《电路分析基础》课件5第4章

4.1叠加定理与齐次定理

4.2替代定理

4.3戴维南定理和诺顿定理

4.4最大功率传输定理

4.5特勒根定理

4.6互易定理

4.7对偶原理

习题4第4章电路定理4.1叠加定理与齐次定理

线性电路的基本性质是具有线性特性，包含叠加性和齐次性(或比例性)。它们是分析线性电路的重要依据，也是推导其他电路定理的基础。4.1.1叠加定理

在含有多个(或多种)激励的线性电路中，如何得到响应与激励之间的关系？叠加定理为研究这类问题提供了理论依据和方法，并经常作为建立其他电路定理的基础和方法。

下面以图4.1-1(a)所示电路为例来讨论这一问题。图4.1-1(a)中有一个独立电压源和一个独立电流源，试用网孔法求电路中的响应电流i。图4.1-1说明叠加定理的例子设网孔电流为i1、i2。由图可知，i2=is,对网孔1列出的KVL方程为

(R1+R2)i1+R2is=us

所以

于是

(4.1-1)由式(4.1-1)可知，响应i与两个激励都有关系，而且第一项只与us有关，第二项只与is有关。如令

则可将电流i写为

i=i′+i″式中，i′正比于us，可看做该电路在is=0(电流源视为开路)、仅us单独作用时R2上产生的电流，如图4.1-1(b)所示；i″正比于is，可看做该电路在us=0(电压源视为短路)、仅is单独作用时R2上产生的电流，如图4.1-1(c)所示。响应与激励的关系式(4.1-1)表明：由两个激励产生的响应等于每一激励单独作用时产生的响应之和。响应与激励之间关系的这种规律对任何具有唯一解的线性电路都是适用的，具有普遍意义。因此，线性电路中响应与多个激励之间的这种关系称为叠加性。

叠加定理可表述为：在任何由线性元件、线性受控源及独立源组成的线性电路中，每一支路的响应(电压或电流)都可以看成是各个独立源单独作用而其他激励为零(即其他独立电压源短路，独立电流源开路)时，在该支路中产生响应的代数和。

上面通过一具有两个独立源的电路对叠加定理进行了说明。如果有m个独立电压源，n个独立电流源共同作用于线性电路，那么电路中第k条支路的电压uk和第k条支路的电流ik可分别表示为

uk=k1us1+…+kmusm+km+1is1+…+km+nisn

ik=k11us1+…+k1musm+k1(m+1)is1+…+k1(m+n)isn

其中，系数取决于电路的参数和结构，与激励无关。必须指出：叠加定理必须在电路具有唯一解的假设下才能成立。在使用叠加定理时应注意：

(1)叠加定理仅适用于线性电路。

(2)叠加定理只能求解电压和电流，不能用来计算功率。

(3)应用叠加定理求电压、电流，叠加时应特别注意按照参考方向求其代数和。

(4)当一独立源作用时，其他独立源都应等于零(即独立电压源短路，独立电流源开路)。

(5)受控源不是独立源。在独立源每次单独作用时受控源都要保留，其数值随每一独立源单独作用时控制量数值的变化而变化。

(6)叠加的方式是任意的。对于含多个独立源的线性电路，可以将电路中的独立源分成几组，如何分组要视具体电路而定，每组中可以包含一个或多个独立源。其分组的基本原则是:在各分解电路中求解欲求的响应要方便易行。

【例4.1-1】如图4.1-2(a)所示的电路，求电压u和电流i。

【解】本题独立源数目有三个，若每一个独立源单独作用一次，则需作3个分解图，分别计算3次，比较麻烦。这里采用独立源分组作用。考虑本电路结构的特点，使3A独立电流源单独作用一次，其余独立源共同作用一次，作两个分解图，如图4.1-2(b)、(c)所示。由图(b)得图4.1-2例4.1-1图

由图(c)得

所以，由叠加定理得

u=u′+u″=2+2=4V

i=i′+i″=1－2=－1A

【例4.1-2】如图4.1-3(a)所示的电路，求电流i、电压u和1Ω电阻消耗的功率P。

【解】利用叠加定理求解。当10V独立电压源单独作用时，将6A独立电流源开路，受控源不是激励，应和电阻一样保留，如图4.1-3(b)所示。由于这时的控制量为i′，因此受控电压源的电压为3i′。列回路的KVL方程：

－10+2i′+i′+3i′=0图4.1-3例4.1-2图

解得

当6A独立电流源单独作用时，将10V独立电压源短路，受控源保留，如图4.1-3(c)所示。这时的控制变量为i″，故受控电压源的电压为3i″。根据KVL有：

2i″+1×(6+i″)+3i″=0

解得

i″=－1A,u″=－2×i″=2V

根据叠加定理，可得

1Ω电阻消耗的功率：

4.1.2齐次定理

齐次定理体现了线性电路的齐次性(又称比例性)。

齐次定理的内容表述为：当只有一个激励源(独立电压源或独立电流源)作用于线性电路时，其任意支路的响应(电压或电流)与该激励成正比。

【例4.1-3】如图4.1-4所示的电路，求u、i与激励源us的关系式。图4.1-4例4.1-3图

【解】利用节点法，列节点方程得

解得

式中，R1、R2和R3都是常数。

显然，若us增大k倍，响应u和i也随之增大k倍。这种性质称为齐次性或比例性。

【例4.1-4】如图4.1-5所示的电路，当us=102V时,求电流i1。图4.1-5例4.1-4图

【解】采用倒推法。设i1=1A，则应用节点电压法、KCL及KVL逐次求得

即

us=ud=34

V

故得

所以，当us=102V时：

4.2替代定理

替代定理又称置换定理，它对于简化电路的计算非常实用。无论是线性、非线性、时变、时不变电路，替代定理都是成立的。

替代定理的内容表述为：在具有唯一解的电路中，若已知第k条支路的电压uk或电流ik，则该支路可用大小和方向相同的电压源uk替代，或用大小和方向相同的电流源ik替代，或用阻值为uk/ik的电阻(uk与ik参考方向关联)替代，替代后电路其余各处的电压、电流均保持原来的值不变。为了说明替代定理，考虑图4.2-1(a)所示的电路，先利用节点法计算出支路电流i1、i2和支路电压uab,列节点方程，有

解得

uab=4V

支路电流:

(1)将1Ω与4V串联支路用4V独立电压源替代，如图4.2-1(b)所示。由该图可求得

,i1=10－2=8A,uab=1×i2+2=2+2=4V

(2)将1Ω与4V串联支路用8A独立电流源替代，如图4.2-1(c)所示。由该图可求得

i1=8A,i2=10－i1=10－8=2A,uab=1×i2+2=2+2=4V

图4.2-1验证替代定理电路

(3)将1Ω与4V串联支路用0.5Ω替代，如图4.2-1(d)所示。由该图可求得

可见，在三种替代后的电路中，计算出的支路电流i1、i2和支路电压uab与替代前的原电路是相同的,这就验证了替代定理的正确性。下面举例来熟悉替代定理在电路分析中的应用。

【例4.2-1】如图4.2-2(a)所示的电路，求电路中的电压u。图4.2-2例4.2-1图

【解】应用替代定理，将1A电流源与20Ω电阻串联支路用1A电流源替代,2A电流源与10Ω电阻串联支路用2A电流源替代,受控电流源与20Ω电阻串联支路用受控电流源替代，应用电流源并联等效并再次应用替代定理，将图(a)等效为图(b)，则又i2－i1=1

即

求得u1=10V

根据图(a)得

u=2×10+6+u1=26+10=36V

4.3戴维南定理和诺顿定理

在电路分析中，通常需要研究某一支路上的电压、电流或功率。对所研究的支路的两端来说，电路的其余部分就成为一个含源线性二端电路。戴维南定理和诺顿定理就是如何将一个含源线性二端电路等效成一个电源模型的重要定理。4.3.1戴维南定理

戴维南定理的内容可表述为：任一个含源线性二端电路N，可等效为一个电压源串联电阻的电源模型。该电压源的电压值uoc等于二端电路N两个端子间的开路电压，其串联的电阻Ro等于N内部所有独立源为零(独立电压源短路，独立电流源开路)时所得电路N0的端口等效电阻。

以上表述可用图4.3-1来表示。图中,uoc串联Ro的模型称为戴维南等效电源；负载可以是任意的线性或非线性电阻。图4.3-1戴维南定理示意图下面对戴维南定理进行证明。

图4.3-2为线性有源二端电路N与负载相连，设负载上电流为i，电压为u。根据替代定理将负载用理想电流源i替代，如图4.3-3(a)所示，替代后应不影响N中各处的电压、电流。由叠加定理知，电压u可分成两部分，写为

u=u′+u″

(4.3-1)

图4.3-2二端电路N接负载电路

其中,u′为由N内所有独立源共同作用时在端子间产生的电压,即端子间的开路电压，如图4.3-3(b)所示。所以

u′=uoc

(4.3-2)

u″是N内所有独立源为零，仅由电流源i作用在端子间产生的电压，如图4.3-3(c)所示。对N0二端电路来说，把它看成一个等效电阻Ro，且u″与i对Ro参考方向非关联，由欧姆定律可得

u″=－Roi

(4.3-3)图4.3-3戴维南定理的证明将u′、u″代入式(4.3-1)得

u=uoc－Roi(4.3-4)

根据式(4.3-4)可画出电路模型如图4.3-4所示。这样戴维南定理得证。

开路电压uoc的求取方法是：先将负载支路断开，设出uoc的参考方向，如图4.3-5所示，然后根据前面求解电路的方法计算该电路的端电压uoc。

图4.3-4戴维南等效源模型图图4.3-5开路电压的求法

Ro的求取方法如下：

(1)电阻等效法。当二端电路N内不含受控源时,可采用电阻串并联和△-Y互换的方法计算等效电阻(注意：独立电压源短路，独立电流源开路)。若二端电路N内含受控源，则采用下面介绍的方法。

(2)开路、短路法。在求得电路N两端子间开路电压uoc后，将两端子短路，并设端子短路电流isc的参考方向，应用所学的任何方法求出isc，如图4.3-6所示，等效电阻为(4.3-5)图4.3-6短路电流的求法

注意：

①若uoc的参考方向是a为高电位端，则isc的参考方向设成从a流向b。

②求uoc、isc时，N内所有独立源、受控源均保留。

(3)外加电源法。令N内所有的独立源为0(理想电压源短路，理想电流源开路)，若含有受控源，则受控源要保留，这时的二端电路用N0表示，在N0两端子间外加电源。若加电压源u，则求端子上的电流i(u与i对二端电路来说参考方向关联)，如图4.3-7(a)所示；若加电流源i，则求端子间的电压u，如图4.3-7(b)所示。两端子间的等效电阻为图4.3-7外加电源法求内阻Ro

(4)伏安法。所谓伏安法，就是对二端电路N设出端子上的电压、电流参考方向后，根据网络N的内部结构情况，应用KCL、KVL及欧姆定律的基本概念，推导出N两个端子上的电压-电流关系式(VCR)，即二端子间的伏安关系(VAR)。因为网络N是线性的，所以写出的伏安关系式是一次式，它的常数项即是开路电压uoc，电流i前面所乘系数即是等效内阻Ro。(4.3-6)

【例4.3-1】如图4.3-8(a)所示的电路，求当电阻RL分别为1.2Ω、3.2Ω时，该电阻上的电流i。图4.3-8例4.3-1图

【解】根据戴维南定理可知，电路中除RL之外，其他部分所构成的二端电路可以简化为戴维南等效电路，如图4.3-8(b)所示。

(1)求uoc。将该二端电路的ab端断开，如图4.3-8(c)所示，uoc即为该电路中ab两端的电压,设电压为u1、u2

且它们的参考方向如图4.3-8(c)所示，列KVL方程：

(2)求Ro。将二端电路内部的独立电压源短路，如图4.3-8(d)所示。应用电阻串并联等效方法，得该电路中ab两端的等效电阻为

Ro=4∥6+6∥4=4.8Ω

(3)根据已求得的uoc、Ro,由图4.3-8(b)可求得电流:

将RL=1.2代入上式得

将RL=3.2代入上式得

【例4.3-2】如图4.3-9(a)所示的电路，求负载电阻RL上的电流iL。图4.3-9例4.3-2图

【解】(1)求uoc。将图4.3-9(a)先作局部等效，并自ab两端断开待求支路，设uoc参考方向如图4.3-9(b)所示。由KVL得

所以

(2)求Ro。

方法一：开路、短路法求Ro。将图4.3-9(b)中两端子短路并设短路电流isc的参考方向如图4.3-9(c)所示。由图可知:

从而受控电压源:

(相当于短路)

因此图4.3-9(c)等效为图4.3-9(d)，显然

所以，由式(4.3-5)得

方法二：外加电源法求Ro。将图4.3-9(b)中的40V独立电压源短路，受控源保留，并在ab端子间加电压源u，设各支路电流如图4.3-9(e)所示。由图4.3-9(e)可得

由式(4.3-6)得

(3)画出戴维南等效源，接上待求支路，如图4.3-9(f)所示。由图可得

4.3.2诺顿定理

诺顿定理是戴维南定理的对偶形式，其内容可表述为：任一个有源线性二端电路N可等效为一个电流源并联电阻的电源模型。该电流源的电流值isc等于二端电路N两个端子短路时其上的短路电流，其并联的电阻Ro等于N内部所有独立源为零(独立电压源短路，独立电流源开路)时所得电路N0的端口等效电阻。以上表述可用图4.3-10来表示。图中，isc并联Ro的模型称为诺顿戴维南等效电源，负载可以是任意的线性或非线性电阻。

诺顿定理的证明非常简单。由于任何线性有源二端电路都可以等效为戴维南等效电路，因此根据电源两种模型互换即可得到诺顿等效电路，如图4.3-11所示。所以，诺顿定理可看做是戴维南定理的另一种形式。

由图4.3-11(b)可以看出，开路电压、短路电流和戴维南等效电阻三者之间的关系为图4.3-10诺顿定理等效源模型图

图4.3-11诺顿等效电路与戴维南等效电路的关系

【例4.3-3】如图4.3-12(a)所示的电路，用诺顿定理求u、i。图4.3-12例4.3-3图

【解】(1)求短路电流isc。将ab端短路，并标出短路电流isc及其参考方向,如图4.3-12(b)所示。由图可得

从而受控源的电压值为

(相当于短路)

这样图4.3-12(b)电路可等效为图4.3-12(c)，显然:

(2)求等效电阻Ro。

方法一：外加电源法求Ro。将独立电压源短路，并外加电流源i，求电压u。注意u与i对二端电路应取关联参考方向，如图4.3-12(d)所示。根据图4.3-12(d)，对10Ω的电阻利用欧姆定律，有

对节点a列KCL方程，并将上式代入，有

再对图4.3-12(d)中左边的网孔列KVL方程，并将i″和i3代入，得

化简上式得

u=2.5i2

故

方法二：开路短路法求Ro。短路电流isc在前面已求出，下面只要求出开路电压uoc即可。设定开路电压uoc的参考方向，如图4.3-12(e)所示。由KVL方程得

解得故

根据式(4.3-5)得

(3)画出诺顿等效源，接上待求支路，如图4.3-12(f)所示。由图可得

u=2.5i=2.5×2=5V

4.4最大功率传输定理

如图4.4-1(a)所示的电路中，由于二端电路N内部的结构和参数一定，所以戴维南等效电路中的uoc和Ro为定值。负载电阻所吸收的功率PL将随负载电阻RL的变化而变化，那么负载电阻RL多大时，电源传输给负载的功率为最大？图4.4-1二端电路N及其戴维南等效电源接负载电路由图4.4-1(b)可知，负载吸收的功率为

因网络N一定，故式(4.4-1)中的uoc、Ro一定，为求得负载上吸收最大功率的条件，取PL对RL的导数，并令它等于零，即(4.4-1)

解上式，得

RL=Ro

因此，当RL=Ro时负载RL获得最大功率，其最大值为

最大功率传输定理的内容为：一可变负载电阻接于线性有源二端电路N上，该二端电路的开路电压

uoc和戴维南等效内阻Ro已知，则当

RL=Ro

(4.4-2)时，负载可获得最大功率，其最大功率为

式(4.4-2)常称为最大功率匹配条件。(4.4-3)

对最大功率传输定理的几点说明如下：

(1)运用最大功率传输定理时，含有受控源的线性有源二端电路N的戴维南等效内阻不能为零或负值。

(2)二端电路N和它的等效电路就其内部功率而言是不等效的，等效电阻消耗的功率一般并不等于二端电路N内部消耗的功率，因此，实际上当负载得到最大功率时，其功率传输效率不一定是50%。

【例4.4-1】如图4.4-2(a)所示的电路，求负载电阻RL为多大时能获得最大功率，并求出最大功率PLmax。

【解】(1)由图4.4-2(b)所示的电路求得端口开路电压uoc:

uoc=20V

(2)根据图4.4-2(c)所示的电路求得端口短路电流isc：

isc=2A

(3)求得等效电阻Ro:

(4)等效电压源电路如图4.4-2(d)所示。

(5)由最大功率传输定理可知，当

RL=Ro=10Ω

时，其上可获得最大功率。此时负载RL上获得的最大功率为图4.4-2例4.4-1图

4.5特勒根定理

特勒根定理(Tellgent’sthorem)是由基尔霍夫定律直接导出的，它有两种表述形式。

特勒根定理的表述形式一：对于任意一个具有b条支路的集总参数电路，设各支路电压、支路电流分别为uk、ik(k=1,2,…,b)，且各支路电压和电流均取关联参考方向，则在任意时刻有

(4.5-1)特勒根定理的表述形式二：对于任意两个拓扑结构完全相同的集总参数电路N和，设支路数为b，相对应支路的编号相同，其第k条支路电压分别为uk和，支路电流分别为ik和(k=1,2,…,b)，且各支路电压和电流均取关联参考方向，则(4.5-2)(4.5-3)下面用两个一般性的电路来验证该定理的正确性。图4.5-1(a)、(b)是两个不同的电路N和，支路可由任意元件构成，显然它们具有相同的拓扑结构，设定支路电压、支路电流取关联参考方向，如图中所示。

对图4.5-1(a)所示的电路N，将各支路电压用其节点电位ua、ub、uc表示，有(4.5-4)图4.5-1特勒根定理验证

根据图4.5-1(b)所示的电路，对独立节点a、b、c列KCL方程，有

(4.5-5)将式(4.5-4)代入式(4.5-2)，有

将式(4.5-5)代入上式，可得

从而验证了式(4.5-2)，同理也可验证式(4.5-3)。上述论证过程可推广到任意电路。

4.6互易定理

互易定理的内容可表述为：对于仅含线性电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，另一个端口作响应端口(即所求响应在该端口上)。在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。互易定理可看做是特勒根定理的应用，有三种形式。形式一：如图4.6-1所示，激励为电压源，响应为短路电流，若，则。图4.6-1互易定理形式一形式二：如图4.6-2所示,激励为电流源，响应为开路电压，若，则。

图4.6-2互易定理形式二

形式三：如图4.6-3所示，激励分别为电压源和电流源，响应分别为开路电压和短路电流，若数值上，则数值上。

图4.6-3互易定理形式三互易定理可通过特勒根定理证明，证明过程省略。应用互易定理时需注意以下问题：

(1)互易定理只适用于一个独立源作用的纯线性电阻电路。

(2)互易前后应保持电路的拓扑结构及参数不变，仅理想电压源(或理想电流源)搬移，理想电压源所在支路中的电阻仍保留在原支路中。

(3)对于形式一和形式二，互易前后电压源极性与1-1′、2-2′支路电流的参考方向应保持一致，即要关联都关联，要非关联都非关联；对于形式三，互易前后两个激励支路电压、电流参考方向必须取不一致，即一个电路的激励支路关联，另一个电路的激励支路非关联。

4.7对偶原理

在前面的章节中，无论是对于电压源和电流源的分析，还是对于串联和并联电路的分析，有一个现象值得注意。例如,对于电阻元件，其关系式：

u=Ri

(4.7-1)

或

i=Gu(4.7-2)再例如,电压源的端电压：

u=us－Rsi

(4.7-3)

而电流源的输出电流:

i=is－Gsus

(4.7-4)

在上面的关系式中，如果把式(4.7-1)中的电压u换成电流i，将电阻R换成电导G，再将电流i换成电压u，即可得到式(4.7-2)；同样将式(4.7-3)、式(4.7-4)中的电压u与电流i互换，等效电阻Rs与等效电导Gs互换，电压源电压us与电流源电流is互换，则关系式可以彼此转换。

从上面所举的例子可以看到，电路中某些元素之间的关系(或方程)用它们的对偶元素对应地置换后，所得的新关系(或新方程)也一定成立，这个新关系(或新方程)与原有的关系(或方程)互为对偶，这就是对偶原理。

根据对偶原理，如果导出了电路某一关系式或结论，就等于解决了与它对偶的另一关系式和结论。这就为电路的分析提供了方便。必须注意，“对偶”和“等效”是两个不同的概念。习题4

4-1用叠加定理求图4-1所示电路中的电压u。图4-1习题4-1图4-2用叠加定理求图4-2所示电路中的电流i。图4-2习题4-2图4-3用叠加定理求图4-3所示电路中的电压u，并求电流源的功率。图4-3习题4-3图4-4如图4-4所示的电路，N为不含独立源的线性电路。已知当us=10V、is=4A时，u=1V；当us=－10V、is=－2A时，u=1V。求当us=20V、is=8A时的电压u。图4-4习题4-4图4-5应用叠加定理求图4-5所示电路中的电压u。图4-5习题4-5图4-6电路如图4-6所示。

(1)is=4A，求此情况下的电流i和电压u。

(2)is=12A，求此情况下的电流i和电压u。图4-6习题4-6图4-7如图4-7所示的梯形电路。

(1)已知u2=4V，求us、i和u1。

(2)已知us=27V，求i、u1和u2。

(3)已知i=1.5A，求us、u1和u2。图4-7习题4-7图4-8如图4-8所示的电