点为点H,且直
线H4H8分别与直线%=3交于M,N两点,记直线FzM'N的斜率分别为自也,则自与心之
积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,试说明理由.
21.已知函数f(%)=Inx-mx+2(mER).
(1)若函数/(%)恰有一个零点,求实数m的取值范围;
(2)设关于x的方程f(x)=2的两个不等实根石,也,求证:(其中c为自然对数的
底数).
22.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的参数方程为「:匕二誓仇(。为参数,r>0).
(y-rsin(/
以原点。为极点,%轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线1的极坐标方
程是psin("9=l.
(1)若直线1与圆C有公共点,试求实数r的取值范围;
(2)当丁=2时,过点。(2,0)且与直线呼行的直线r交圆。于48两点,求|看一看|的值.
23.已知函数/(切=|2%+1|+反一1|.
(1)解不等式/'(外工3;
(2)若函数g(x)=|2%-2018-。|+|2%-2019|,若对于任意的必ER,都存在&WR,
使得/(右)=9(不)成立,求实数a的取值范围.
【参考答案】
I.A
【解析】集合M=(x\x2-2x-3<0}=[-1,3],集合N=[y\y=3-cosx]=[2,4],则历n
N=[2,3],故选A.
2.B
【解析•】复数z=/+4i2+(%+2)i为纯虚数,则卜2一?=?,解得x=2,故选B.
(%+2H0
3.C
【解析】由题意可得,a3=l,a7=4,又。3,。5,劭同号,所以。5=J。3a7=2,则=8,故
选C.
4.D
【解析】由图知,7月,8月,11月的利润不低于40万元,故所求概率为P=1-算=3,故选D.
C|255
5.B
【解析】由题,刍童的体积为[(4x2+3)x3+(3x2+4)x2]x3+6=26.5立方丈
6.D
【解析】0<a=log52<log5Vs=>/?=ln2>ln6=/故/(Q)<f(b)</(l),又
/(c)=/(-201)=/(201)>f⑴.故f(a)<f(b)<f(c),故选D.
7.C
【解析】若几何体为两个圆锥体的组合体,则俯视图为A;若几何体为四棱锥与圆锥的组合体,
则俯视图为B;若几何体为两个四棱锥的组合体,则俯视图为D:不可能为C,故选C.
8.B
【解析】令271-1=127,可得n=7,故输入n=7符合,当输入的n满足n>7时,输出的结果总是
15
大于127,不合题意,当输入n-6,5/时,输出的n值分别为263_1>231_1',2-1,均不合题意,
当输入n=3或n=2时,输出的n=127符合题意,当输入n=l时,将进入死循环不符,故输入的所
有的n的可能取值为2,3,7,共3个,故选B.
9.C
22
【解析】v\AB\=V2T2=2t\AF-AE\=I而I,又因为I而一荏I=\EF\=^x+y=2,
:.x2+y2=4,•••(x+y)2=x2+y24-2xy<2(x2+y2)=8,当且仅当x=y时取等号,,x+
y<2V2,UPx十y的最大值为2遮,故选C.
10.A
【解析】由题意得/'(x)=V3sina>x-2cos2等+l=V3sina)x-coscox=2$而(3%-9,则
gW=2sin[a)(x-(p)-^]=2sin(3%-33-由图知T=2(詈一工)=n,,•3=
2,g(x)=2sin(2x-20/),则g偌)=2sin偿-合2*)=2sin(y-2(p^=2,由0<
cp<今得4-2(p=*解得*的值为已故选A.
II.A
【解析】函数/(幻=(x+I)3+m(m>0)的图象可由y=/的图象向左平移1个单位、再向
上平移m个单位得到,故或数f(x)的图象关于点对称,如图所示,由图可知,当xG[-4,2]
吐点A到函数f(x)图象上的点(4m-27)或(2,m+27)的距离最大,最大距离为d=
J9+(m-27—=3标,根据条件只需3m>3短,放m>短,应选A.
12.A
【解析】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线OAbx—y=0,
OB-.bx+y=0,设点P(m,吸则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB的距离为d=
"_bm-n_______________
由m整「)懈得「:瓦,•..8(甯,亨),••・I。网=」安+中=
V-2
^^-\bm-n\,二S孑40B=|O8|・d又而一捺=1,二b2m2一九2二匕2,...
S取40B=:4又二S中A0B=gb=2&,双曲线C的方程为一?=1,...c=3,
科(-3,0),尸2(3,0),•••西=(-3-m,-n),丽=(3-西•丽=(-3-m)(3-
m)+n2>0,即m?—9+?i2>0,又m2——=1,Am2-94-8(m2—1)>0,解得m>"或
83
m<一千,所以点P的横坐标m的取值范围为(_m,一手)u(空,+8),故选A.
3石
222
【解析】tan2”言息4sin2a-2cos2asiM2a-2cos22atan2a-2书♦故填
sin4a2sin2acos2a2tan2a2x
8
14.7
【解析1抛物线C:y=收的标准方程为/=%,...l=4,a="由卜,/得凭或
Q04(y=%(y—u
[;:t,图形面积s=[(X一滓)〃=仔Y)|i=*故填*
15.2
4
y工-1
【解析】令t=2x,则x],原可行域等价于2t+y-4W0,作出可行域如图所示,经计算得
t-y-1>0
C&T),z=4x2+y2=t2+y2的几何意义是点p(t,y)到原点O的距离d的平方,由图可知,
当点P与点C重合时,d取最大值:d的最小值为点O到直线AB:t-y-l=O的距离,故Zmax=T+
1二日办也二(岛),所以Z=4/+/的最大值与最小值之和为学故填空
【解析】设24CD=a,NBCO=/?,则由N4CD+NC80=90。可知,a=9Q°-B,p+A=
180°-(a+S)=90°,A/?=90°-A,。为48的中点,•••S"。=S/BCD,•••(人。•CDsina=
|FC-CDsinfi,/.ACsina=BCsin/?,即力CcosB=BCcosA,由正弦定理得sinBcosB=
sin/lcos/1,As\n2A=sin2B,二A=B或4+B=90。,当A=B时,AC=BC,CD1AB,sin/1=
—=—=渔,当H+B=90。时,C=90°,.%AD=BD=DC=2,在aACD中,cosA=
AC33
笔篝叱=:,.•.sin/=[TTI=今综上可得,sig的值为《或条
2AC-AD4\16434
17.解:(1)依题意得&=2量+i=n(n+1),
故当">2时,=Sn-S〃_i-n(n+1)-n(n-1)=2n,
乂当九=1时,/=Si=2,也适合上式,
故斯=2n(n6N*).
(2)由(1)得%=(—1)〃乂4^
“、,n(n+l)
=(T)"H
故72n=瓦+匕2匕2n
=_(1+9+0-(总+白+仁+^1)
is.解:3)当a=T时,点"是/。的中点.
:.DF=-AD=1,DE=-CD=1.
23
\^ADC=90°,LDEF=45°.
':CE=-CD=2,BC=2,48co=90。,
3
:./-BEC=45°.
:.BELEF.
乂平面G8E_L平面4BE0,平面G8EC平面48EQ=BE,EFu平面48E。,
:.EF1平面BEG.
•;BGu、p面BEG,:,EF1BG.
(2)以C为原点,诙工方的方向为工轴,y轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系Cxyz.
则E(2,0,0),。(3,0,0),尸(3,2。0).
取BE的中点。,
•;GE=BG=2,:,G01BE,
・•・易证得0G1平面8CE,
;BE=2vL:.0G=衣,・・・G(1,1,&).
/.F5=(-2,1-2A,V2),EG=(-1,1,V2),~DG=(-2,1,V2).
设平面OEG的一个法向量为五=(xfy,z),
则五•DG=-2%+y+V2z=0,
(n-FG=-x+y+y/2z=0,
号z=0,则元=(0,—2,々).
设“与平面DEG所成的角为6,
则sin。=|cos(FG,n)|
_|-2x0+(-2)x(l-21)+2|_1
6+(1-22)23
解得;1=3或/1=一看(舍去)
・••存在实数九使得DG与平面DEG所成的角的正弦值为此时%=
19.解:(1)5二意(45X5+55X20+65X30+75X30+85x10+95X5)=68.5,
(2)由(1)得〃=68.5,a=14.4.
/.P(54.1<Z<97.3)=P(68.5-14.4<Z<68.5+28.8)=P(〃一0VZV〃+2o)
=P(〃-o<Zv〃+<?)+1[P(ju-2。VZV〃+2o)-P(〃-a<Z<n+a')]=0.8185.
(3)易知P(Z<〃)=P(Z>/i)=
•••V的所有可能取值为123,4.
P(y=l)=|x^=|;
P(y=2)=-x-+-x-x-=-
'72525550;
P(y=3)=2xgx'x”券
P(y=4)=-xix-=
'725550
・•・/(%)的分布列为
Y1234
P22141
T502550
AE(r)=lx-+2x—+3x—+4x—=-.
',55025505
20.解:(1)椭圆C的上顶点为。上,b),右焦点尸2(1,。),点E的坐标为(x,y).
V|DF2|=3|F2E|,可得万瓦二3瓦瓦
又。尸2=(1,-匕),^2^=(x-l,y),
,卜代入2+2=1可得磔+蹙=1,
(y=~3
又。2一川=1,解得小=2,炉=1,
即椭圆C的标准方程为9+y2=1.
(2)设力(与,力),8(孙,刈),H(-V2,0),“(3,%),N(3,yQ.
由题意可设直线A3的方程为%=my+l,
x=my+1
联立・小=1消去,
得(m2+2)y2+2my-l=0,
力+,为二一产2m'
(力%=志
根据H,4M三点共线,可得当=』,
3+V2X1+V2
%(3+0)
••・加
Xi+0
同理可得为=喘1,
「MN的坐标分别为(,噜蝮),(3,空措),
y-o1
不N了=£)而丫加
1%(3+旬刈(3+企)
4%!+V2%2+、攵
________%丫2(3+⑨’_________
4(m为+1+VT)(my2+1+V2)
______________、1乃(3+&)2________________
4pn2yly2+(1+&)根(丫1+丫2)+(1+
一11一6北
______________m2+2______________
4[苦+一卫彦)苏+3+2企
加+2TH?+2
-11-6^2
4、泛-9
-8-
4>/2-9
・・・自与心之积为定值,且该定值是
8
21.解:(1)由题意知/(%)的定义域为(0,+8),
且广(%)=[—根=亨.
①当m<0时,f'[x}>0,f(x)在区间(0,+8)上单调递增,
m2m2m2
又/'(1)=-m+2>0,/-(e-)=m-mQ-=m(l-e-)<0,
.,./(l)-/(em-2)<0,即函数/(%)在区间(0,+8)有唯一零点;
②当m=。时,/(x)=Inx+2,
令/(%)=0,得x=c-2.
又易知函数/(外在区间(0,+8)上单调递增,
恰有一个零点.
③当m>0时,令/'(%)=0,得x=
在区间(o,3)上,r(x)>o,函数/(%)单调递增;
在区间(3,+8)上,函数/'(%)单调递减,
故当%=5时,/'(%)取得极大值,
且极大值为/(A)=InA+1=-Inm+1,无极小值.
若/(x)恰有一个零点,则f(A)=-\nm+1=0,解得m=e,
综上所述,实数m的取值范围为(一8,0]u{e}.
(2)记函数g(x)=/(x)-2=Inx-mx,x>0,
则函数g(x)的两个相异零点为勺,%2
不妨设/>%2>
:。(勺)=。,或不)=。,
/.Inxj—7nxi=0,lnx2-ntx2=0,
两式相减得Ins-ln%2=m(Xi-x2)»
两式相加得Inx】+lnx2=+x2).
*/Xj>x2>0,
,要证SqM>c,即证In%1+lnx
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