2024届河北省邢台市高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市2024届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.3.已知向量，满足，，则（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】〖祥解〗由向量数量积公式计算即可得.【详析】因为，，所以.故选：A.4.已知椭圆的上焦点为，则（）A. B.5 C. D.7【答案】C【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以，．因为，所以，所以.故选：C.5.若，且为第三象限角，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且为第三象限角，所以，故，故选：B6.已知函数，则函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为的定义域为，所以的定义域为，所以排除A，C．因为，所以，所以排除B．故选：D7.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因平面，、平面，所以，，因为，，、平面，所以平面，如图所示，设为球与平面的交线，则，，所以，所以所在的圆是以为圆心，为半径的圆，因为且，所以，所以弧的长为．故选：B.8.设，若，则的最小值为（）A.6 B. C. D.4【答案】D【解析】设，，令，解得，所以，即，当且仅当，时，等号成立．故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号12345678910早睡群体睡眠指数65687585858588929295晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（）A.早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B.早睡群体睡眠指数的众数为85C.晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D.早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小【答案】BD【解析】因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A错误；因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为，所以C错误；由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D正确.故选：BD.10.已知为坐标原点，，分别为双曲线的左、右焦点，为上一点，且，若到一条渐近线的距离为，且，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线的离心率为C.的坐标可能是D.若过点且斜率为的直线与的左支有交点，则【答案】BD【解析】因为到渐近线的距离为，所以．因为，可知，为上右支上一点，，所以，．因为，所以．因为，所以，，所以的渐近线方程为，故A错误．由上知的离心率，所以B正确．因为，所以，所以，故C错误．当时，直线只与右支相交一点；当时，直线与左右两支各交一点；当时，直线与右支相交于两点，故D正确．故选：BD11.已知正方体的棱长为2，E，F分别为AD，的中点，则（）A.B.过，B，F的截面面积为C.直线BF与AC所成角的余弦值为D.EF与平面ABCD所成角的正弦值为【答案】BCD【解析】对于A，取的中点为，连接,故,由于相交，所以不可能平行，故A错误，对于B，取的中点为，连接,则四边形即为截面，由于,故四边形为等腰梯形，过作，则,所以,故B正确，对于C，由于，所以即为直线BF与AC所成角或其补角，,所以,故C正确，对于D，由于平面，所以即为与平面所成角,故,故D正确，故选：BCD12.已知函数，若对任意，都有，则实数的值可以为（）A. B. C. D.1【答案】CD【解析】令，显然的定义域为全体实数，则，所以为奇函数．因，且，，所以，所以在上单调递增．因为等价于，所以，所以，即在上恒成立．令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，．令，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以．对比选项可知，实数的值可以为和1.故选：CD.三、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．13.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的一个对称中心为__________．【答案】（答案不唯一）【解析】由题意知：所得函数解析式为，令，，得，，所以所得图象的对称中心为．故答案为：（答案不唯一）14.已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为__________（用数字作答）【答案】1792【解析】由，得．的通项公式为．令，得，所以展开式中含的项为．故答案为：1792.15.若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【解析】因为，所以，所以的定义域为，要使有意义，需满足，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.16.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，点在直线上，则的最小值为__________．【答案】2【解析】设，因为，所以，整理得动点的轨迹方程为，所以动点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆．因为圆心到直线的距离，所以．故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）求的取值范围．解：（1），由正弦定理得．因为，所以．因为为锐角三角形，所以．（2）因为，所以．因为为锐角三角形，所以得．因为，由，得，所以.即的取值范围为.18.已知数列满足，（1）证明是等比数列，并求数列通项公式；（2）证明.证明：（1）由得：，而，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，则，所以数列的通项公式是：．（2）由（1）知，所以．19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，为的中点，平面与平面的交线为．（1）证明：平面．（2）若二面角为，求锐二面角的余弦值．证明：（1）因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面；解：（2）取的中点，连接，，，由四边形为菱形，，所以为正三角形，因为，均为正三角形，所以，，所以为二面角的平面角，即，如图所示，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，，，则令，得，设平面的法向量为，，，则令，得，所以，所以锐二面角的余弦值为．20某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名．（1）若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率．（2）现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分，后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为X，求X的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率．解：（1）设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”，则.（2）由题意可知的取值可为，前两道题答错的概率为，后两道题答错的概率也为，，，，，，，，故X的分布列为：X0123456P数学期望为，因为累积计分不低于5分的学生为优秀学员，所以张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率为.21.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：．【答案】（1）（2）证明见解析解：（1），，．故曲线在点处的切线方程为，即．证明：（2）由（1）得．令函数，则，所以是增函数．因为，，所以存在，使得，即．所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．．因为，所以，所以．故．22.设为抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，当轴时，．（1）求抛物线的方程．（2）的延长线与的交点为，的延长线与的交点为，点在与之间．（i）证明：，两点关于轴对称．（ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围．解：（1）当轴时，则，，解得，所以抛物线的方程为．证明：（2）（i）当轴时，不妨设在轴下方，则，直线的方程为与抛物线联立，消去得：，，所以直线与抛物线相切，点不存在，所以与轴不垂直，即直线，的斜率都存在．设，，，则，所以直线的方程为，即．又直线过点，所以．同理可得直线的方程为．又直线过点，所以，所以，所以，即，两点关于轴对称．（ii）不妨设，因为点在与之间，所以，，，则，令，则，则在上单调递减，，故的取值范围是．河北省邢台市2024届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.3.已知向量，满足，，则（）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】〖祥解〗由向量数量积公式计算即可得.【详析】因为，，所以.故选：A.4.已知椭圆的上焦点为，则（）A. B.5 C. D.7【答案】C【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以，．因为，所以，所以.故选：C.5.若，且为第三象限角，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且为第三象限角，所以，故，故选：B6.已知函数，则函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为的定义域为，所以的定义域为，所以排除A，C．因为，所以，所以排除B．故选：D7.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因平面，、平面，所以，，因为，，、平面，所以平面，如图所示，设为球与平面的交线，则，，所以，所以所在的圆是以为圆心，为半径的圆，因为且，所以，所以弧的长为．故选：B.8.设，若，则的最小值为（）A.6 B. C. D.4【答案】D【解析】设，，令，解得，所以，即，当且仅当，时，等号成立．故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.《黄帝内经》中的十二时辰养生法认为：子时（23点到次日凌晨1点）的睡眠对一天至关重要.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数各取10个.如下表：编号12345678910早睡群体睡眠指数65687585858588929295晚睡群体睡眠指数35405555556668748290根据样本数据，下列说法正确的是（）A.早睡群体的睡眠指数一定比晚睡群体的睡眠指数高B.早睡群体睡眠指数的众数为85C.晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为66D.早睡群体的睡眠指数的方差比晚睡群体的睡眠指数的方差小【答案】BD【解析】因为早睡群体的睡眠指数不一定比晚睡群体的睡眠指数高，所以A错误；因为早睡群体的睡眠指数的10个样本数据中85出现次数最多，所以B正确；因为晚睡群体的睡眠指数的第60百分位数为，所以C错误；由样本数据可知，早睡群体的睡眠指数相对比较稳定，所以方差小，故D正确.故选：BD.10.已知为坐标原点，，分别为双曲线的左、右焦点，为上一点，且，若到一条渐近线的距离为，且，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.双曲线的离心率为C.的坐标可能是D.若过点且斜率为的直线与的左支有交点，则【答案】BD【解析】因为到渐近线的距离为，所以．因为，可知，为上右支上一点，，所以，．因为，所以．因为，所以，，所以的渐近线方程为，故A错误．由上知的离心率，所以B正确．因为，所以，所以，故C错误．当时，直线只与右支相交一点；当时，直线与左右两支各交一点；当时，直线与右支相交于两点，故D正确．故选：BD11.已知正方体的棱长为2，E，F分别为AD，的中点，则（）A.B.过，B，F的截面面积为C.直线BF与AC所成角的余弦值为D.EF与平面ABCD所成角的正弦值为【答案】BCD【解析】对于A，取的中点为，连接,故,由于相交，所以不可能平行，故A错误，对于B，取的中点为，连接,则四边形即为截面，由于,故四边形为等腰梯形，过作，则,所以,故B正确，对于C，由于，所以即为直线BF与AC所成角或其补角，,所以,故C正确，对于D，由于平面，所以即为与平面所成角,故,故D正确，故选：BCD12.已知函数，若对任意，都有，则实数的值可以为（）A. B. C. D.1【答案】CD【解析】令，显然的定义域为全体实数，则，所以为奇函数．因，且，，所以，所以在上单调递增．因为等价于，所以，所以，即在上恒成立．令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，．令，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以．对比选项可知，实数的值可以为和1.故选：CD.三、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．13.将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的一个对称中心为__________．【答案】（答案不唯一）【解析】由题意知：所得函数解析式为，令，，得，，所以所得图象的对称中心为．故答案为：（答案不唯一）14.已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为__________（用数字作答）【答案】1792【解析】由，得．的通项公式为．令，得，所以展开式中含的项为．故答案为：1792.15.若函数的定义域为，则函数的定义域为__________．【答案】【解析】因为，所以，所以的定义域为，要使有意义，需满足，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.16.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，点在直线上，则的最小值为__________．【答案】2【解析】设，因为，所以，整理得动点的轨迹方程为，所以动点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆．因为圆心到直线的距离，所以．故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）求的取值范围．解：（1），由正弦定理得．因为，所以．因为为锐角三角形，所以．（2）因为，所以．因为为锐角三角形，所以得．因为，由，得，所以.即的取值范围为.18.已知数列满足，（1）证明是等比数列，并求数列通项公式；（2）证明.证明：（1）由得：，而，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，则，所以数列的通项公式是：．（2）由（1）知，所以．19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，为的中点，平面与平面的交线为．（1）证明：平面．（2）若二面角为，求锐二面角的余弦值．证明：（1）因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面平面，所以，因为平面，平面，所以平面；解：（2）取的中点，连接，，，由四边形为菱形，，所以为正三角形，因为，均为正三角形，所以，，所以为二面角的平面角，即，如图所示，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，，，则令，得，设平面的法向量为，，，则令，得，所以，所以锐二面角的余弦值为．20某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名．（1）若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率．（2）现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分