1998年北京高考理科数学真题及答案

第页|共页1998年北京高考理科数学真题及答案一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）sin330°等于（）A．-32 B．-122．（4分）函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（）A． B． C． D．3．（4分）曲线的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为（）A．（x+2）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4 C．（x+4）2+y2＝16 D．（x﹣4）2+y2＝164．（4分）两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直的充要条件是（）A．A1A2+B1B2＝0 B．A1A2﹣B1B2＝0 C．A1A5．（4分）函数f（x）=1x（x≠0）的反函数f﹣1（A．x（x≠0） B．1x（x≠0） C．﹣x（x≠0） D．-1x（6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A．(π2，C．(π27．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．120° B．150° C．180° D．240°8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A．32±12i B．-32±129．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2S0=S+S′ B．S0=S′S C．2S0＝S+S′ D．S10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A． B． C． D．11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种 B．180种 C．270种 D．540种12．（4分）椭圆x212+y23=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在yA．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍13．（4分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4πA．43 B．23 C．2 D．314．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（）A．arccos5-12 B．arcsin5-1215．（4分）在等比数列{an}中，a1＞1，且前n项和Sn满足limn→∞Sn=1a1A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1，2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16．（5分）已知圆C过双曲线x29-17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为（用数字作答）．18．（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）19．（5分）关于函数f（x）＝4sin(2x+π3)（x①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos(2x-π③y＝f（x）的图象关于点(π④y＝f（x）的图象关于直线x=-π其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（共6小题，满分70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c＝2b，A﹣C=π3．求sinsinθ+sin∅＝2sinθ+ϕ2cosθ-ϕsinθ﹣sin∅＝2cosθ+ϕ2sinθ-ϕcosθ+cos∅＝2cosθ+ϕ2cosθ-ϕcosθ﹣cos∅＝﹣2sinθ+ϕ2sinθ-ϕ21．（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|＝3，且|BN|＝6．建立适当的坐标系，求曲线段C22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝23，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．24．（12分）设曲线C的方程是y＝x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（t2，s（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t34-t25．（12分）已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1+b2+…+b10＝145．（1）求数列{bn}的通项bn；（2）设数列{an}的通项an＝loga（1+1bn）（其中a＞0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和．试比较Sn与13loga

1998年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）sin330°等于（）A．-32 B．-12【解答】解：∵sin330°=-sin30°=-故选：B．2．（4分）函数y＝a|x|（a＞1）的图象是（）A． B． C． D．【解答】解：法一：由题设知y=a又a＞1．由指数函数图象易知答案为B．法二：因y＝a|x|是偶函数，又a＞1．所以a|x|≥1，排除AC．当x≥0，y＝ax，由指数函数图象知选B．故选：B．3．（4分）曲线的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为（）A．（x+2）2+y2＝4 B．（x﹣2）2+y2＝4 C．（x+4）2+y2＝16 D．（x﹣4）2+y2＝16【解答】解：将原极坐标方程ρ＝4cosθ，化为：ρ2＝4ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x＝0，即y2+（x﹣2）2＝4．故选：B．4．（4分）两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直的充要条件是（）A．A1A2+B1B2＝0 B．A1A2﹣B1B2＝0 C．A1A【解答】解：直线A1x+B1y+C1＝0的方向向量为（﹣B1，A1），直线A2x+B2y+C2＝0的方向向量为（﹣B2，A2），两条直线A1x+B1y+C1＝0，A2x+B2y+C2＝0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，即：（﹣B1，A1）（﹣B2，A2）＝0可得A1A2+B1B2＝0故选：A．5．（4分）函数f（x）=1x（x≠0）的反函数f﹣1（A．x（x≠0） B．1x（x≠0） C．﹣x（x≠0） D．-1x（【解答】由y=1x得x=1y且y≠0，所以反函数f﹣1（x）=16．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A．(π2，C．(π2【解答】解：∵sinα-cosα＞0tanα＞0⇒π4故选：B．7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．120° B．150° C．180° D．240°【解答】解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180°故选：C．8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A．32±12i B．-32±12【解答】解：∵﹣i＝cos3π2+isin3π2，其立方根是cos2kπ+3π23+即i，-32-12故选：D．9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A．2S0=S+S′ B．S0=S′S C．2S0＝S+S′ D．S【解答】解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质可得：(aa+2r消去r，可得2S故选：A．10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A． B． C． D．【解答】解：如果水瓶形状是圆柱，V＝πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错．故选：B．11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种 B．180种 C．270种 D．540种【解答】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42＝540种．故选：D．12．（4分）椭圆x212+y23=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在yA．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍【解答】解：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），如图，设P点的坐标是（x，y），线段PF1的中点坐标为（x-32，y∵线段PF1的中点M在y轴上，∴x-32∴x＝3将P（3，y）代入椭圆x212+y2∴|PF1|=36+|PF2|=0+∴|PF故选：A．13．（4分）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4πA．43 B．23 C．2 D．3【解答】解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A＝r＝2，又因为∠AOC＝θ=πOA＝OC知OA＝AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OA＞O′A．所以O′A＜OA＜2O′A．因为OA＝R，所以2＜R＜4．因此，排除A、C、D，得B．解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB＝2rsin60°＝23．因为∠AOB＝θ=π3，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R＝OA＝AB＝2解法三：因为正三角形ABC的外径r＝2，故高AD=32r＝3，D是在△OBC中，BO＝CO＝R，∠BOC=π3，所以BC＝BO＝R，BD=12在Rt△ABD中，AB＝BC＝R，所以由AB2＝BD2+AD2，得R2=14R2+9，所以R＝2故选：B．14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（）A．arccos5-12 B．arcsin5-12【解答】解：设Rt△ABC中，C=π2，则A与B互余且又由已知得sin2B＝sinA，即cos2A＝sinA，1﹣sin2A＝sinA，解得sinA=5-12或sin故选：B．15．（4分）在等比数列{an}中，a1＞1，且前n项和Sn满足limn→∞Sn=1a1A．（1，+∞） B．（1，4） C．（1，2） D．（1，2）【解答】解：由题意知limn→∞Sn=∴a12＝1﹣q，∵a1＞1，|q|＜1，∴1＜a12＜2，∴1＜a故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16．（5分）已知圆C过双曲线x29-y2【解答】解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±47∴它到中心（0，0）的距离为d=16+故答案为：16317．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为179（用数字作答）．【解答】解：（x+2）10（x2﹣1）＝x2（x+2）10﹣（x+2）10∴（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数是（x+2）10展开式的x8的系数﹣x10的系数∵（x+2）10展开式的通项为Tr+1＝C10rx10﹣r2r＝2rC10rx10﹣r∴令r＝0，2分别得x10，x8的系数为1，180故展开式中x10的系数为180﹣1＝179，故答案为17918．（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）【解答】解：∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱，∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1则B1D1⊥平面A1AC1C∴B1D1⊥AC，又由B1D1∥BD，则有BD⊥AC，反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1故答案为：BD⊥AC．19．（5分）关于函数f（x）＝4sin(2x+π3)（x①由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos(2x-π③y＝f（x）的图象关于点(π④y＝f（x）的图象关于直线x=-π其中正确的命题的序号是②．（把你认为正确的命题序号都填上）【解答】解：函数f（x）＝4sin(2x+π3)的最小正周期T由相邻两个零点的横坐标间的距离是T2=π利用诱导公式得f（x）＝4cos[＝4cos(π6-2x)=4cos(2x-由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x=π6代入得f（x）＝4sin因此点（π6，0）不是f（x故命题③错误．曲线f（x）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x=-π6时（-π故直线x=-π6不是图象的对称轴，因此命题故答案为：②三、解答题（共6小题，满分70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c＝2b，A﹣C=π3．求sinsinθ+sin∅＝2sinθ+ϕ2cosθ-ϕsinθ﹣sin∅＝2cosθ+ϕ2sinθ-ϕcosθ+cos∅＝2cosθ+ϕ2cosθ-ϕcosθ﹣cos∅＝﹣2sinθ+ϕ2sinθ-ϕ【解答】解：由正弦定理和已知条件a+c＝2b得sinA+sinC＝2sinB．由和差化积公式得2sinA+C2cosA-C2=由A+B+C＝π得sinA+C2=cos又A﹣C=π3得32cosB所以32cosB2=2sinB因为0＜B2＜所以sinB2从而cosB所以sinB=321．（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|＝3，且|BN|＝6．建立适当的坐标系，求曲线段C【解答】解：法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点．设曲线段C的方程为y2＝2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0），其中xA，xB分别为A，B的横坐标，p＝|MN|．所以M（-p2，0），N（由|AM|=17，|AN（xA+p2）2+2pxA（xA-p2）2+2pxA由①，②两式联立解得xA=4p．再将其代入①式并由p因为△AMN是锐角三角形，所以p2＞xA所以p＝4，xA＝1．由点B在曲线段C上，得xB＝|BN|-p综上得曲线段C的方程为y2＝8x（1≤x≤4，y＞0）．解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）．依题意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，yA＝|DM|=|AM|由于△AMN为锐角三角形，故有xN＝|ME|+|EN|＝|ME|+|AN|xB＝|BF|＝|BN|＝6．设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合{（x，y）|（x﹣xN）2+y2＝x2，xA≤x≤xB，y＞0}．故曲线段C的方程为y2＝8（x﹣2）（3≤x≤6，y＞0）．22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．【解答】解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=kab，其中k＞0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使根据题设，有4b+2ab+2a＝60（a＞0，b＞0），得b=30-a2+a（0＜a于是y==k≥k当a+2=64a+2时取等号，这时a＝6，a＝﹣10（舍去）．将a＝6代入①式得b＝3．故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．由题设知4b+2ab+2a＝60（a＞0，b＞0），即a+2b+ab＝30（a＞0，b＞0）．因为a+2b≥22ab，所以22ab+当且仅当a＝2b时，上式取等号．由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18．所以2b2＝18．解得b＝3，a＝6．故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝23，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．【解答】（1）解：如图作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．因为AA1⊥A1C，AA1＝A1C，所以∠A1AD＝45°为所求．（2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC＝2，AC＝23，所以DE＝1，AD＝A1D=3，tan∠A1ED=故∠A1ED＝60°为所求．（3）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离．连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，所以∠HBC＝∠A1ED＝60°所以CH＝BCsin60°=3解法二：连接A1B．根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C﹣A1AB的高h．由V锥C-A1即1所以h=324．（12分）设曲线C的方程是y＝x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（t2，s（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t34-t【解答】（1）解：曲线C1的方程为y＝（x﹣t）3﹣（x﹣t）+s．（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有x1+x22=t2，y1+y22=s2，所以代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：s﹣y2＝（t﹣x2）3﹣（t﹣x2），即y2＝（x2﹣t）3﹣（x2﹣t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1