2025届安徽省卓越县中联盟高三上学期11月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省卓越县中联盟2025届高三上学期11月期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故选：A2.若复数在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，则，，所以.故选：D3.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为向量，，则在上的投影向量为.故选：A4.记为正项等比数列的前项和，若，，则（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】B【解析】设正项等比数列的公比为，由题意知，，所以，，成等比数列，所以，即，解得（舍负）.故选：B.5.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，又因为.故选：C.6.在中，，，，其中，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,因为，所以，所以，即，故选：C7.若为偶函数，则（）A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值2 D.有最小值2【答案】D【解析】的定义域为R，因为为偶函数，所以，即，整理得，即对任意R均成立，所以，所以，当时，因为，所以，所以在恒成立，所以在单调递增，又为偶函数，所以在单调递减，所以，故选：D.8.设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出的图象如下：令，则函数至多两个零点，而至多三个根，同理至多三个根，要想有六个不同的零点，需有两个不相等零点，不妨设，且和均有三个根，且根各不相同，所以，由韦达定理得，，显然，故，故，，由对勾函数性质得在上单调递减，所以，此时满足，故故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.要得到函数的图象，可将函数的图象（）A.以轴为对称轴进行翻转 B.以轴为对称轴进行翻转C.绕坐标原点旋转 D.绕点旋转【答案】ABD【解析】，对于A，将的函数图象以轴为对称轴进行翻转，得到函数的图象，故A正确；对于B，将的函数图象以轴为对称轴进行翻转，得到函数的图象，故B正确；对于C，将的函数图象绕坐标原点旋转，得到函数，故C错误；对于D，假设关于点的对称函数为hx，则hx上任意一点关于点的对称点在上，则，化简得，故D正确；故选：ABD.10.对任意正整数，设是使成立的正整数的最小值，数列的前项和为，则（）A.， B.，C. D.【答案】BC【解析】由题意知，，是使得成立的正整数的最小值，所以当为奇数时，为正整数，所以，所以，当为偶数时，不是正整数，所以，所以，所以，对于A项，，，所以，故A项错误；对于B项，，，所以，故B项正确；对于C项，，故C项正确；对于D项，，故D项错误.故选：BC.11.已知函数的图像在点和处的切线斜率互为相反数，且这两条切线交于点，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由题可知，，当时，显然f'x单调递增，，所以，当时，f'x<0，当时，f'x>0，所以，故选项A正确；由题可知，，即，由基本不等式可知，，因为，所以，即1-ax不妨令，得，令，因为，显然单调递增，，所以要使，则，即，故选项B错误；因为，所以，所以令，则，令gx显然，，令Gx则，所以当时，，单调递增，所以，即g'所以，在时单调递增，所以，即，显然，所以fx即，故选项C正确；设，的斜率分别为，则，由于fx=ex+a所以，故单调递减，单调递增，显然，所以fx所以，因为，所以AC>BC，故选项D故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数若，则实数_____．【答案】【解析】当时，显然不成立；当时，，解得或（舍），综上所述：，故答案为：13.已知函数在上的最小值为-1，则_____．【答案】【解析】，时，，在上的最小值为-1，故，解得.故答案为：14.已知集合，集合，若，则的最小值为_____，的最大值为_____．【答案】【解析】令，由，得，则，显然，则，而，当且仅当时取等号，因此，而，因此，解得，即，当且仅当时取等号，由，得，所以的最小值为2，的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列满足，且，其前项和记为．（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，求证：．解：（1）因为，所以，所以是公差为的等差数列．又，所以，从而公差为1，所以．（2），，所以，因为，所以，不等式得证.16.已知函数．（1）求的单调区间；（2）设实数满足，求的最小值．解：（1）由已知得，令，得，解得，．当或时，，当时，，．所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．（2）不妨令，．因为当时，，所以，且由（1）可知．所以，因为当时，，所以，且由（1）可知．所以，所以，故的最小值为．17.如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，．（1）证明：；（2）若，求．（1）证明：如图，由题意知，则，由余弦定理得，即，整理得，因为，所以．（2）解：因为，所以，因为，所以，所以．又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以．设，则，解得．．在中，由正弦定理可得，又因为，所以．18.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的值；（3）若有两个零点，，且，求的取值范围．解：（1）由已知得，所以，且，所以曲线在点处的切线方程为．（2）的定义域为，因为，由，得．当时，，当时，，故上单调递减，在上单调递增，所以．要使恒成立，则需．设，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，即，仅当时等号成立．所以的解为，故．（3）易知，不妨设，则，即，所以或．由（2）知，的极小值点为，在上单调递减，在上单调递增，当时，，此时若存在，则必有，不符合题意．当时，，所以，，所以在上一定存在一个零点．要使，由单调性可知，只需，即，解得.19.过点作曲线的切线，切点为，在轴上的射影为，过作的切线，切点为，在轴上的射影为，再过作的切线……每次作的切线斜率均大于0，像这样重复操作，得到一系列点，，，…，设的横坐标为．（1）若，直接写出，，的值；（2）证明：当时，；（3）证明：．（1）解：当时，，求导得，设，则切线方程，于是，而，解得，点，则，；曲线在点处切线，由，而，解得，点，则，；曲线在点处切线，由，而，解得，点，则，，所以，，.（2）证明：由，求导得，则曲线在点处的切线方程为，当时，切线过点，则，当时，切线过点，则，整理得，因此数列是首项为，公比为的等比数列，，所以当时，.（3）证明：由（2）知，，记，则，设，则，两边同时乘以，得，两式相减得：，设，两边同时乘以，得，两式相减得：，所以，原不等式成立.安徽省卓越县中联盟2025届高三上学期11月期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故选：A2.若复数在复平面内对应的点为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，，则，，所以.故选：D3.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为向量，，则在上的投影向量为.故选：A4.记为正项等比数列的前项和，若，，则（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】B【解析】设正项等比数列的公比为，由题意知，，所以，，成等比数列，所以，即，解得（舍负）.故选：B.5.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，又因为.故选：C.6.在中，，，，其中，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,因为，所以，所以，即，故选：C7.若为偶函数，则（）A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值2 D.有最小值2【答案】D【解析】的定义域为R，因为为偶函数，所以，即，整理得，即对任意R均成立，所以，所以，当时，因为，所以，所以在恒成立，所以在单调递增，又为偶函数，所以在单调递减，所以，故选：D.8.设表示实数中的最小值，若函数，函数有六个不同的零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出的图象如下：令，则函数至多两个零点，而至多三个根，同理至多三个根，要想有六个不同的零点，需有两个不相等零点，不妨设，且和均有三个根，且根各不相同，所以，由韦达定理得，，显然，故，故，，由对勾函数性质得在上单调递减，所以，此时满足，故故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.要得到函数的图象，可将函数的图象（）A.以轴为对称轴进行翻转 B.以轴为对称轴进行翻转C.绕坐标原点旋转 D.绕点旋转【答案】ABD【解析】，对于A，将的函数图象以轴为对称轴进行翻转，得到函数的图象，故A正确；对于B，将的函数图象以轴为对称轴进行翻转，得到函数的图象，故B正确；对于C，将的函数图象绕坐标原点旋转，得到函数，故C错误；对于D，假设关于点的对称函数为hx，则hx上任意一点关于点的对称点在上，则，化简得，故D正确；故选：ABD.10.对任意正整数，设是使成立的正整数的最小值，数列的前项和为，则（）A.， B.，C. D.【答案】BC【解析】由题意知，，是使得成立的正整数的最小值，所以当为奇数时，为正整数，所以，所以，当为偶数时，不是正整数，所以，所以，所以，对于A项，，，所以，故A项错误；对于B项，，，所以，故B项正确；对于C项，，故C项正确；对于D项，，故D项错误.故选：BC.11.已知函数的图像在点和处的切线斜率互为相反数，且这两条切线交于点，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由题可知，，当时，显然f'x单调递增，，所以，当时，f'x<0，当时，f'x>0，所以，故选项A正确；由题可知，，即，由基本不等式可知，，因为，所以，即1-ax不妨令，得，令，因为，显然单调递增，，所以要使，则，即，故选项B错误；因为，所以，所以令，则，令gx显然，，令Gx则，所以当时，，单调递增，所以，即g'所以，在时单调递增，所以，即，显然，所以fx即，故选项C正确；设，的斜率分别为，则，由于fx=ex+a所以，故单调递减，单调递增，显然，所以fx所以，因为，所以AC>BC，故选项D故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数若，则实数_____．【答案】【解析】当时，显然不成立；当时，，解得或（舍），综上所述：，故答案为：13.已知函数在上的最小值为-1，则_____．【答案】【解析】，时，，在上的最小值为-1，故，解得.故答案为：14.已知集合，集合，若，则的最小值为_____，的最大值为_____．【答案】【解析】令，由，得，则，显然，则，而，当且仅当时取等号，因此，而，因此，解得，即，当且仅当时取等号，由，得，所以的最小值为2，的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列满足，且，其前项和记为．（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，求证：．解：（1）因为，所以，所以是公差为的等差数列．又，所以，从而公差为1，所以．（2），，所以，因为，所以，不等式得证.16.已知函数．（1）求的单调区间；（2）设实数满足，求的最小值．解：（1）由已知得，令，得，解得，．当或时，，当时，，．所以的单调递减区间为和，单调递增区间为．（2）不妨令，．因为当时，，所以，且由（1）可知．所以，因为当时，，所以，且由（1）可知．所以，所以，故的最小值为．17.如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，．（1）证明：；（2）若，求．（1）证明：如图，由题意知，则，由余弦定理得，即，整理得，因为，所以．（2）解：因为，所以，因为，所以，所以．又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以．设，则，解得．．在中，由正弦定理可得，又因为，所以．18.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的值；（3）若有两个零点，，且，求的取值范围．解：（1）由已知得，所以，且，所以曲线在点处的切线方程为．（2）的定义域为，因为，由，得．当时，，当时，，故上单调递减，在上单调递增，所以．要使恒成立，则需．设，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以，即，仅当时等号成立．所以的解为，故．（3）易知，不妨设，则，即，所以或．由（2）知，的极小值点为，在上单调递减，在上单调递增，当时，，此时若存在，则必有，不符合题意．当时，，所以，，所以在上一定存在一个零点．要使，由单调性可知，只需，即，解得.19.过点作曲线的切线，切点为，在轴上的射影为，过作的切线，切点为，在轴上的射影为，再过