《电工基础》课件第3章

技能训练七RC一阶电路的零状态响应研究技能训练八RC一阶电路的零输入响应研究

3.1线性动态电路及换路定律3.2电路初始值与稳态值的计算3.3一阶电路的零输入响应3.4一阶电路的零状态响应3.5一阶电路的全响应和三要素法3.6微分电路与积分电路3.7一阶电路的阶跃响应小结

习题三

1.训练目的

(1)加深对一阶电路动态过程的理解。

(2)掌握用示波器等仪器测试一阶电路动态过程的方法。2.原理说明

1)零状态响应

训练图7-1所示为RC充、放电电路。电容的初始电压为零。t=0时，开关S合至1，电源向电容充电，则电容电压uC和充电电流i分别为技能训练七RC一阶电路的零状态响应研究训练图7-1RC充、放电电路其中τ=RC。

uC和i随时间变化的一阶零状态响应曲线如训练图7-2所示。t=4.6τ时，uC=99%US，，可认为充电过程已结束，电路进入稳定状态。训练图7-2一阶零状态响应曲线

2)RC电路的矩形脉冲响应

将训练图7-3所示的矩形脉冲电压接到RC电路两端，在

内，u=U，电路的工作情况相当于在t=0时RC电路被接通到直流电源的充电过程。在内，u=0，电路的工作情况相当于在

时的放电过程。如果τ=RC<<T，电容的充电和放电过程均在半个周期的时间内全部完成，以后出现的则是多次重复的连续过程，用示波器可以将uC连续变化的波形显示出来。训练图7-3RC电路输入方波的波形3.训练设备

(1)电路板1块

(2)双束示波器1台

(3)方波发生器1台

(4)单刀双掷开关1只

4.训练内容

(1)实训电路如训练图7-4所示。选择方波的频率为1kHz，幅值为4V，电路参数为R=5kΩ、C=0.02μF、r=1Ω。使方波的半周期T/2与时间常数RC保持约5︰1的关系。

(2)调解示波器的有关旋钮，使屏幕上显示稳定的uC和i的波形，并把波形描绘出来。

确认RC充电过程。训练图7-4

5.训练注意事项

(1)要严格遵守实训规程和安全操作规程。

(2)注意电解电容器的正负极性。

6.思考题

(1)示波器的使用应注意哪些方面？

(2)如何判断RC电路充电过程已结束？

(3)如何理解零状态响应？

7.训练报告内容

(1)定性画出RC电路充、放电波形。

(2)将测量数据与计算数据进行比较。1.训练目的

(1)加深对一阶电路动态过程的理解。

(2)掌握用示波器等仪器测试一阶电路动态过程的方法。

(3)学习测定一阶电路时间常数的方法。技能训练八RC一阶电路的零输入响应研究

2.原理说明

1)零输入响应

技能训练电路仍如训练图7-1所示，当电容充电至电压US时，将开关S合至2(计时开始，t=0)，RC电路便短接放电。电容电压uC和放电电流i分别为

它们的曲线如训练图8-1所示。i的实际方向与训练图7-1中箭头所标的方向相反。训练图8-1一阶零输入响应的电压和电流变化曲线

2)时间常数的测定

在电容充电过程中，t=τ时，uC=0.632US；在电容放电过程中，t=τ时，uC=0.368US

故由充、放电过程uC的曲线可测得时间常数τ。改变R和C的数值，也就改变了τ。若增大τ，充、放电过程变慢，过渡过程的时间增长；反之，则缩短。

3.训练设备

(1)RC电路板1块

(2)双踪示波器1台

(3)方波发生器1台

(4)单刀双掷开关1只

4.训练内容

(1)技能训练电路仍如训练图7-4所示。选择方波的频率为1kHz，幅值为4V，电路参数为：R=5kΩ、C=0.02μF、r=1Ω。使方波的半周期T/2与时间常数RC保持约5︰1的关系。

(2)调节示波器的有关旋钮，使屏幕上显示稳定的uC和i的波形，并把波形描绘出来。

确认RC放电过程。

(3)改变电路的参数，使R分别等于500Ω和50kΩ，即分别使及，观察uC和i的波形。

5.训练注意事项

(1)要严格遵守实训规程和安全操作规程。

(2)注意电解电容器的正负极性。

6.思考题

(1)示波器的使用应注意哪些方面？

(2)如何控制RC电路放电过程的快慢？

(3)如何理解零输入响应？

7.训练报告内容

(1)定性画出RC电路中电容元件放电过程的电压、电流波形。

(2)将测量数据与计算数据进行比较。由于电路包含电感、电容等储能元件，在电路状态发生改变时，电路中的电流和电压的改变是有一定规律的。本章介绍有关动态电路的一些基本概念：零输入响应和零状态

响应，全响应，瞬态和稳态，时间常数等。在此基础上，研究由RC、RL组成的一阶电路，总结出分析一阶电路的一般方法——三要素法。3.1线性动态电路及换路定律3.1.1线性电路动态分析

含有动态元件的电路称之为动态电路。动态元件是指描述其端口电压、电流关系的方程是微分方程或积分方程的元件，前面学过的电容元件和电感元件以及即将学习的耦合电感元件等都是动态元件。

动态元件的一个特征就是当电路的结构或元件的参数发生变化时(例如电路中电源或无源元件的断开或接入、信号的突然注入等)可能使电路从原来的工作状态，转变到另

一个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。上述电路结构或参数变化引起的电路变化统称为换路。图3-1-1动态电路动态电路与电阻电路重要的区别在于：电阻电路不存在过渡过程而动态电路存在过渡过程。如图3-1-1所示，当闭合开关S时，会发现电阻支路的灯泡L1立即发光，且亮度不再变化，说明这一支路没有经历过渡过程，立即进入了新的稳态；电感支路的灯泡L2由暗渐渐变亮，最后达到稳定，说明电感支路经历了过渡过程；电容支路的灯泡L3由亮变暗直到熄灭，说明电容支路也经历了过渡过程。这是因为动态(储能)元件换路时能量的储存和释放需要一定时间来完成。表现在：

(1)要满足电荷守恒，即换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压(电荷)在换路前后保持不变。

(2)要满足磁链守恒，即换路瞬间，

若电感电压保持有限值，则电感电流(磁链)在换路前后保持不变。3.1.2换路定律

通常我们认为换路是在t=0时刻进行的。为了叙述方便，把换路前的最终时刻记为t=0-，把换路后的最初时刻记为t=0+，换路经历的时间为0-到0+。

1.具有电感的电路

从能量的角度出发，由于电感电路换路的瞬间，能量不能发生跃变，即t=0+时刻，电感元件所储存的能量为与t=0-时刻电感元件所储存的能量相等，则有：

iL(0+)=iL(0-)

(3-1)

结论：在换路的一瞬间，电感中的电流应保持换路前一瞬间的原有值而不能跃变。

等效原则：在换路的一瞬间，流过电感的电流iL(0+)=iL(0-)=0，电感相当于开路；iL(0+)=iL(0-)≠0，电感相当于直流电流源，其电流的大小和方向与电感换路瞬间的电流的大小和方向一致。

2.具有电容的电路

从能量的角度出发，由于电容电路换路的瞬间，能量不能发生跃变，即t=0+时刻，电容元件所储存的能量为与t=0-时刻电容元件所储存的能量相等，则有：

uC(0+)=uC(0-)

(3-2)

结论：在换路的一瞬间，电容两端的电压应保持换路前一瞬间的原有值而不能跃变。

等效原则：在换路的一瞬间，电容两端电压uC(0+)=uC(0-)=0，电容相当于短路；uC(0+)=uC(0-)≠0，电容相当于直流电压源，其电压的大小和方向与电容换路瞬间的电压的大小和方向一致。3.2.1电路初始值及其计算

换路后的最初一瞬间(即t=0+时刻)的电流、电压值统称为初始值。研究线性电路的过渡过程时，电容电压的初始值uC(0+)及电感电流的初始值iL(0+)可按换路定律来确定。

其他可以跃变的量的初始值要根据uC(0+)、iL(0+)，应用KVL、KCL和欧姆定律来确定。3.2电路初始值与稳态值的计算确定初始值的步骤为：

(1)根据换路前的电路，确定uC(0-)、iL(0-)；

(2)依据换路定则确定uC(0+)、iL(0+)；

(3)根据已求得的uC(0+)和iL(0+)，依据前述的等效原则，画出t=0+时刻的等效电路；

(4)再根据等效电路，应用KVL、KCL及欧姆定律来确定其他跃变量的初始条件。

例3-1

如图3-2-1(a)所示电路，在开关闭合前t=0-时刻处于稳态，t=0时刻开关闭合。求初始值iL(0+)、uC(0+)、u1(0+)、uL(0+)、iC(0+)。图3-2-1例3-1图

解

(1)开关闭合前t=0-时刻，电路是直流稳态，于是求得

(2)开关闭合时t=0-时刻，由换路定则得

iL(0+)=iL(0-)=1.2A,uC(0+)=uC(0-)=7.2V

(3)根据上述结果，t=0+时的等效电路如图3-2-1(b)所示，其节点电压方程为

将iL(0+)=1.2A带入上式，求得：

u1(0+)=2.4V

根据KVL、KCL求得：

uL(0+)=u1(0+)-uC(0+)=2.4-7.2=-4.8V

iC(0+)=iL(0+)-i2(0+)=iL(0+)-

=1.2-

=1.2-1.2=03.2.2电路稳态值及其计算

换路后的最后时刻(即t=∞时刻)的电流、电压值统称为稳态值。如果外施激励是直流量，则稳态值也是直流量，可将电容代之以开路，将电感代之以短路，按电阻性电路计

算。确定稳态值的步骤如下：

(1)首先，做出换路后电路达到稳态时的等效电路(将电容代之以开路，将电感代之以短路)。

(2)然后，按电阻性电路的计算方法计算各稳态值。

例3-2

在图3-2-2(a)所示电路中，直流电压源的电压US=6V，直流电流源的电流IS=2A、R1=2Ω、R2=R3=1Ω、L=0.1H，求换路后的i(∞)和u(∞)。图3-2-2例3-2图

解换路后电路达到稳态时的等效电路如图3-2-2(b)所示。由该电路可得

例3-3

图3-2-3(a)所示电路中，US=9V、R1=2kΩ、R2=3kΩ、R3=4kΩ，开关闭合时，电路处于稳定状态，在t=0时将开关断开，求换路后的和uC(∞)。图3-2-3例3-3图

解首先做出换路后电路达稳态时的等效电路，如图3-2-3(b)所示。由该电路可得

只含有一个动态(储能)元件的电路称为一阶动态电路。动态电路中无外施激励电源，仅由动态(储能)元件初始储能的释放所产生的响应，称为动态电路的零输入响应。3.3一阶电路的零输入响应图3-3-1RC电路的零输入响应3.3.1RC电路的零输入响应

在图3-3-1所示电路中，开关S闭合前，电容C已充电，其电压uC=uC(0-)。开关闭合后，电容储存的能量将通过电阻以热能形式释放出来。现把开关动作时刻取为计时起点

(t=0)。开关闭合后，即t≥0+时，根据KVL可得：

uR-uC=0

(3-3)由于电流iC与uC参考方向为非关联参考方向，则，又uR=RiC，代入

上述方程，有：

(3-4)

这是一阶齐次微分方程，t=0+时，uC=uC(0+)=uC(0-)，求得满足初始值的微分方程的解为

(3-5)这就是放电过程中电容电压uC的表达式。

电容电流为

(3-6)

从以上表达式可以看出，电容电压uC、电流iC都是按照同样的指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中1/RC的大小。

令

τ=RC

(3-7)τ称为RC电路的时间常数。当电阻的单位为欧姆(Ω)，电容的单位为法(F)时，τ的单位为秒(s)。引入时间常数τ后，电容电压uC和电流iC可以分别表示为

(3-8)

(3-9)时间常数τ的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，它是反应过渡过程特征的一个重要的量。通过计算可以得到表3-1。

从表3-1可见，经过一个时间常数τ后，电容电压uC衰减了63.2%，或为原值的36.8%。在理论上要经历无限长的时间,uC才能衰减到零值。但工程上一般认为换路后，经过(3～5)τ的时间，过渡过程基本结束。表3-1时间常数τ=RC仅由电路的参数决定。在一定的uC(0+)下，当R越大时，电路放电电流就越小，放电时间就越长；当C越大时，储存的电荷就越多，放大时间就越长。实际

中常通过选择RC的值来控制放电时间的长短。

例3-4

供电局向某一企业的供电电压为10kV，在切断电源瞬间，电网上遗留的电压为10

kV。已知送电线路长L=30km，电网对地绝缘电阻为500MΩ，电网的每千米分布电容为C0=0.08μF/km，问：

(1)拉闸后1min，电网对地的残余电压为多少？

(2)拉闸后10min，电网对地的残余电压为多少？

解电网拉闸后，储存在电网电容上的电能逐渐通过对地绝缘电阻放电，这是一个RC串联电路的零输入响应问题。由题意知，长30km的电网总电容量为

C=C0L=0.08×30=0.24μF=2.4×10-7F

放电电阻为

R=500MΩ=5×108Ω

时间常数为

τ=RC=5×108×2.4×10-7=120s电容上初始电压为

在电容放电过程中，电容电压(即电网电压)的变化规律为

故

由此可见，电网断电，电压并不是立即消失，此电网断电经历了1min，仍有8.6kV的高压，当t=5τ=5×120=600s时，即在断电10min时电网上仍有95.3V的电压。3.3.2RL电路的零输入响应

在图3-3-2所示电路中，开关S闭合前，电感中的电流已经恒定不变，其电流iL=iL(0-)。开关闭合后，电感储存的能量将通过电阻以热能的形式释放出来。现把开关动作时刻取为计时起点(t=0)。开关闭合后，即t≥0+时，根据KVL可得：

uR+uL=0

(3-10)图3-3-2RL电路由于电流iL与uL参考方向为关联参考方向，则uL=L

，又uR=RiL，代入上述方程，有：

(3-11)

这是一阶齐次微分方程，t=0+时，iL=iL(0+)=iL(0-)，求得满足初始值的微分方程的解为(3-12)这就是放电过程中电感电流iL的表达式。

电感电压为(3-13)从以上表达式可以看出，电感电压uL、电流iL都是按照同样的指数规律衰减的。它们的衰减的快慢取决于指数中R/L的大小。

令

τ=

(3-14)

τ称为RL电路的时间常数。上述各式可以写为

iL(t)=iL(0+)

(3-15)

uL(t)=-RiL(0+)

(3-16)

例3-5

图3-3-3所示是一台300kW汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻R=0.189Ω，电感L=0.398H，直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻RV=5kΩ。开关未断开时，电路中电流已经恒定不变。在t=0时，断开开关。求：(1)电阻、电感回路的时间常数；

(2)电流i的初始值和开关断开后电流i的最终值；

(3)电流i和电压表处的电压UV；

(4)开关断开时，电压表处的电压。图3-3-3例3-5图

解

(1)时间常数为

τ=

=

=79.6μs

(2)开关断开前，由于电流已恒定不变，电感L两端电压为零，故

i=

=

=185.2A

由于电感中电流不能跃变，电流的初始值iL(0+)=iL(0－)=185.2A。

(3)由iL(t)=iL(0+)可得：

i=185.2e-12560tA电压表处的电压

UV=-RVi=-5×103×185.2e-12560t=-926e-12560tkV

(4)开关断开时，电压表处的电压为

UV(0+)=-926kV在这个时刻电压表要承受很高的电压，其绝对值远大于直流电源的电压U，而且初始瞬间的电流也很大，可能损坏电压表。由此可见，切断电感电流时必须考虑磁场能量的

释放。如果磁场能量较大，而又必须在短时间内完成电流的切断，则必须考虑如何熄灭因此而出现的电弧(一般出现在开关处)问题。零状态响应就是电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由外施激励引起的响应。3.4一阶电路的零状态响应图3-4-1RC电路3.4.1RC电路的零状态响应

在图3-4-1所示电路中，开关S闭合前，电路处于零初始状态，其电压uC=uC(0－)=0。

开关S闭合后，电路接入直流电压源US。现把开关动作时刻取为计时起点(t=0)。开关闭合后，即t≥0+时，根据KVL可得：

uR+uC=US

(3-17)由于电流iC与uC参考方向为关联参考方向，则iC=，又uR=RiC，代入上述方程，有：

RC

+uC=US

(3-18)

这是一阶非齐次微分方程，US其实也是电容充满电后的稳态电压UC(∞)。该微分方程的解为

uC(t)=US(1-

)=UC(∞)(1-

)

(3-19)这就是充电过程中电容电压uC的表达式，其中，τ=RC。电容电流为

(3-20)

RC电路接通直流电压源的过程也就是电源通过电阻对电容充电的过程。在充电过程中，电源供给的能量一部分转换成电场能量储存于电容中，一部分被电阻转变为热能消耗掉。电阻消耗的电能为从上式可见，不论电路中电容C和电阻R的数值为多少，在充电过程中，电源提供的能量只有一半转变成电场能量储存于电容中，另一半则被电阻所消耗，也就是说，充电效率只有50%。

例3-6

在图3-4-1所示电路中，已知US=200V，R=200Ω,C=1μF，电容事先未充电，在t=0时合上开关S。

(1)求时间常数和最大充电电流；

(2)求uC、uR和i的表达式及各自1ms时的值。

解

(1)时间常数为

τ=RC=200×1×10-6=200μs最大充电电流为

电路稳定时的uC(∞)为

uC(∞)=uS=220V

(2)uC、uR和i的表达式：

3.4.2RL电路的零状态响应

在图3-4-2所示电路中，开关S闭合前，电感中没有电流通过，其电流iL=iL(0－)=0。

开关闭合后，电感中的电流逐渐增大到一个恒定值。现把开关动作时刻取为计时起点(t=0)。开关闭合后，即t≥0+时，根据KVL可得：

uR+uL=US

(3-21)图3-4-2由于电流iL与uL参考方向为关联参考方向，则

，又uR=RiL，代入上述方程，有：

(3-22)

这是一阶非齐次微分方程。是电感充满电后的稳态电流iL(∞)。该微分方程的解为

(3-23)这就是充电过程中电感电流iL的表达式，其中τ=L/R。电感电压为

(3-24)

例3-7

图3-4-3所示电路为一直流发电机电路的简图，已知励磁绕组R=20Ω，励磁电感L=20H，外加电压为US=200V。

(1)试求当S闭合后，励磁电流的变化规律和达到稳态值所需要的时间。

(2)如果将电源电压提高到250V，求励磁电流达到额定值所需要的时间。图3-4-3例3-7图

解

(1)这是一个RL串联零状态响应的问题，可求得τ=L/R=20/20=1s，则

一般认为当t=(3~5)τ时过渡过程基本结束，取t=5τ=5s，则合上开关S后，电流达到稳态所需要的时间为5s，即认为励磁绕组的额定电流就等于其稳态值10A。

(2)由上述计算知，励磁电流达到稳态时需要5s。为缩短励磁时间常采用“强迫励磁法”，就是在励磁开始时提高电源电压，当励磁电流达到额定值后，再将电压调回到额定值。这种强迫励磁所需要的时间t计算如下：

由额定电流值相等，得：

10=12.5(1-e-t)

解上式得：

t=1.6s

由此可见，采用电压250V对励磁绕组进行励磁要比电压200V时所需的时间短，这样就缩短了起励时间，有利于发电机尽快进入到正常工作状态。3.5.1一阶电路的全响应

当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为一阶电路的全响应。

在图3-5-1所示电路中，开关S闭合前，电容已充电，其电压uC=uC(0－)≠0。开关S闭合后，电路接入直流电压源US。现把开关动作时刻取为计时起点(t=0)。开关闭合后，即t≥0+时，根据KVL可得：

uR+uC=US

(3-25)3.5一阶电路的全响应和三要素法图3-5-1RC一阶电路由于电流iC与uC参考方向为关联参考方向，则

，又uR=RiC，代入上述方程，有：

(3-26)

这是一阶非齐次微分方程，US其实也是电容达到稳态后的电压uC(∞)，求得的微分方程的解为

(3-27)这就是电容电压在t≥0+时的全响应，其中，τ=RC。

可以看出，式(3-27)右边的第一项是电路的零输入响应，右边的第二项则是电路的零状态响应，这说明全响应是零输入响应和零状态响应的叠加。即全响应=零输入响应+零状态响应将图3-5-1所示一阶电路的全响应分解成零输入响应和零状态响应后，电路如图3-5-2表示。图3-5-2RC一阶电路全响应的分解对式(3-27)稍作变形，可进一步化为

(3-28)

可以看出，式(3-28)右边的第一项是恒定值，大小等于直流电压源电压，是换路后电容电压达到稳态后的量，右边的第二项取决于时间常数τ，随着时间的增长按指数规律逐渐衰减到零，是电容电压瞬态的量，所以又常将全响应看作是稳态分量和瞬态分量的叠加，即

全响应=稳态分量+瞬态分量3.5.2一阶电路的三要素法

无论是把全响应分解为零状态响应和零输入响应，还是分解为稳态分量和瞬态分量，都不过是从不同的角度去分析全响应的。而全响应总是由初始值f(0+)、稳态分量f(∞)，

时间常数τ三个要素决定的。在直流电源激励下，仿式(3-28)，则全响应f(t)可写为

f(t)=f(∞)+［f(0+)-f(∞)］(3-29)由式(3-29)可以看出，若已知初始值f(0+)、稳态分量f(∞)和时间常数τ三个要素，就可以根据式(3-29)直接写出直流激励下一阶电路的全响应，这种方法称为三要素法。

而前面讲述的通过求解微分方程的方式求得储能元件响应函数的方法称为经典法。两种方法的对比见表3-2。表3-2三要素法简单易算，特别是对于求解复杂的一阶电路尤为方便。下面归纳出用三要素法解题的一般步骤：

(1)画出换路前(t=0－)的等效电路，求出电容电压uC(0－)或电感电流iL(0－)；

(2)根据换路定律uC(0+)=uC(0－)，iL(0+)=iL(0－)，求出响应电压u(0+)或电流i(0+)的初始值，即f(0+)；

(3)画出t=∞时的稳态电路(稳态时电容相当于开路，电感元件相当于短路)，求出稳态下电压响应u(∞)或电流i(∞)，即f(∞)；

(4)求出电路的时间常数τ。τ=RC或L/R，其中R值是换路后断开储能元件C或L，直流电压源相当于短路，直流电流源相当于断路，由储能元件两端看进去，用戴维宁等效电路求得的等效内阻。

例3-8

在图3-5-3所示电路中，开关S断开前电路处于稳态。已知US=20V，R1=R2=1kΩ，C=1μF。求开关打开后，uC和iC的解析式，并画出其曲线。

解选定各电流电压的参考方向如图3-5-3所示。图3-5-3例3-8图因为换路前电容上电流iC(0－)=0，故有

换路前电容上电压为

uC(0－)=i2(0－)R2=10×10-2×1×103=10V

由于uC(0－)<US，因此换路后电容将继续充电，其充电时间常数为

τ=R1C=1×103×1×10-6=10-3s=1ms电容充满电后的稳态电压U(∞)=US=20V，将上述数据代入式(3-28)，得

uC、iC随时间变化的曲线如图3-5-4所示。图3-5-4

uC、iC随时间变化曲线

例3-9

图3-5-5(a)所示电路中，t=0－时处于稳态，设US1=38V，US2=20V，R1=20Ω，R2=5Ω，R3=6Ω，L=0.2H。求t≥0时，电流iL。

解由图3-5-5(a)，计算换路前的电感电流：

图3-5-5例3-9图

由换路定律得：

iL(0+)=iL(0－)=1A

计算直流稳态电流的电路如图3-5-5(b)所示。

列网孔电流方程：

(R1+R2)i1-R2i2=US1-R2i1+(R2+R3)i2=-US2

求得：

i2=iL(∞)=0.44A令US1=US2=0，即直流电压源等效为短路，而电感元件相当于短路，根据戴维宁等效电路的原则画出等效电阻Req

的电路如图3-5-5(c)所示。其中，

则

由三要素法公式，得：iL(t)=iL(∞)+［iL(0+)-iL(∞)］=(0.44+0.56e-50t)A

例3-10

电路如图3-5-6所示，US1=12V，US2=10V，R1=2kΩ，R2=2kΩ，C=10μF，开关S合在1端，电路处于稳态。在t=0时刻，开关S由1端合到2端，求换路后电路中各量的初始值及电容电压的响应uC(t)。图3-5-6例3-10图

解

(1)求初始值。当开关S合在1端时

根据换路定律，当S合到2端瞬间

uC(0+)=uC(0－)=6V

uR2(0+)=uC(0+)=6V

则

由基尔霍夫电压定律可得

i1(0+)R1+uC(0+)+US2=0

则

(2)求稳态值。当开关合到2端后，电路达到稳态时C相当于开路。则

(3)求时间常数。电阻R为从C两端看进去的无源二端网络的等效电阻:

则时间常数为

τ=RC=1×103×10×10-6=0.01s

由一阶电路的三要素法可得

微分电路和积分电路是由电阻R和电容C构成的两个重要电路，这两种电路处理的信号多为脉冲信号，通过选择合适的时间常数可进行脉冲整形和产生脉冲信号。

3.6.1微分电路

微分电路即输出信号与输入信号的微分成正比的电路，一般可用于电子开关加速电路、整形电路和触发信号电路中。其电路如图3-6-1所示，当R、C参数选择合适时可以满足微分电路的条件。3.6微分电路与积分电路图3-6-1微分电路根据基尔霍夫电压定律列出方程

当时，周期，

此时

(3-30)即输出与输入的微分成正比，其条件为τT(即要求电路的时间常数τ远小于方波信号的脉冲宽度T)。

微分电路可将矩形波转化为如图3-6-2所示的尖脉冲，尖脉冲常用做触发器或晶闸管的触发信号。

用微分电路构成的放大器加速电容电路，可以加快三极管的导通和截止的转换速度。图3-6-2微分电路的波形变换3.6.2积分电路

积分电路即输出与输入的积分成正比的电路，这种电路可用于电视机的扫描电路中。

对如图3-6-3所示的电路，根据基尔霍夫电压定律可列方程

ui=uR+uo

其中

图3-6-3积分电路则

当时，周期,uRuo,此时

则

(3-31)

该电路为积分电路，即输出与输入的积分成正比。条件为τT，电路的时间常数τ远大于方波脉冲的宽度T。积分电路可以将矩形波转化为如图3-6-4所示的锯齿波和三角波。

积分电路可构成电视机场扫描电路中的场积分电路，此电路可在混合的同步信号中，取出场脉冲信号。微分电路与积分电路总结对比如下：

(1)微分电路与积分电路在电路形式上与前面介绍的电阻分压电路相似，但是电路的工作原理和分析方法是不同的。(2)微分电路的输出信号取自电阻R上，而积分电路的输出信号取自电容C上。

(3)微分电路中，要求RC电路的时间常数远小于脉冲宽度，而积分电路则要求RC电路的时间常数远大于脉冲宽度。图3-6-4积分电路的波形变换3.7.1阶跃函数

阶跃函数是动态电路分析中常用的函数。用u(t)表示单位阶跃函数，它的数学定义式为

(3-32)*3.7一阶电路的阶跃响应它的波形如图3-7-1(a)所示。在t=0－到t=0+之间发生了单位阶跃。当t<0时，u(t)=0；当t>0时，u(t)=1；当t=0时，u(t)从0跃变到1。当跃变量不是一个单位，而是k个单位时，可以用阶跃函数ku(t)来表示，其波形如图3-7-1(b)所示。当跃变不是发生在t=0时刻，而是发生在t=t0时，可以用延迟阶跃函数u(t-t0)来表示，其波形如图3-7-1(c)所示。图3-7-1阶跃函数u(t-t0)数学式为

(3-33)阶跃函数可以用来描述开关的动作，如图3-7-2(a)所示。用阶跃函数代替开关来表示在t=0时开关的作用，即可以用阶跃函数表示电路接到直流电压源上；图3-7-2(b)则用延时的阶跃函数来表示在t=t0时把电路接通2A的直流电流源。图3-7-2阶跃函数的开关作用单位阶跃函数还可以方便地表示分段函数，起到截取波形的作用。如图3-7-3(a)所示，从t=0起始的波形可以用阶跃函数表示为

(3-34)

若只需取f(t)的t>t0部分，可用式(3-34)得到如图3-23(b)所示的波形，则

(3-35)图3-7-3单位阶跃函数截取波形的作用3.7.2一阶电路的阶跃响应

电路在(单位)阶跃电压或电流激励下的零状态响应，称为(单位)阶跃响应，用符号s(t)表示，它可以利用三要素法计算出来。

对于图3-7-4(a)所示的RC串联电路，其初始值uC(0+)=0V，稳态值uC(∞)=1V，时间常数τ=RC。用三要素公式得到电容电压uC(t)的阶跃响应为s(t)=(1-

)u(t)。对于图3-7-4(b)所示的RL并联电路，其初始值iL(0+)=0，稳态值iL(∞)=1，时间常数τ=L/R。利用三要素公式得到电感电流iL(t)的阶跃响应为s(t)=(1-

)u(t)。图3-7-4RC串联电路和RL并联电路的阶跃响应

RC串联电路和RL并联电路的阶跃响应可以用一个表达式表示为

(3-36)

式中，时间常数τ=RC或τ=L/R。

如果阶跃激励不是在t=0而是在t=t0时施加的，则将电路阶跃响应中的t改为t-t0，即得到电路的阶跃延迟响应。例如，上述RC电路的阶跃延迟响应为

由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。二阶电路在电路结构上必须包含有两种独立的储能元件，而且在这种电路中，既储存电场能量又储存磁场能量。本节将通过对RLC

串联电路的讨论来阐明二阶电路的分析求解方法。*3.8二阶电路的响应图3-8-1在如图3-8-1所示的RLC串联电路中，若电容电压及电感电流的初始值分别为uC(0+)和iL(0+)，开关S在t=0时闭，则储能元件将通过电路进行放电。这是一个零输入响应电路。下面对电路的响应情况进行分析。由KVL，得

uR+uL-uC=0

按图中标定的电压、电流参考方向有

将以上各式代入KVL方程，便可以得出以uC为响应变量的微分方程

(3-37)式(3-37)为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为

LCp2+RCp+1=0

其特征根为

(3-38)式中，称为衰减系数，称为固有振荡角频率。

由式(3-38)可见，特征根由电路本身的参数R、L、C的数值来确定，反映了电路本身的固有特性。根据电路参数R、L、C数值的不同，特征根p1、p2可能出现如下4种情况:

(1)当(R/2L)2>1/LC时，p1、p2为不相等的负实根，称为过阻尼情况。特征根为

微分方程的通解为

(3-39)

式中待定常数A1、A2由初始条件来确定，其方法是当t=0+时刻，由式(3-39)可得

uC(0+)=A1+A2

(3-40)对式(3-39)求导，可得t=0+时刻uC对t的导数的初始值为

(3-41)

联立求解式(3-40)和式(3-41)，便可以解出A1、A2。由式(3-39)可见，零输入响应uC(t)是随时间按指数规律衰减的，没有振荡性质。uC(t)的波形如图3-8-2所示。图3-8-2过阻尼时uC的波形图3-8-3临介阻尼时uC的波形

(2)当时，p1、p2为相等的负实根，称为临界阻尼情况。特征根为

p1=p2=-α

微分方程的通解为

uC(t)=(A1+A2t)e-αt

(3-42)式中常数A1、A2由初始条件uC(0+)和uC′(0+)来确定。

根据式(3-42)可知，这种情况的响应也是非振荡的。uC(t)的波形如图3-8-3所示。

(3)当时，p1、p2为具有负实部的共轭复根，称为欠阻尼情况。

特征根为

式中

(3-43)

称为阻尼振荡角频率。微分方程的通解为

uC=Ae-αtsin(ωdt+φ)

(3-44)式中常数A和φ由初始条件确定。根据式(3-44)可知，uC随时间变化的规律具有衰减振荡的特性，它的振幅Ae-αt随时间按指数规律衰减，衰减的快慢取决于衰减系数α的大小，α越大则衰减得就越快。衰减

振荡的角频率为ωd。ωd越大，则振荡周期t=2π/ωd就越小。uC(t)的波形如图3-8-4所示。

(4)当R=0时，p1、p2为一对共轭虚根，称为无阻尼情况。特征根为

p1,2=±jω0

响应的表达式为

uC=Asin(ω0t+φ)

(3-45)

A和φ可以直接由初始条件确定。uC的波形如图3-8-5所示。图3-8-4欠阻尼时的uC波形图3-8-5无阻尼等振幅振荡时的uC波形从式(3-45)和uC的波形图中可见，电路的零输入响应是不衰减的正弦振荡，其角频率为ω0。由于电路电阻为零，故称为无阻尼等幅振荡情况。

1.过渡过程产生的原因

电路从一