【中考】2017数学汇编专题18-全等三角形含解析

专题18：全等三角形

一、选择题

1、（4分）（2017•兰州）如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD

上，DE=2,将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60。，得到正方形DEFG,此时

点G，在AC上，连接CE，，则CE，+CG，=（）

E

A.V2+V6B.Vs+lC.V3+V2D.V3+V6

【分析】解法一：作GT_LCD于I,GR_LBC于R,E，H_LBC交BC的延长线于

H.连接RP.则四边形RCIG是正方形.首先证明点P在线段BC上，再证明

CH=HE，即可解决问题.

解法二：首先证明CG，+CE，=AC,作G，M_LAD于M.解直角三角形求出DM,

AM,AD即可；

【解答】解法一：作G1J_CD于I,GR_LBC于R,EH_LBC交BC的延长线于

H.连接RF.则四边形RCKF是正方形.

VZDGT^ZIGR-^%

AZDGZI=ZRGT\

在△GID和△GRF中，

'G'D二G'F

,NDG，=NRG'F'，

G'I=GyR

.••△G'lD四△G'RF,

・•・NG'ID=NG'RF'=90。,

・••点F在线段BC±,

在RtZXE'F'H中，・・・E'F'=2,/E'F'H=30°,

・・・EH=LEF=I,FHM，

2

易证△RGF^^HFE,

・・・RF=EH,RGRC=FH,

・・・CH=RF=EH

・,・CE』也,

VRG,=HF,=V3，

:・CG=^^G=遥,

・・.CE』CG，=VW^.

故选A.

解法二：作G，M_LAD于M.

易证△DAGNZ^DCE',

・・・AG'=CE,

・・・CG'+CE，=AC,

在RtZiDMG，中，・・・DG，=2,/MDG，=30。,

AMG^l,DM=V3，

VZMAG'=45°,NAMG'=90°,

・•・NMAG'=NMG'A=45。，

・・・AM=MG'=1,

AAD=1+V3>

VAC=V2AD,

•*.AC=V2+'V6.

故选A.

【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定

理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全

等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

2、（3分）（2017•广东）如图，己知正方形ABCD,点E是BC边的中点，DE

与AC相交于点F,连接BF,下列结论：®SAABF=SAADF;②SACDF=4S^CEF;③S

△ADF^ZS/iCEF；®SAADF=2SACDF»其中正确的是（）

A.®®B.②③C.①④D.(2)@

【分析】由△AFD四ZXAFB,即可推出SAABF=SAADF，故①正确，由

BE=EC=1BC=1AD,AD〃EC,推出至二旦匹工，可得SMDF=2SMEF，SA

22ADAFDF2

ADI^^SACEF*SAADF=2S^CDF>故②③错误④IE确，由此即可判断.

【解答】解：・・•四边形ABCD是正方形，

・・・AD〃CB,AD=BC=AB,ZFAD=ZFAB,

在AAFD和4AFB中，

'AF二AF

,NFAD=NFAB，

AD=AB

.•.△AFD^AAFB,

*••SAABF=SAADF»故①正确，

VBE=EC=ABC=XAD,AD/7EC,

22

・

••EC，"_ICF'-_IEF'—_1—f

ADAFDF2

S^CDF=2SACEF»SAADF=4SACEF>SAADF=2SACDF>

故②③错误④正确，

故选C.

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比

例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

3、（3分）（2017•贵港）如图，在正方形ABCD中，。是对角线AC与BD的交

点，M是BC边上的动点（点M不与B,C重合），CN_LDM,CN与AB交于

点N,连接OM,ON,MN.下列五个结论：@ACNB^ADMC；②△CONg

222

△DOM；©AOMN^AOAD；®AN+CM=MN；⑤若AB=2,贝ijSAOMN的最

小值是工，其中正确结论的个数是（）

2

A.2B.3C.4D.5

【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNBg/\DMC,AOCM^AOBN,△

CON^ADOM,AOMN^AOAD,根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计

算即可得出结论.

【解答】解：•・•正方形ABCD中，CD=BC,ZBCD=90°,

.*.ZBCN+ZDCN=90°,

又・・，CN_LDM,

・•・ZCDM+ZDCN=90°,

AZBCN=ZCDM,

又•:ZCBN=ZDCM=90°,

AACNB^ADMC(ASA),故①正确;

根据4CNB0△DMC,可得CM=BN,

又TNOCM=NOBN=45。，OC=OB,

/.△OCM^AOBN(SAS),

AOM=ON,ZCOM=ZBON.

AZDOC+ZCOM=ZCOB+ZBPN,即NDOM=NCON,

XVDO=CO,

/.△CON^ADOM(SAS),故②正确;

,/ZBON+ZBOM=ZCOM+ZBOM=90°,

AZMON=90°,即aMON是等腰直角三角形，

又,••△AOD是等腰直角三角形，

.-.△OMN^AOAD,故③正确；

VAB=BC,CM=BN,

ABM=AN,

又・・・RtZ\BMN中，BM2+BN2=MN2,

AAN2+CM2=MN2,故④正确；

VAOCM^AOBN,

・•・四边形BMON的面积=ABOC的面积=1,即四边形BMON的面积是定值1,

・•・当^NINB的面积最大时，aMNO的面积最小，

设BN=x=CM,则BM=2-x,

AAMNB的面积=Lx(2-x)=-lx2+x,

22

・•・当x=l时，△MNB的面积有最大值工，

2

此时SAOMN的最小值是1-故⑤正确；

22

综上所述，正确结论的个数是5个，

故选：D.

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定

与性质，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最

值的运用.

4、（4分）（2017•黔东南州）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE1AB,

AF=2AE,FC交BD于O,则NDOC的度数为（）

A.60°B.67.5°C.75°D.54°

【分析】如图，连接DF、BF.如图，连接DF、BF.首先证明NFDB二1NFAB=30。,

2

再证明△FADgZ\FBC,推出NADF=NFCB=15。，由此即可解决问题.

【解答】解：如图，连接DF、BF.

VFE±AB,AE=EB,

AFA=FB,

VAF=2AE,

；・AF二AB=FB,

•••△AFB是等边三角形，

VAF=AD=AB,

・••点A是4DBF的外接圆的圆心，

.•.ZFDB=1ZFAB=3O°,

2

・・•四边形ABCD是正方形，

/.AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,ZADB=ZDBC=45°,

/.ZFAD=ZFBC,

/.△FAD^AFBC,

AZADF=ZFCB=15°,

JZDOC=ZOBC+ZOCB=60°.

故选A.

解法二：连接BF.易知NFCB=15。，ZDOC=ZOBC+ZFCB=45°+15o=60°

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考选择题

中的压轴题.

5、（3分）（2017•衢州）如图,矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=6,将ZiABC沿

AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F,则DF的长等于（）

E

A.二B."C.1D.司

5334

【分析】根据折叠的性质得到AE二AB,ZE=ZB=90°,易证RtZ^AEFgRtZXCDF,

即可得到结论EF=DF；易得FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6-x,在RlZXCDF

中利用勾股定理得到关于x的方程X?=42+(6-x)2,解方程求出X.

【解答】解：•・•矩形ABCD沿对角线AC对折，使aABC落在4ACE的位置，

.・.AE=AB,ZE=ZB=90°,

又;四边形ABCD为矩形，

AAB=CD,

AAE=DC,

而NAFE二NDFC,

VffiAAEF^ACDF中，

rZAFE=ZCFD

<NE=ND，

AE=CD

/.△AEF^ACDF(AAS),

AEF=DF；

・・•四边形ABCD为矩形，

・・・AD=BC=6,CD=AB=4,

VRtAAEF^RtACDF,

AFC=FA,

设FA=x,则FC=x,FD=6-x,

在RtZ^CDF中，CF2=CD2+DF2,即X2=4?+(6-X)2,解得x=H

3

则FD=6-x二旦

3

故选：B.

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边

相等.也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理.

6、（3分）（2017•眉山）如图，EF过口ABCD对角线的交点O,交AD于E,交

BC于F,若口ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为（）

A.14B.13C.12D.10

【分析】先利用平行四边形的性质求出AB=CD,BC二AD,AD+CD=9,可利用

全等的性质得到△AEO@Z\CFO,求出OE=OF=1.5,即可求出四边形的周长.

【解答】解：,・•四边形ABCD是平行四边形，周长为18,

AAB=CD,BC=AD,OA=OC,AD//BC,

ACD+AD=9,ZOAE=ZOCF,

'NOAE二NOCF

在AAEO和△CFO中，OA=0C

ZAOE=ZCOF

AAAEO^ACFO(ASA),

.e.OE=OF=L5,AE=CF,

贝ljEFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.

故选C.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平

行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

7、（3分）（2017•随州）如图，在矩形ABCD中，AB<BC,E为CD边的中点,

将AADE绕点E顺时针旋转180。，点D的对应点为C,点A的对应点为F,过

点E作ME_LAF交BC于点M,连接AM、BD交于点N,现有下列结论：

①AM=AD+MC；@AM=DE+BM；③DE?=AD・CM；④点N为AABM的外心.其

中正确的个数为（）

【分析】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出

AM=MC+AD；根据当AB=BC时，四边形ABCD为正方形进行判断，即可得出

当ABVBC时，AM=DEiBM不成立；根据ME_LIT,EC±MF,运用射影定理

即可得出EC2=CMXCF,据此可得DE2=AD*CM成立；根据N不是AM的中点,

可得点N不是aABM的外心.

【解答】解：・・・E为CD边的中点,

ADE=CE,

又〈ND=NECF=90°,ZAED=ZFEC,

AAADE^AFCE,

AD=CF,AE=FE,

又,.,ME_LAF,

・,・ME垂直平分AF,

AAM=MF=MC+CF,

・・・AM=MC+AD,故①正确；

当AB=BC时，即四边形ABCD为正方形时，

设DE二EC=1,BM=a,则AB=2,BF=4,AM=FM=4-a,

在RtZ\ABM中，22+a2=(4-a)2,

解得a=1.5,即BM=1.5,

・•・由勾股定理可得AM=2.5,

ADE+BM=2.5=AM,

又,.・ABVBC,

.・・AM=DE+BM不成立，故②错误；

VME1FF,EC_LMF,

AEC2=CMXCF,

XVEC=DE,AD=CF,

ADE2=AD<M,故③正确；

•・・ZABM=90°,

AAM是AABM的外接圆的直径，

VBM<AD,

・••当BM〃AD时，典典VI,

ANAD

・・・N不是AM的中点，

・••点N不是△ABM的外心，故④错误.

综上所述，正确的结论有2个,

故选：B.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，

矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对

应边相等以及相似三角形的龙应边成比例，解题时注意：三角形外接圆的圆心是

三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点

的距离相等.

8、（3分）（2017•咸宁）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45。角的直角三

角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1,0）,顶点A的坐标为（0,2）,顶点

B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A

恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C的坐标为（）

A.(2,o)B.(2,0)C.(且0)D.(3,0)

22

【分析】过点B作BD±x轴于点D,易证△ACOgABCD（AAS）,从而可求

出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与A的坐标即可得

知平移的单位长度，从而求出C的对应点.

【解答】解：过点B作BD±x轴于点D,

VZACO+ZBCD=90°,

ZOAC+ACO=90°,

・•・ZOAC=ZBCD,

在△ACO与ABCD中，

rZ0AC=ZBCD

<ZA0C=ZBDC

AC=BC

AAACO^ABCD(AAS)

AOC=BD,OA=CD,

VA(0,2),C(1,0)

，OD=3,BD=1,

AB(3,1),

・・・设反比例函数的解析式为y二瓦

x

将B(3,1)代入尸瓦

x

Ak=3,

•­v♦-y3-，

x

・••把y=2代入y=S,

x

・Y

••A--^3-9

2

当顶点A恰好落在该双曲线上时，

此时点A移动了旦个单位长度，

2

・・・C也移动了S个单位长度，

2

此时点C的对应点C的坐标为(”，0)

2

故选（C）

【点评】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比

例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型.

9、（3分）（2017•滨州）如图，点P为定角NAOB的平分线上的一个定点，且/

MPN与NAOB互补，若NMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、

OB相交于M、N两点，则以下结论：（DPM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不

变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）

【分析】如图作PEJ_OA于E,PF_LOB于F.只要证明aPOE会aPOF,APEM

四△PFN,即可——判断.

【解答】解：如图作PE_LOA于E,PF_LOB于F.

・・•ZPEO=ZPFO=90°,

AZEPF+ZAOB=I80°,

VZMPN+ZAOB=180°,

AZEPF=ZMPN,

.•.ZEPM=ZFPN,

,.・0P平分NAOB,PE_LOA于E,PFJ_OB于F,

APE=PF,

在aPOE和aPOF中，

「OP二OP,

'PE=PF，

/.△POE^APOF,

・・・OE=OF,

在aPEM和APEN中，

2MPE二NNPF

<PE=PF，

ZPEM=ZPFN

.,.△PEM^APFN,

AEM=NF,PM=PN,故（1）正确，

••S/iPEM=SAPNF，

；・S四边形PMON=S四边形PEOF二定值，故（3）正确，

・.・OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正确,

MN的长度是变化的，故（4）错误，

故选B.

A

E\............以

O

FB

【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常

考题型.

10、（3分）（2017•德州）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a,小

正方形CEFG边长为b（a>b）,M在BC边上，且BM二b,连接AM,MF,MF

交CG于点P,将AABM绕点A旋转至△ADN,将AMEF绕点F旋转至aNGF,

给出以下五个结论：①NMAD=NAND；②CP=b-卫_；③AABM且ANGF；④

a

S四边形AMFN=a2+b2：⑤A,M,P,D四点共圆，其中正确的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】①根据正方形的性质得到NBAD=NADC=NB=90。，根据旋转的性质得

至IJJNNAD=NBAM,ZAND=ZAMB,根据余角的性质得到NDAM+NNAD二

ZNAD+ZAND=ZAND+ZNAD=90°,等量代换得到NDAM二NAND,故①正

确；

2

②根据正方形的性质得到PC〃EF,根据相似三角形的性质得到CP=b-UK_；故

a

②正确；

③根据旋转的性质得到GN=ME,等量代换得到AB=ME=NG,根据全等三角形

的判定定理得到△ABMgZXNGF；故③正确；

④由旋转的性质得到AM=AN,NF=MF,根据全等三角形的性质得到AM二NF,

推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的NNAM=90。,推出四边形AMFN

是正方形，于是得到S四边形AMFN=AM?=a2+b-；故④正确；

⑤根据正方形的性质得到NAMP=90。，ZADP=90°,得至ljNABP+NADP=180。,

于是推出A,M,P,D四点共圆，故⑤正确.

【解答】解：①・・,四边形ABCD是正方形，

/.ZBAD=ZADC=ZB=90°,

AZBAM+ZDAM=90°,

•・,将AABM绕点A旋转至AADN,

AZNAD=ZBAM,ZAND=ZAMB,

JZDAM+NNAD=NNAD+ZAND=ZAND+ZNAD=90°,

・・・NDAM=NAND,故①正确；

②•・•四边形CEFG是正方形，

APC//EF,

/.△MPC^AEMF,

.peg

・・而TF

・・,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),BM=b,

EF=b,CM=a-b,ME=(a-b)+b=a,

•PCa-b

•.----z:------'

ba

2

,・.CP=b-互K一；故②正确；

a

③•・•将AMEF绕点F旋转至aNGF,

.*.GN=ME,

VAB=a,ME=a,

AAB=ME=NG,

rAB=NG=a

在AABM与4NGF中，（NB=/NGF=90°，

GF二BM二b

/.△ABM^ANGF；故③正确；

©V^AABM绕点A旋转至AADN,

AAM=AN,

•・•将AMEF绕点F旋转至ANGF,

ANF=MF,

VAABM^ANGF,

AAM-NF,

・•・四边形AMFN是矩形，

VZBAM=ZNAD,

JZBAM+DAM=ZNAD+ZDAN=90°,

...ZNAM=90°,

・•・四边形AMFN是正方形，

•・•在Rt4ABM中，a2+b2=AM2,

二・S四边形AMFN=AM~=a~+b~；故④正确；

⑤：四边形AMFN是正方形，

AZAMP=90°,

VZADP=90°,

.*.ZABP+ZADP=180o,

:.A,M,P,D四点共圆，故⑤正确.

故选D.

N

【点评】本题考查了四点共圆，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，正方形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键.

11、（3分）（2017•威海）如图，正方形ABCD的边长为5,点A的坐标为（-4,

0）,点B在y轴上，若反比例函数y=k（kWO）的图象过点C,则该反比例函

x

数的表达式为（）

A.y=^-B.y=AC.y=i.D.y=A

xxX

【分析】过点C作CE_Ly轴于E,根据正方形的性质可得AB=BC,ZABC=90°,

再根据同角的余角相等求出N'OAB=NCBE,然后利用“角角边”证明AABO和4

BCE全等，根据全等三角形定应边相等可得OA=BE=4,CE=OB=3,再求出OE,

然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k

的值.

【解答】解：如图，过点C作CE_Ly轴于E,在正方形ABCD中，AB=BC,Z

ABC=90°,

.•.ZABO+ZCBE=90°,

VZOAB+ZABO=90°,

AZOAB=ZCBE,

・・•点A的坐标为(-4,0),

OA=4,

VAB=5,

*'•OB=y§2_42=3,

在aABO和4BCE中，

'NOAB:NCBE

•ZAOB=ZBEC，

AB=BC

AAABO^ABCE(AAS),

AOA=BE=4,CE=OB=3,

.*.OE=BE-OB=4-3=1,

・••点C的坐标为(3,1),

・・,反比例函数尸K(kHO)的图象过点c,

x

k=xy=3X1=3»

工反比例函数的表达式为y=N

x

故选A.

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，

全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出

全等三角形并求出点D的坐标是解题的关键.

12、（4分）（2017•淄博）如图,在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,

ZBAC,ZACB的平分线相交于点E,过点E作EF〃BC交AC于点F,则EF

的长为（）

A.5B

24

【分析】延长FE交AB于点D,作EG_LBC、作EH_LAC,由EF〃BC可证四

边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、ZDAE=ZHAE,从而知四

边形BDEG是正方形，再证△DAEdHAE、ACGE^ACHE得AD二AH、

CG=CH,设BD=BG=x,贝1JAD=AH=6-x、CG=CH=8-x,由AC=10可得x=2,

即BD=DE=2.AD=4,再证△ADFs^ABC可得DF二生，据此得出EF=DF-

3

DE二生

3

【解答】解：如图，延长FE交AB于点D,作EG_LBC于点G,作EH_LAC于

点H,

•・・EF〃BC、ZABC=90°,

・・・FD_LAB,

VEG1BC,

・・・四边形BDEG是矩形，

TAE平分NBAC、CE平分NACB,

AED=EH=EG,ZDAE=ZHAE,

，四边形BDEG是正方形，

在4DAE和AHAE中，

rZDAE=ZHAE

•・,AE=AE，

ZADE=ZAHE

/.△DAE^AHAE(SAS),

AAD=AH,

同理ACGE会Z\CHE,

ACG=CH,

设BD=BG=x,贝ijAD=AH=6-x、CG=CH=8-x,

;AC=VAB2+AC2=V62+82=I。，

A6-x+8-x=10,

解得：x=2,

BD=DE=2,ADM,

VDF//BC,

AAADF^AABC,

•AD二DFpn4-DF

ABBC68

解得：DF=Ai,

3

贝ijEF=DF-DE=H-2=独，

33

故选：C.

【点评】本题主耍考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正

方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角

形的判定与性质是解题的关键.

二、填空题

1、（5分）（2017•六盘水）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、

F分别在边BC和CD上，则/AEB=75度.

【分析】只要证明△ABEg^ADF,可得NBAE=NDAF=（90°-60°）4-2=15°,

即可解决问题.

【解答】解：,・•四边形ABCD是正方形,

，AB二AD,ZB=ZD=ZBAD=90°,

在RtAABE和RtAADF中，

AB=AD

AE=AF

AAABE^AADF,

AZBAE=ZDAF=(90°-60°)4-2=15°,

AZAEB=75°,

故答案为75.

【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确

寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

2、（4分）（2017•黔东南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，己知FB=CE,

AC〃DF,请你添加一个适当的条件NA=ND使得△ABCgADEF.

【分析】根据全等三角形的判定定理填空.

【解答】解：添加NA=ND.理由如下：

VFB=CE,

・・・BC=EF.

又,；AC〃DF,

AZACB=ZDFE.

'/A二ND

,在aABC与4DEF中，ZACB=ZDFE，

BC=EF

/.△ABC^ADEF(AAS).

故答案是：NA=ND.

【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌

握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是个开放型

的题目，比较典型.

3、（3分）（2017•哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接

AM,过点D作DE_LAM,垂足为E.若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为

辰

21•

5-

【分析】由AAS证明△ABMgADEA,得出AM=AD,证出BC=AD=3EM,连

接DM,由HL证明RtZ\DEMgRtADCM,得出EM=CM,因此BC=3CM,设

EM=CM=x,贝ljBM=2x,AM=BC=3x,在RtZ\ABM中，由勾股定理得出方程，

解方程即可.

【解答】解：・・•四边形ABCD是矩形,

AAB=DC=1,ZB=ZC=90°,AD〃BC,AD=BC,

AZAMB=ZDAE,

VDE=DC,

.*.AB=DE,

VDE±AM,

・•・ZDEA=ZDEM=90°,

rZAMB=ZDAE

在aABM和4DEA中，］ZB=ZDEA=90"，

AB=DE

AAABM^ADEA(AAS),

AAM=AD,

VAE-2EM,

ABC=AD=3EM,

连接DM,如图所示：

在RtADEM和RtADCM中，(DM=DM,

lDE=DC

ARtADEM^RtADCM(HL),

AEM=CM,

ABC=3CM,

设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,

在RtZ\ABM中，由勾股定理得：产+(2x)2=(3x)2,

解得：x=逅，

5

・・.BM=_?^；

5

故答案为：迥.

5

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌

握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关健.

4、（3分）（2017•包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是

BC上一点，且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cosNAEF的值是

返

2.

【分析】接AF,由矩形的性质得出NB=NC=90。，CD=AB=2,BC=AD=3,证

出AB=FC,BF=CE,由SAS证明△ABF@Z\FCE,得出NBAF=NCFE,AF=FE,

证4AEF是等腰直角三角形，得出NAEF=45。，即可得出答案.

【解答】解：连接AF,如图所示：

•・•四边形ABCD是矩形，

AZB=ZC=90°,CD=AB=2,BC=AD=3,

VFC=2BF,

ABF=1,FC=2,

・・・AB=FC,

,・，E是CD的中点，

ACE=1CD=1,

2

ABF=CE,

'AB=FC

在AABF和AFCE中，ZB=ZC

BF=CE

AAABF^AFCE(SAS),

AZBAF=ZCFE,AF=FE,

VZBAF+ZAFB=90°,

，ZCFE+ZAFB=90°,

・・・ZAFE=180°-90°=90°,

AAAEF是等腰直角三角形，

JZAEF=45°,

•••ocsNAEF二返；

2

故答案为：返.

2

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的

判定与性质、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问

题的关键.

5、（3分）（2017•包头）如图，SAABC与4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=

ZDAE,且点D在AB上，点E与点C在AB的两侧，连接BE,CD,点M、

N分别是BE、CD的中点，连接MN,AM,AN.

下列结论：©AACD^AABE；②△ABCs/\AMN；③AAMN是等边三角形；

④若点D是AB的中点，则SAABC=2SAABE.

其中正确的结论是一①②④.(填写所有正确结论的序号)

【分析】①根据SAS证明△ACD^^ABE；

②先证明aACN丝△ABM,得AAMN也是等腰三角形，且顶角与4ABC的顶

角相等，所以△ABCs/\AMN；

③由AN=AM,可得AAMN为等腰三角形；

④根据三角形的中线将三角形面积平分得：SaACD=2S&ACN，S.ABE=2S&ABM，则S

△ABC=2SAACD=2SAABE-

【解答】解：①在4ACD和4ABE中，

AC=AB

VNBAO/DAE，

AD=AE

AAACD^AABE(SAS),

所以①正确；

©•.'△ACD^AABE,

ACD=BE,ZNCA=ZMBA,

又,；M,N分别为BE,CD的中点,

ACN=BM,

在4ACN和aABM中,

AC=AB

ZACN=ZABM，

CN=BM

AAACN^AABM,

.*.AN=AM,ZCANZBAM,

AZBAC=ZMAN,

VAB=AC,

AZACB=ZABC,

AZABCZAMN,

AAABC^AAMN,

所以②正确；

@VAN=AM,

AAAMN为等腰三角形，

所以③不正确；

©VAACN^AABM,

,,SAACN=SAABM»

•・,点M、N分别是BE、CD的中点,

••SIACD=2SAACN，SAABE=2SAABM»

,,SAACD-SAABE»

YD是AB的中点，

・・SAABC=2SAACD=2SAABE>

所以④正确；

本题正确的结论有：①②④；

故答案为：①②④.

【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、三角

形中线的性质、三角形相似的性质和判定，熟练掌握三角形全等的性质和判定及

三角形中线平分面积的性质是关键；此类选择题比较麻烦，类似四个证明题，所

以要认真审题，并做出正确的判断.

6、（3分）（2017•呼和浩特）如图，在口ABCD中，ZB=30°,AB=AC,O是两

条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD,BC于点E,F,点M是

边AB的一个三等分点，则AAOE与△BMF的面积比为3：4.

【分析】作MH_LBC于H,设AB=AC=m,则BM=Ln,根据

326

平行四边形的性质求得OA二oc二LAC二』m,解直角三角形求得FC二国，然后

223

根据ASA证得△AOEg△COF,证得AE=FC=1m,进一步求得

3

OE=—AE=^^m,从而求得S“OE=Y3m2，作AN_LBC于N,根据等腰三角形的

2624

性质以及解直角三角形求得BC=V3m,进而求得BF二BC-FC=“m・

返n二型3m分别求得aAOE与4BMF的面积，即可求得结论.

33

【角军答］解：设AB=AC二m,贝ijBM=A4Tb

3

是两条对角线的交点，

OA=OC=—AC=Jun，

22

VZB=30°,AB=AC,

AZACB=ZB=30°,

VEF±AC,

1_

/.cosZACB=-^-,BPcos30°=——,

FCFC

3

VAE#FC,

AZEAC=ZFCA,

XVZAOE=ZCOF,AO=CO,

AAAOE^ACOF,

AAE=FC=^m,

3

/.OE=-kAE=^lin,

26

・

SAAOE=LOAOE=LX工1rx返n=返nE

222624

作AN_LBC于N,

VAB=AC,

.二BN=CN」BC,

2

VBN=2ZlAB=2Z3jn,

22

/.BC=V3ni»

ABF=BC-FC=y/~3n-

33

作MH_LBC于H,

VZB=30°,

.,.MH=1BM=AW,

26

2

SABMF=—BF*MH=—XX14n=2Z^m,

223618

V32

・S/kAOE_241rl_3

•.1-r———

SABMFX2_24

181n

故答案为3：4.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及解直角三

角形等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

7.（3分）（2017•常德）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上.若

设AE二x,正方形EFGH的面积为y,则y与x的函数关系为y=2x?-4x-4.

【分析】由AAS证明aAHEgABEF,得出AE二BF=x,AH=BE=2-x,再根据

勾股定理，求出EH?,即可得到y与x之间的函数关系式.

【解答】解：如图所示:

四边形ABCD是边长为1的正方形,

・・・NA=NB=90。，AB=2.

.,.Zl+Z2=90°,

,・♦四边形EFGH为正方形,

/.ZHEF=90°,EH=EF.

AZ1+Z3=9O°,

AZ2=Z3,

在aAHE与4BEF中，

'NA=NB

VZ2=Z3，

EH=FE

AAAHE^ABEF(AAS),

AAE=BF=x,AH=BE=2-x,

在RtZ\AHE中，由勾股定理得：

EH2=AE2+AH2=X2+(2-X)2=2X2-4x+4；

即y=2x2-4x+4(0<x<2),

故答案为：y=2x2-4x+4.

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题

难度适中，求出y与x之间的函数关系式是解题的关键.

8、(4分)(2017•怀化)如图，AC二DC,BC=EC,请你添加一个适当的条件：,

使得△ABCdDEC.

EC

【分析】本题要判定^ABC段△口£（2,己知AC=DC,BC=EC,具备了两组边对

应相等，利用SSS即可判定两三角形全等了.

【解答】解：添加条件是：AB=DE,

rAC=DC

在4ABC与4DEC中，《AB二DE，

BC=EC

/.△ABC^ADEC.

故答案为：AB=DE.本题答案不唯一.

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定这一知识点的理解和掌握，此题

难度不大，属于基础题.

9、（5分）（2017•绍兴）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形,

点G在对角线BD上，GE1CD,GF±BC,AD=1500m,小敏行走的路线为

BTA—GTE,小聪行走的路线为BTATD—E—F.若小敏行走的路程为3100m,

则小聪行走的路程为BQQm.

【分析】连接CG,由正方形的对称性，易知AG二CG,由正方形的对角线互相

平分一组对角，GE1DC,易得DE=GE.在矩形GECF中，EF=CG.要计算小

聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行.

【解答】解：连接GC,

•・•四边形ABCD为正方形，

所以AD=DC,ZADB=ZCDB=45°,

VZCDB=45°,GE1DC,

•••△DEG是等腰直角三角形,

，DE=GE.

在4AGD和4GDC中，

rAD=DC

<ZADG=ZCDG

DG=DG

AAAGD^AGDC

AAG=CG

在矩形GECF中，EF=CG,

AEF=AG.

VBA+AD+DE+EF-BA-AG-GE

=AD=1500m.

丁小敏共走了3100m,

工小聪行走的路程为3100+1500

=4600(m)

故答案为：4600

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质及等

腰三角形的性质.解决本题的关键是证明AG=EF,DE=GE.

10、（3分）（2017•达州）△ABC中，AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设

AD长为m,则m的取值范围是l〈mV4.

【分析】作辅助线，构建根据三角形三边关系得：EC-AC<AE<

AC+EC,即5-3<2m<5+3,所以l<m<4.

【解答】解：延长AD至E,使AD二DE,连接CE,贝ljAE=2m,

VAD^AABC的中线，

ABD=CD,

在aADB和4EDC中，

'ADRE

VZADB=ZEDC，

BD=CD

/.△ADB^AEDC,

AEC=AB=5,

在aAEC中，EC-AC<AE<AC+EC,

即5-3<2m<5+3,

/.l<m<4,

故答案为：lVmV4.

E

【点评】本题考查了三角形三边关系、三角形全等的性质和判定，属于基础题,

辅助线的作法是关键.

11、（3分）（2017•南充）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和

b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论：①BE=DG；②BE_LDG；③

DE2+BG2=2a2+b2,其中正确结论是①②（填序号）

【分析】由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形，得到四条边相等，四个

角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对

应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到N1=N2,利用等角

的余角相等及直角的定义得到NBOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值

即可.

【解答】解：设BE,DG交于O,

•・•四边形ABCD和EFGC都为正方形，

ABC=CD,CE=CG,NBCD=NECG二90。，

，ZBCE+ZDCE=ZECG+ZDCE=90°+ZDCE,即NBCE二NDCG,

在4BCEffADCG中，

rBC=DC

,ZBCE=ZDCG，

CE=CG

/.△BCE^ADCG（SAS）,

ABE=DG,

AZ1=Z2,

VZ1+Z4=Z3+Z1=9O°,

・•.Z2+Z3=90°,

・•・ZBOC=90°,

・・・BE_LDG；故①②正确；

连接BD,EG,如图所示，

・•・DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2,EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2,

则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2,故③错误.

故答案为：①②.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟练

掌握性质与定理是解本题的关键.

12、（3分）（2017•十堰）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG

分别交AE,AF于M,N.下列结论：①AF_LBG；®BN=-1-NF；③耨/©S

四边形CGNF二冬四边形ANGD・其中正确的结论的序号是①③.

2

【分析】①易证△ABFgZ\BCG,即可解题;

②易证△BNFsaBCG,即可求得四的值，即可解题;

NF

③作EH_LAF,令AB=3,即可求得MN,BM的值，即可解题;

④连接AG,FG,根据③中结论即可求得S四动形CGNF和S四边影ANGD，即可解题.

【解答】解：①・・,四边形ABCD为正方形，

・・・AB=BC=CD,

VBE=EF=FC,CG=2GD,

ABF=CG,

'邺二BC

・・•在AABF和ABCG中，NABF=/BCG=90°，

BF=CG

AAABF^ABCG,

AZBAF-ZCBG,

VZBAF+ZBFA=90°,

AZCBG+ZBFA=90°,即AF_LBG；①正确；

②;在4BNF和4BCG中，j/CBG二NNBF,

l.ZBCG=ZBNF=90"

/.△BNF^ABCG,ABN_BC_2,

NFCG2

・・.BN=2NF；②错误；

3

③作EH_LAF,令AB=3,贝ijBF=2,BE=EF=CF=1,

AF=4AB2+BF2=V^，

S3ABF=4F・BN=X\B・BF，

22

ABN=-^ZH,NF=^BN=-^ZH,

13313

AAN=AF-NF=-^I^,

13

•；E是BF中点,

AEH是4BFN的中位线，

AEH=3^,NH=^/H,BN〃EH,

1313

AAH=11啊里胆，解得：MN二型运，

13AHEH143

ABM=BN-MN=-^ZH,MG=BG-BM=-?2ZH,

1111

.••里3；③正确；

MG8

④连接AG,FG,根据③中结论,

则NG=BG-BN=HH,

13

*«*S四或形CGNF=SACFG+S4GNF=&G・CF+LNF・NG=1+ll=iL

221313

S四边形ANGD=S△ANG+SAADG=-AN*GN+—AD*DG=-^-+-^-^-,

2226213

•*«S四边形CGNFH-1~S四边形ANGD，④错误;

2

故答案为①③.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应

边比例相等的性质，本题中令AB=3求得AN,BN,NG,NF的值是解题的关键.

13、（3分）（2017•武汉）如图，在△ABC中，AB=AC=2«：ZBAC=120°,点

D、E都在边BC上，ZDAE=60°.若BD=2CE,则DE的长为3立-3.

【分析】将4ABD绕点A逆时针旋转120。得到AACF,连接EF,过点E作EM

_LCF于点M,过点A作ANJLBC于点N,由AB=AC=26、ZBAC=120°,可

得出BC=6、ZB=ZACB=30°,通过角的计算可得出NFAE=60。，结合旋转的性

质可证出△ADEgZXAFE（SAS）,进而可得出DE=FE,设CE=2x,则CM二x,

EM=V3X>FM=4X-x=3x>EF=ED=6-6x,在Rt/XEFM中利用勾股定理可得出

关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其代入DE=6-6x中即可求出

DE的长.

【解答】解：将4ABD绕点A逆时针旋转120。得到aACF，连接EF,过点E

作EM_LCF于点M,过点A作AN_LBC于点N,如图所示.

VAB=AC=2V3，ZBAC=120°,

ABN=CN,ZB=ZACB=30°.

在RtZ\BAN中，ZB=30°,AB=2V3，

,,AN=XAB=V3»®^=VAB2-AN2=^'

乙

ABC=6.

VZBAC=120°,ZDAE=60°：

AZBAD+ZCAE=60°,

・・・ZFAE=ZFAC+ZCAE=ZBAD+ZCAE=60°.

rAD=AF

在4ADE和4AFE中，＜NDAE=NFAE二60°，

AE=AE

AAADE^AAFE(SAS),

・・・DE=FE.

VBD=2CE,BD=CF,ZACF=ZB=30°,

・••设CE=2x,则CM=x,EM=小，FM=4x-x=3x,EF=ED=6-6x.

在RtZ^EFM中，FE=6-6x,FM=3x,EM=V3x，

AEF2=FM2+EM2,即(6-6x)2=(3x)2+(后)2,

解得：X尸对1,X2=更返(不合题意，舍去)，

22

・・・DE=6-6