《电路分析基础》课件第4章

4.1叠加定理和齐次性定理

4.2替代定理

4.3戴维南定理和诺顿定理

4.4特勒根定理

4.5互易定理

4.6练习题及解答提示

习题4第4章网络定理由独立源和线性元件组成的电路称为线性电路。线性电路满足齐次性和可加性。齐次性定理和叠加定理所表达的就是线性电路的这一基本性质，这种基本性质在线性电阻电路中表现为电路的激励和响应之间所具有的线性关系。4.1叠加定理和齐次性定理4.1.1叠加定理

叠加定理可表述为：对于具有唯一解的线性电路，如果有多个独立源同时作用，则电路中任一响应(电流或电压)等于各个电源单独作用(其它独立源置零)时在该处所产生的分响应(电流或电压)的代数和。

下面首先利用图4-1所示电路说明叠加定理。图4-1叠加定理示意图图4-1(a)所示电路含有两个独立电流源，图4-1(b)、4-1(c)给出了独立电流源单独作用时的电路。对于图4-1(a)所示电路，由节点分析法可得节点电压U1、U2与激励之间的关系方程为

联立求解上面的方程，得节点电压为

由图4-1(b)所示电路可得电流源Is1单独作用时的节点电压为

(4-1)(4-2)由图4-1(c)所示电路可得电流源Is2单独作用时的节点电压为

显然，式(4-2)、式(4-3)分别是式(4-1)等式右边的第一项和第二项。可见，由两个电流源共同作用所产生的节点电压等于每个电流源单独作用时在该节点上产生的电压的代数和。(4-3)对于叠加定理的证明可以用回路分析法或节点分析法得到。下面用节点法证明如下：

设线性电路有b条支路、n个独立节点，则可列出其节点方程组：

(4-4)方程组(4-4)中等式右边的项isn1、isn2、…、isnn分别表示流入各独立节点的独立电流源电流及独立电压源变换为相应的电流源电流的代数和。若电路中含有受控源，则受控源的控制量用节点电压表示后，受控源可记入自电导或互电导中。应用克莱姆法则，可求得第k

个节点的节点电压为

(4-5)式中，D为方程组(4-4)的系数行列式；Dik

是D的第i行第k列的余因式，它们都是仅和元件参数有关的常数。若电路中含有m个独立电流源和n个独立电压源，则isn1、isn2、…、isnn为is1、is2、…、ism和us1、us2、…、usn的线性组合，将各独立电源的系数合并，式(4-5)可改写成以各电源为独立变量的表示形式，即

unk=k1is1+k2is2+…+kmism+km+1us1+…+km+nusn(4-6)式中，k1、k2、…、km+n为只与网络中元件参数有关的常数。式(4-6)即证明了节点电压unk等于各独立源单独作用在节点k上所产生的节点电压的代数和。又由节点电压的完

备性和支路的伏安关系，可证得线性网络中任意响应也为各激励单独作用时在该支路所产生的分响应的代数和。

叠加定理说明了线性网络的可加性这一性质。这种性质在线性电路的分析中起着重要的作用，它是分析线性电路的基础。在应用叠加定理时应注意以下几点：

(1)叠加定理适用于线性网络，不适用于非线性网络。

(2)应用叠加定理计算某一激励单独作用的分响应时，其他激励置零，即独立电压源短路，独立电流源开路；电路其余结构都不改变。

(3)任一激励单独作用时，该电源的内阻、受控源均应保留。

(4)受控源不能单独作用。

(5)叠加的结果为代数和，因此要考虑总响应与各个分响应的参考方向或参考极性。当分响应的参考方向与总响应的参考方向一致时，叠加取“+”号，否则取“－”号。

(6)叠加定理只适用于计算线性网络的电压和电流，不能用于功率和能量的计算，因为它们是电压或电流的二次函数。4.1.2齐次性定理

齐次性定理可表述为：在线性电阻电路中，若电路只有一个激励(独立电压源或独立电流源)作用，则电路中的任一响应(电压或电流)和激励成正比；若电路中含有多个激励，则当所有激励(独立电压源或独立电流源)同时增大或缩小

k倍时(k为任意实常数)，其响应将相应增大或缩小k倍。用齐次性定理可以方便地分析梯形电路。齐次性定理可以用叠加定理加以证明，这里不再赘述。

需要指出的是，齐次性定理与叠加定理是线性网络的两个相互独立的性质，不能用叠加定理代替齐次性定理，也不能片面地认为齐次性定理是叠加定理的特例。4.1.3叠加定理和齐次性定理的应用

下面举例说明叠加定理和齐次性定理的应用。

例4-1

试用叠加定理求图4-2(a)所示电路的响应u。图4-2例4-1题图

解利用叠加定理求图4-2(a)所示电路中的电压时，可先分别求出9A电流源单独作用(如图4-2(b))和24V电压源单独作用(如图4-2(c))时电路的分响应u′和u″，再叠加得

到总响应u。

当9A电流源单独作用时，电压源不起作用，将其用短路替代，如图4-2(b)所示，由分流公式及元件伏安关系得

当24V电压源单独作用时，电流源不起作用，将其用开路替代，如图4-2(c)所示，由分流公式及元件伏安关系得

根据叠加定理得两电源同时作用时的电压为

u=u′+u″=15+8=23V

例4-2

试用叠加定理计算图4-3(a)所示电路中的电压u、电流i及2Ω电阻所吸收的功率。

图4-3例4-2题图

解求图4-3(a)所示电路中10V电压源和5A电流源单独作用时的分响应电路如图4-3(b)和图4-3(c)所示。在用叠加定理分析含受控源电路时应注意：叠加定理中说的只是独立源单独作用，受控源不能单独作为电路的激励；在求独立源单独作用的分响应时，受控源应和电阻一样，始终保留在电路内，其控制量和受控源之间的控制关系不变，只不过控制量不再是原电路中的变量，而变为分响应电路中的相应变量，如图4-3(b)和图4-3(c)所示。当10V电压源单独作用时，电流源不起作用，将其用开路替代，而受控源保留且受控源的控制量为i′，如图

4-3(b)所示，由基尔霍夫电压定律及元件伏安关系得

2i′+i′+2i′=10

故

i′=2A

u′=1×i′+2i′=6V当5A电流源单独作用时，电压源不起作用，将其用短路替代，而受控源保留且受控源的控制量为i″,如图4-3(c)所示，由基尔霍夫电压定律及元件伏安关系得

2i″+(5+i″)+2i″=0

故

i″=－1A

u″=(5+i″)+2i″=2V根据叠加定理,得两电源同时作用时的电压、电流及功率如下：

u=u′+u″=6+2=8V

i=i′+i″=2－1=1A

p2Ω=i2×2=2W

在此应注意，电阻的功率不能由叠加定理直接求得，因为功率与电流(电压)的二次函数有关，不是线性关系，一般不服从叠加定理。

例4-3

图4-4所示线性网络N0为线性无源网络，当is1=

8A，is2=12A时，ux=80V；当is1=－8A，is2=4A时，ux=0V。求当is1=is2=20A时，ux为多少？图4-4例4-3题图

解由于N0内部不含有独立源，因此电路只有两个激励is1、is2，根据线性网络的线性性质可得：

ux=k1is1+k2is2

将已知条件代入上式，有

所以，当is1=is2=20A时，

本例充分体现了线性网络的线性性。在分析计算此类问题时，必须先建立响应和激励的关系式，再求解。

例4-4

求图4-5(a)所示电路中输出电阻上的电流i。

图4-5例4-4题图

解本例若用电阻串、并联和分压或分流关系计算电流i，则计算过程将很繁琐，因此我们不妨换一种思路进行分析。假设输出支路中电流=1A，如图4-5(b)所示。由KCL、KVL得出：

根据齐次性定理可得

故

4.2.1替代定理的概念

替代定理又称置换定理，其内容为：在具有唯一解的任意集总参数电路中，设已知某支路k的电压uk或电流ik，且该支路k与电路中其它支路无耦合，则该支路可用一电

压为uk的独立电压源或电流为ik的独立电流源替代，替代后电路仍具唯一解，且替代前后电路中各支路电压和电流保持不变。4.2替代定理替代定理可用下面具体例子来说明。

对于图4-6(a)所示电路，可通过计算得i1=3A，i2=2A，u=8V。现将4Ω电阻所在支路用is=i2=2A，方向与原支路电流方向一致的独立电流源替代，如图4-6(b)所示；或用

us=u=8V，极性与原支路电压方向一致的独立电压源替代，如图4-6(c)所示。由替代后所得两电路不难求得：i1=3A，

i2=2A，u=8V，即替代前后电路中各支路电压和电流保持不变。图4-6替代定理示意图替代定理证明如下：

对于任一有n条支路的集总参数电路，若各支路电流为i1，i2，…，in，支路电压为u1，u2，…，un，当第k条支路用is=ik，方向与原支路电流方向一致的独立电流源替代时，由KCL可知，其余支路电流i1，i2，…，ik－1，ik+1，…，in均不变。此外，由于除第k条支路以外其它各支路的伏安关系不变，因此u1，u2，…，uk－1，uk+1，…，un不变，由KVL可知，uk也不变。同理可证：当第k条支路用us=uk，方向与原支路电压方向一致的独立电压源替代时，替代前后电路中各支路电压和电流也保持不变。应用替代定理分析电路时应注意以下几点：

(1)替代定理适用于任意集总参数电路，无论电路是线性的还是非线性的，时变的还是时不变的。

(2)替代定理要求替代前后的电路必须有唯一解。

(3)所替代的支路与其它支路间需无耦合。

(4)“替代”与“等效变换”是两个不同的概念。“替代”是用独立电压源或独立电流源替代已知电压或电流的支路，替代前后替代支路以外电路的拓扑结构和元件参数不能改变，因为一旦改变，替代支路的电压和电流将发生变化；而等效变换是将两个具有相同端口伏安特性的电路进行相互转换，与变换以外电路的拓扑结构和元件参数无关。

(5)不仅可以用电压源或电流源替代已知电压或电流的支路，而且可以替代已知端口电压或端口电流的二端网络。因此应用替代定理可将一个大网络撕裂成若干个小网络，以便于对大网络进行分析，如图4-7所示。图4-7大网络的撕裂4.2.2替代定理的应用

下面举例说明替代定理的应用。

例4-5

在图4-8(a)所示电路中，已知无源网络N0，当22′端口开路时，11′端的输入电阻为5Ω；当11′端接

1A电流源时，22′端的端口电压u=1V。试求如图4-8(b)所示电路中，当11′端接内阻为5Ω、电压为0V的实际电压源时，22′端的端口电压u′为多少？图4-8例4-5题图

解由题意可知，无源网络N0的22′端口开路时，11′端的输入电阻为5Ω，故图4-8(b)所示电路中流过实际电压源支路的电流为

根据替代定理可将图4-8(b)中的实际电压源支路用1A的电流源替代，则替代后的电路与图4-8(a)相同，故有

u′=u=1V尽管利用等效变换的方法(第2章)求含源二端网络的等效电路时使人感到直接、简便，但只能在某些特殊场合使用(例如电阻串、并联时)，当电路较复杂时用此方法求等效电路则很麻烦。因此，本节将介绍另一种求含源二端网络的等效电路及VCR的方法——戴维南定理和诺顿定理。这两种方法对求含源二端网络的等效电路及VCR提出了普遍适用的形式，故它们可适用于解决复杂网络的分析与计算，且应用更为广泛。4.3戴维南定理和诺顿定理4.3.1戴维南定理

戴维南定理(Thevenin’stheorem)是由法国电讯工程师戴维南于1883年提出的。戴维南定理可表述如下：任意一个线性有源二端网络N(如图4-9(a)所示)，就其两个输出端而言，总可与一个独立电压源和一个线性电阻串联的电路等效(如图4-9(b)所示)。其中，独立电压源的电压等于该二端网络N输出端的开路电压uoc(如图4-9(c)所示)；串联电阻R0

等于将该二端网络N内所有独立源置零时从输出端看入的等效电阻(如图4-9(d)所示)。该定理中的独立电压源与电阻串联的电路通常称为二端网络N的戴维南等效电路(如图4-9(b)所示)，串联电阻R0也称为输出电阻。

图4-9戴维南定理示意图戴维南定理可用叠加定理和替代定理证明。下面给出该定理的证明：

图4-10(a)是线性有源二端网络N与外电路相连接的电路。假设二端网络N输出端钮a、b上的电压、电流分别为u和i，则根据替代定理，可用is=i的独立电流源替代外电路，如图4-10(b)所示，替换后网络N的端口电压、电流不变。又由于含源二端网络N是线性网络，故根据叠加定理，图4-10(b)所示电路中的电压u可看成两个电压分量之和，即u=u′+u″。其中，u′是is=0时由网络N内部所有独立源作用时在端口所产生的电压分量，即网络N的开路电压，有u′=uoc，如图4-10(c)所示；u″为网络N内部所有独立源置零、仅有独立电流源is单独作用时在a、b端所产生的电压分量。此时网络N从a、b端看进去为一无源网络N0，可用其输出电阻R0等效替代，它在电流is的作用下产生的电压为u″=－R0is=－R0i，如图4-10(d)所示。所以有

u=u′+u″=uoc－R0i(4-7)

上式即为线性含源二端网络N在端口a、b处的伏安关系的一般表示形式，它与戴维南电路对外供电时的伏安关系完全一致。这说明：线性含源二端网络N，就其端口a、b而言可等效为一个实际电压源模型(戴维南电路模型)，如图

4-10(e)所示。由此证明了戴维南定理。图4-10戴维南定理证明用图4.3.2诺顿定理

诺顿定理(Norton’stheorem)由美国贝尔电话实验室工程师诺顿于1926年提出。诺顿定理与戴维南定理有对偶关系，其内容表述如下：任意一个线性有源二端网络N(如图

4-11(a)所示)，就其两个输出端而言，总可与一个独立电流源和一个线性电阻并联的电路等效(如图4-11(b)所示)。其中，独立电流源的电流等于该二端网络N输出端的短路电流isc(如图4-11(c)所示)，并联电阻R0等于将该二端网络N内所有独立源置零时从输出端看入的等效电阻(如图4-11(d)所示)。该定理中的独立电流源与电阻并联的电路通常称为二端网络N的诺顿等效电路(如图4-11(b)所示)。

诺顿定理的证明和戴维南定理的证明相似，不再赘述。

应用戴维南定理和诺顿定理时的几点说明：

(1)应用戴维南定理和诺顿定理时，要求被等效的含源二端网络N是线性的，且与外电路之间无耦合关系。

(2)在求戴维南等效电路或诺顿等效电路中的电阻R0时，应将二端网络中的所有独立源置零，但受控源应保留在电路中。图4-11诺顿定理示意图

(3)当R0≠0和R0≠∞时，有源二端网络既有戴维南等效电路又有诺顿等效电路，且uoc、isc、R0存在如下关系：

4.3.3戴维南定理和诺顿定理的应用

戴维南定理和诺顿定理在电路分析中的应用非常广泛。在一个复杂的电路中，如果对某些二端网络内部的电压、电流无求解需求，就可用这两个定理对这些二端网络进行化简。特别是仅对电路的某一元件感兴趣时，这两个定理尤为适用。

例4-6

试求图4-12(a)所示有源二端网络的戴维南等效电路。图4-12例4-6题图

解

(1)求开路电压uoc。求开路电压的电路如图4-12(b)所示，因为i=0，所以

故

(2)求等效电阻R0。将二端网络中所有独立源置零，得图4-12(c)所示的求等效电阻R0的电路，则其等效电阻为

R0=4+6∥3=6Ω

因此可得戴维南等效电路如图4-12(d)所示。

例4-7

试求图4-13(a)所示二端网络的诺顿等效电路。

图4-13例4-7题图

解

(1)求短路电流isc。求短路电流isc的电路如图

4-13(b)所示，则由KVL得

6i′+3i′=0

解得受控源控制量i′为

i′=0

所以

(2)求输出电阻。

将二端网络中所有独立源置零，得图4-13(c)所示的求等效电阻R0的电路。由于电路中含有受控源，故本题用加压求流法求等效电阻。设a、b端口电压为u″，电流为i1,由KVL得

u″=6i″+3i″=9i″

又由6Ω和3Ω并联电阻的分流关系得

所以

因此可得诺顿等效电路如图4-13(d)所示。

例4-8

试用戴维南定理求图4-14(a)所示电路中的电流i。

图4-14例4-8题图

解用戴维南定理求电路中某一支路的电流或电压时，应先把待求支路移开，将余下的电路部分即a、b以左电路用戴维南电路来等效。

(1)求开路电压uoc。a、 b开路后的电路如图4-14(b)所示，因为i=0，故有

uoc=6i1+4i1=10i1=20V

(2)求等效电阻R0。将图4-14(b)所示二端网络中所有独立源置零，得图4-14(c)所示的求等效电阻R0的电路。由

于电路中含有受控源，故本题用加压求流法求等效电阻。设a、b端口电压为u′，电流为i′，则由KVL可得

又由于

故u′=4i′

(3)求电流i。a、b以左电路用戴维南电路等效变换后，将图4-14(a)所示电路等效为图4-14(d)所示电路。由图4-14(d)得

例4-9

试用诺顿定理求图4-15(a)所示电路中的电压u。

图4-15例4-9题图

解用诺顿定理求电路中某一支路的电流或电压时，应先把待求支路移开，将余下的电路部分即a、b以左电路用诺顿电路来等效。

(1)求短路电流isc。a、b短路后的电路如图4-15(b)所示。因为u=0，所以受控电流源电流为零，相当于开路，故有

(2)求等效电阻R0。本题用开路短路法求等效电阻R0。先求a、b以左电路的开路电压uoc，此时电路如图4-15(c)所示，由KVL得

uoc=5+3×0.3uoc

故uoc=50V

由开路短路法得

(3)求电压u。a、b以左电路用诺顿电路等效变换后，可将图4-15(a)所示电路等效为图4-15(d)所示电路。由

图4-15(d)得

由以上例题可以看出,用戴维南定理或诺顿定理分析线性网络的关键在于求有源二端网络输出端的开路电压或短路电流以及相应的无源网络的等效电阻，从而得到其相应的戴维南等效电路或诺顿等效电路。一般而言：

(1)在求取开路电压、短路电流时，只需根据定义将原电路输出端开路或短路，然后用节点法、网孔法或其它方法求得。

(2)等效电阻的计算方法有三种：

①对于简单电阻电路，可直接利用电阻的串、并联等效求得。

②外加电源法，即求复杂的无源二端网络(尤其是含受控源的无源二端网络)的等效电阻，可以通过在网络输出端加电压源(或电流源)，求出输出端的电流(或电压)，再由式

求得等效电阻R0。

③开路短路法，即首先求出有源二端网络输出端的开路电压uoc和短路电流isc，再由式求出等效电阻R0。4.3.4最大功率传输定理

在通信技术中，常常希望负载能从信号源获得最大功率。事实上，在信号源给定的情况下，负载不同，从信号源获得的功率也不同。下面我们讨论与线性有源二端网络相接的负载电阻RL为何值时才能获得最大功率。

根据戴维南定理，与负载相连的有源二端网络总可以用戴维南等效电路等效。因此，对负载从有源二端网络获得最大功率的讨论可以转化为对图4-16所示电路的分析。由于有源二端网络已给定，故图4-16所示电路中的独立电压源uoc和电阻R0为定值，负载电阻RL所吸收的功率p只随RL的变化而变化。在图4-16所示电路中，负载电阻RL为任意值时，它所吸收的功率pL为

因为当RL=0或RL=∞时，pL=0，所以RL为(0，∞)区间中的某个值时可获得最大功率。由高等数学知识可知，要使pL为最大，应使dpL/dRL=0，即(4-8)(4-9)图4-16求最大功率传输

由此可得pL为最大时的RL，即

RL=R0

(4-10)

因此在负载电阻RL与有源二端网络的戴维南等效电路的等效电阻R0相等的条件下，负载电阻RL可获得最大功率，此条件称为最大功率传输定理。满足RL=R0时，称为最大功率匹配，此时负载获得的最大功率为

从上式不难看出，求解最大功率传输问题的关键在于求有源二端网络的戴维南等效电路。(4-11)

例4-10

电路如图4-17(a)所示，其中电阻RL可调，试问RL为何值时能获得最大功率，此最大功率为多少？

解首先求图4-17(a)中RL以外的有源二端网络的戴维南等效电路。由图4-17(b)求得

由图4-17(c)求得

R0=10∥10=5Ω

图4-17(a)所示电路可等效为图4-17(d)所示电路，可知，当RL=R0=5Ω时，可获得最大功率，此时最大功率为图4-17例4-10题图特勒根定理(Tellegen’stheorem)是电路理论中的重要定理，它适用于任何集总参数网络。特勒根定理仅通过基尔霍夫定律导出，与基尔霍夫定律一样反映了电路的互联性质，与电路元件的性质无关。4.4特勒根定理4.4.1特勒根定理的形式

特勒根定理有两个，现分述如下：

特勒根定理1任一具有b条支路、n个节点的集总参数网络，设它的各支路电压和电流分别为uk和ik(k=1，2，3，…，b)，且各支路电压和支路电流取关联参考方向，则对任何时刻t，有

由于上式中每一项是同一条支路电压和电流的乘积，表示支路吸收的功率，因此特勒根定理1所表达的是功率守恒，故又称为功率守恒定理。(4-12)

特勒根定理2

两个具有相同有向线图的集总参数网络N和N′，设它们的支路电压分别为uk、，支路电流分别为ik、(k=1，2，3，…，b)，且各支路电压和

支路电流取关联参考方向，则对任何时刻t，有

和(4-13)(4-14)式(4-13)和式(4-14)中的每一项是一个网络的支路电压和另一个网络相应支路的支路电流的乘积，具有功率的量纲但又不表示任何支路的功率，因此称为似功率。特勒根定理2所表达的是似功率守恒，故又称为似功率守恒定理。

显然，特勒根定理1是特勒根定理2中网络N和N′为同一网络的特例。

特勒根定理证明如下：若两个具有相同有向线图的网络N、N′有n个节点，选一个节点为参考节点，设其余n－1个独立节点的节点电压分别为unm、(m=1，2，3，…，n－1)，如果支路k连接节点i与j且该支路方向由节点i指向j，则第k条支路的支路电压uk、可表示为

uk=uni－unj，(4-15)将网络N中的各支路电压用式(4-15)所示的节点电压表示，代入式(4-13)并以节点电压合并同类项，则有

(4-16)式中表示网络N′中流出节点k的所有支路电流的代数和。由于网络N′中各支路电流满足KCL，故等式(4-16)成立，即

同理可证式(4-14)也成立。

由于以上对特勒根定理的证明只用到基尔霍夫定律，因此特勒根定理和基尔霍夫定律一样，只和网络的拓扑结构有关，而与组成网络的元件无关。所以，特勒根定理适用于一切集总参数网络，是集总参数网络的普遍定理。特勒根定理在网络理论中还常常被用于证明其它定理。4.4.2特勒根定理的应用

例4-11

在图4-18(a)所示电路中，N0为无源线性网络，仅由电阻组成，当R2=2Ω，u1=6V时，i1=2A，u2=2V。试求当R2

改为4Ω，u1=10V时，测得i1=3A情况下的电压u2为多少？图4-18例4-11题图

解设图4-18(a)构成特勒根定理1中的网络N，则R2改为4Ω时构成网络N′，如图4-18(b)所示，N与N′有相同的有向图。又设网络N0含有b-2条支路，记为支路3至b，则根据特勒根定理2，有

又由于N0为无源线性(仅有电阻组成)网络，故对于网络N0中的第k条支路,有

因此

将u2=2i2，，及u1=6V，i1=2A，u2=2V，

代入上式，得

故可解得

所以，当R2改为4Ω，u1=10V时，测得i1=3A情况下，u2=4V。互易定理(reciprocitytheorem)是互易网络所具有的重要性质之一。粗略地说，如果将一个网络的激励和响应的位置互换，而网络对相同激励的响应不变，则称该网络具有互易性。具有互易性的网络称为互易网络。由于并非所有网络都是互易网络，因此互易定理的适用范围较窄。4.5互易定理4.5.1互易定理的形式

互易定理分三种形式进行描述。

·互易定理形式一的内容如下：

如图4-19所示电路，设网络NR为不含独立源和受控源、仅由线性电阻组成的网络，若在端子11′端加入电压源us作为激励，端子22′端的短路电流i2为输出，如图4-19(a)所示，如将激励和响应的位置互换，即相当于把此激励移至22′端，而响应为11′端的短路电流，如图4-19(b)所示，则在图4-19所示电路的各电压、电流参考方向下，有

图4-19互易定理形式一

·互易定理形式二的内容如下：

如图4-20所示电路，设网络NR为不含独立源和受控源、

仅由线性电阻组成的网络，若在端子11′端加入电流源is作为激励，端子22′端的开路电压u2为输出，如图4-20(a)所示，如将激励和响应的位置互换，即相当于把此激励移至22′端，而响应为11′端的开路电压，如图4-20(b)所示，则在图4-20所示电路的各电压、电流参考方向下，有

图4-20互易定理形式二

·互易定理形式三的内容如下：

如图4-21所示电路，设网络NR为不含独立源和受控源、

仅由线性电阻组成的网络，若在端子11′端加入电压源us作为激励，端子22′端的开路电压u2为输出，如图4-21(a)所示，如将激励和响应的位置互换，且将激励换成相同数值的电流源is，而响应为11′端的短路电流，如图4-21(b)所示，则在图4-21所示电路的各电压、电流参考方向下，有u2与在数值上相等。图4-21互易定理形式三互易定理可用特勒根定理证明：设上述三种形式中的网络NR中含有b－2条支路，即为支路3至支路b，加上激励支路和响应支路，则网络共有b条支路，由于每种形式的图(a)和图(b)具有相同的有向线图，因而根据特勒根定理必然有

和(4-17)(4-18)由于网络NR是电阻网络，存在支路约束，即

uk=Rik(k=1，2，3，…，b)

和

(k=1，2，3，…，b)

因此

(4-19)

对于形式一，将u1=us，u2=0，，代入式(4-20)，可得

故

即互易定理形式一得以证明。(4-20)对于形式二，将i1=is，i2=0，，代入式

(4-20)，可得

故

即互易定理形式二得以证明。对于形式三，将u1=us，i2=0，，代入式(4-20)，可得

由于us与is在数值上相同，故有u2与数值上也相等，即互易定理形式三得以证明。4.5.2互易定理的应用

应用互易定理分析电路时应注意以下几点：

(1)互易定理只适用于不含受控源的单个独立源激励的线性网络，对其它的网络一般不适用。

(2)要注意定理中响应和激励的参考方向。对于形式一、形式二，若互易两支路互易前后的激励和响应的参考方向关系一致(都关联或都非关联)，则由相同的激励产生的响应相同；否则，相同激励产生的响应相差一个负号。对于形式三，若互易两支路互易前后的激励和响应的参考方向关系不一致，则数值上相等的激励产生的响应在数值上相同；否则，数值上相等的激励产生的响应在数值上差一个负号。

例4-12

试求图4-22(a)所示电路中的电流i。

图4-22例4-12题图

解由于图4-22(a)所示电路中的Rx未知，因此直接求电流i较为困难。可用互易定理的形式一求解，将图4-22(a)中的激励5V电压源与响应10Ω电阻支路中的电流i的位置互

换，互易后的电路如图4-22(b)所示，根据互易定理可知，图4-22(b)中的电流i′与图4-22(a)中的电流i应相等。

由于图4-22(b)为平衡电桥电路，故Rx中无电流，可用开路替代，因而有

利用分流公式，得

故

例4-13

线性无源二端网络N0仅由电阻组成，如图

4-23(a)所示，当us=100V时，u2=20V。求当电路改为图

4-23(b)所示电路时的电流i。

图4-23例4-13题图

解首先将图4-23(a)改画成图4-23(c)所示的电路，显然图(b)和图(c)符合互易定理的形式三，因此，根据互易定理的形式三及线性网络的齐次性，可得

1.电路如图4-24所示，其中r=2Ω。试用叠加定理求电流ix。

提示：本题可直接利用叠加定理求解。先求出电压源和电流源单独作用时的分响应，再相加。求分响应时，其它独立源置零，但受控源和电阻一样必须保留在电路内。

［ix=1.4A］4.6练习题及解答提示图4-24

2.如图4-25所示电路，其中N为含独立源的线性电阻网络，已知：(1)当Us=5V时，UR2=7V；(2)当Us=8V时，UR2=10V。试求当Us=10V时，电阻R2两端的电压UR2

为多少？

提示：本题是多个独立源共同作用于电路的问题，可以利用叠加定理将响应分为电压源Us单独作用下的分响应和线性有源网络N内所有独立源共同作用下的分响应两部分加以讨论。

［UR2=12V］图4-25

3.线性无源二端网络NR仅由电阻组成，如图4-26(a)所示。求当电路改为图4-26(b)所示电路时2Ω电阻上的电压U。

提示：本题可用替代定理求解。首先将25V电压源和

5Ω电阻串联的支路用12.5V电压源替代，然后求响应。

［U=－5V］图4-26

4.求图4-27所示电路的戴维南等效电路。

提示：本题直接利用戴维南定理求解，即先求开路电压，再求等效电阻，从而得等效电路。

［uoc=4/3V，R0=28/3Ω］图4-27

5.试求图4-28所示含受控电源电路的诺顿等效电路。图中us=12V，转移电导g=0.2S。

提示：本题直接利用诺顿定理求解，即先求短路电流，再求等效电阻，从而得等效电路。

［isc=1.2A，R0=12.5Ω］图4-28

6.用戴维南定理求图4-29所示电路中的电压u。

提示：本题先将2Ω以左电路等效为戴维南等效电路，再求响应。

［u＝6V］图4-29

7.用诺顿定理求图4-30所示电路中的电流i。

提示：本题先将20Ω以左电路等效为诺顿等效电路，再求响应。

［i＝1A］图4-30

8.根据图4-31(a)、(b)所示的数据，试用诺顿定理求图4-31(c)中的电压u。

提示：本题先将有源二端网络N等效为诺顿电路，再求响应。

［u＝5/3V］图4-31

9.电路如图4-32所示，试求RL为何值时可获得最大功率，最大功率PLmax为多少？

提示：本题首先将负载电阻RL以左电路等效为戴维南等效电路，再根据最大功率传输定理求响应。

［RL=3Ω，PLmax＝9/8W］图4-32

10.图4-33所示电路中NR仅由电阻组成，对不同的输入直流电压Us及不同的R1、R2值进行了两次测量，得下列数据：R1=R2=2Ω时，Us=8V，I1=2A，U2=2V；R1=

1.4Ω，R2=0.8Ω时，，求的值。

提示：本题可利用特勒根定理求解。

［］图4-33

11.在图4-34所示电路中，已知i1=2A，i2=1A，若把电路中间的电阻R2支路断开，试问此时电流i1为多少？

提示：本题可利用互易定理和叠加定理求解。

［i1=1A］图4-34

4-1用叠加定理求题图4-1所示电路中的电流I。习题4题图4-14-2试用叠加定理求题图4-2所示电路中的电流Is。题图4-24-3试用叠加定理求题图4-3所示电路中的电流I。题图4-3

4-4在题图4-4所示电路中，已知：(1)当us1=60V，

us2=0V时，i=14A；(2)当us1=0V，us2=25V时，i=2A。试求：当us1=100V，us2=100V时，i为多少？题图4-4

4-5题图4-5所示线性网络N只含电阻。若is1=8A，

is2=12A时，ux=80V；若is1=－8A，is2=4A时，ux=0V。

(1)若is1=is2=20A时，ux为多少？

(2)若所示网络N含有独立源，当is1=is2=0A时，ux=

－40V，所有(1)中的数据仍有效，求当is1=is2=20A时，

ux为多少？题图4-5

4-6在题图4-6所示电路中，当电流源is1和电压源us1反向时(us2不变)，电压uab是原来的0.5倍；当电流源is1和电压源us2反向时(us1不变)，电压uab是原来的0.3倍。问：仅电流源is1反向(us1，us2不变)时，电压uab是原来的多少倍？题图4-64-7试用叠加定理求题图4-7所示电路中的电压Ux。题图4-74-8试用叠加定理求题图4-8所示电路中的U2和I1。题图4-8

4-9