2024届浙江省温州市高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省温州市2024届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设（其中i为虚数单位），则（）A.1 B. C.3 D.5【答案】B【解析】因，则.故选：B.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，解得，所以，又由不等式，解得，所以.故选：A.3.已知函数，若关于x的方程在上有两个不同的根，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出函数，的图象，若方程在上有两个不同的根，，由图可知.故选：C4.已知x，，则“”是“”的（）A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】设，则，令，所以函数在上单调递增.当时，则，即，充分性成立；当时，有，得，所以不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A5.6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（）A.72种 B.144种 C.216种 D.256种【答案】B【解析】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空，在其中选2个给甲和乙，有种方法；再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有种排法；最后将丙丁“松绑”，有种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：种.故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以.故选：D7.《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，则堆放的米约有（）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，则，解得，故米堆的体积（立方尺）．1斛米体积约为1.62立方尺，故（斛）.故选：B.8.已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，，则，所以曲线在点处的切线方程分别为，因为切线均过原点，所以，即，得，故AB错误；由，得，画出函数与图象，如图，设，如上图易知：，由正切函数图象性质，得，即，又，所以，即，解得，故C正确，D错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知函数，则（）A.不等式的解集是B.，都有C.是R上的递减函数D.的值域为【答案】AD【解析】A：，由，得，即，得，解得，即原不等式的解集为，故A正确；B：，故B错误；C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误；D：由知，即函数的值域为，故D正确.故选：AD10.某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（）A.甲企业：均值为5，中位数为8B.乙企业：众数为6，中位数为6C.丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8D.丁企业：均值为5，方差为6【答案】ABD【解析】甲企业每周7天的工作时间可以为：9,8,8,8,2,0,0，满足均值为5，中位数为8，故不达标，故A正确；乙企业：众数为6，中位数为6，满足条件的7天工作时间可以为：6,6,6,6,6,6,6,故不达标，故B正确；丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8，设7天的工作时间为：4,5,5,8,a,b,c,,与众数矛盾，，为使众数为5，成立，故丙企业达标，故C错误；丁企业：均值为5，方差为6，7天的工作时间可以为，故D正确.故选：ABD11.已知数列满足，，若，，，则的值可能为（）A.－1 B.2 C. D.－2【答案】BCD【解析】A：当时，，得，所以数列是以3为周期的周期数列，则，不符合题意，故A错误；B：当时，，得，所以，符合题意，故B正确；C：当时，，得，所以，符合题意，故C正确；D：当时，，得，所以，符合题意，故D正确.故选：BCD三、填空题：本大题共3小题，把答案填在题中的横线上．12.若，则______．【答案】【解析】当时，.故答案为：13.已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为______．【答案】【解析】设，由解得，可得，设经过点A，B，的圆的方程为，所以，解得，即，可得.故答案为：.14.已知四棱锥的底面为边长为1的菱形且，平面ABCD，且，M，N分别为边PB和PD的中点，平面，则______，四边形AMQN的面积等于______．【答案】；【解析】过点A作AB的垂线AE，建立如图空间直角坐标系，由题意可知，，则，，设，即，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，因为平面，所以四点共面，得，即，解得，则，，，此时；又，所以，则，因为，，所以四边形的面积为.故答案为：；.四．解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15.已知函数，．（1）若不单调，求实数a的取值范围；（2）若的最小值为，求实数a的取值范围．解：（1），当时，，当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，又∵在上不单调，∴；（2）由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，不符合题意，当时，，所以实数a取值范围为.16.已知等比数列的前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）由题知：①，②，②÷①得，，解得，代入①式得，，所以．（2）由（1）知：，所以，所以．17.如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．（1）求证：；（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．证明：（1）连接BD，DE，设，则，取AB中点G，连接DG，则四边形BCDG为正方形，故，得，∴，∴同理可得，，又面BDE，∴面BDE，又面BDE，；解：（2）由（1）知，又∵，∴，由，得．又∵，面ABCD，∴面ABCD，过点D作交AB于点M，连接EM．因面ABCD，所以，又因为，且面DEM，则面DEM，又面ABE，∴面面ABE．过点D作交EM于点N，连接AN．∴就是直线AD与面ABE所成的线面角．∵面面ADE，∴就是直线AD与面CDF所成的线面角．∵，又，，∴，又，∴，即直线AD与平面CDF所成线面角的正弦值为.18.现有标号依次为1，2，…，n的n个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入n号盒子为止．（1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率；（2）当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列；（3）记n号盒子中红球的个数为，求的期望．解：（1）由题可知2号盒子里有2个红球概率为；（2）由题可知可取，，，所以3号盒子里的红球的个数ξ的分布列为123P（3）记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则，为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则，则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为，且，化解得，得，而则数列为等比数列,首项为，公比为，所以，又由求得：因此．19.已知动点M到点的距离与到直线l：的距离之比等于．（1）求动点M的轨迹W的方程；（2）过直线l上的一点P作轨迹W的两条切线，切点分别为A，B，且，①求点P的坐标；②求的角平分线与x轴交点Q的坐标．解：（1）设，根据题意得：，化简得：动点M的轨迹方程为：；（2）①，切线方程为；，代入得：，∵切线，∴，得：（*），设方程（*）的两根分别为，，分别为PA，PB的斜率则有，又∵PA，PB的方向向量分别为，，∴，解得：，∴．②由对称性，不妨取，所以，将代入（*）得：，解得，则，∴，得：，所以点Q的坐标为.浙江省温州市2024届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设（其中i为虚数单位），则（）A.1 B. C.3 D.5【答案】B【解析】因，则.故选：B.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由不等式，解得，所以，又由不等式，解得，所以.故选：A.3.已知函数，若关于x的方程在上有两个不同的根，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出函数，的图象，若方程在上有两个不同的根，，由图可知.故选：C4.已知x，，则“”是“”的（）A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】设，则，令，所以函数在上单调递增.当时，则，即，充分性成立；当时，有，得，所以不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A5.6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（）A.72种 B.144种 C.216种 D.256种【答案】B【解析】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空，在其中选2个给甲和乙，有种方法；再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有种排法；最后将丙丁“松绑”，有种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：种.故选：B.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以.故选：D7.《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，则堆放的米约有（）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，则，解得，故米堆的体积（立方尺）．1斛米体积约为1.62立方尺，故（斛）.故选：B.8.已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，，则，所以曲线在点处的切线方程分别为，因为切线均过原点，所以，即，得，故AB错误；由，得，画出函数与图象，如图，设，如上图易知：，由正切函数图象性质，得，即，又，所以，即，解得，故C正确，D错误.故选：C二、选择题：本题共3小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知函数，则（）A.不等式的解集是B.，都有C.是R上的递减函数D.的值域为【答案】AD【解析】A：，由，得，即，得，解得，即原不等式的解集为，故A正确；B：，故B错误；C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误；D：由知，即函数的值域为，故D正确.故选：AD10.某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（）A.甲企业：均值为5，中位数为8B.乙企业：众数为6，中位数为6C.丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8D.丁企业：均值为5，方差为6【答案】ABD【解析】甲企业每周7天的工作时间可以为：9,8,8,8,2,0,0，满足均值为5，中位数为8，故不达标，故A正确；乙企业：众数为6，中位数为6，满足条件的7天工作时间可以为：6,6,6,6,6,6,6,故不达标，故B正确；丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8，设7天的工作时间为：4,5,5,8,a,b,c,,与众数矛盾，，为使众数为5，成立，故丙企业达标，故C错误；丁企业：均值为5，方差为6，7天的工作时间可以为，故D正确.故选：ABD11.已知数列满足，，若，，，则的值可能为（）A.－1 B.2 C. D.－2【答案】BCD【解析】A：当时，，得，所以数列是以3为周期的周期数列，则，不符合题意，故A错误；B：当时，，得，所以，符合题意，故B正确；C：当时，，得，所以，符合题意，故C正确；D：当时，，得，所以，符合题意，故D正确.故选：BCD三、填空题：本大题共3小题，把答案填在题中的横线上．12.若，则______．【答案】【解析】当时，.故答案为：13.已知圆与直线交于A，B两点，则经过点A，B，的圆的方程为______．【答案】【解析】设，由解得，可得，设经过点A，B，的圆的方程为，所以，解得，即，可得.故答案为：.14.已知四棱锥的底面为边长为1的菱形且，平面ABCD，且，M，N分别为边PB和PD的中点，平面，则______，四边形AMQN的面积等于______．【答案】；【解析】过点A作AB的垂线AE，建立如图空间直角坐标系，由题意可知，，则，，设，即，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，因为平面，所以四点共面，得，即，解得，则，，，此时；又，所以，则，因为，，所以四边形的面积为.故答案为：；.四．解答题：本大题共5小题，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15.已知函数，．（1）若不单调，求实数a的取值范围；（2）若的最小值为，求实数a的取值范围．解：（1），当时，，当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，又∵在上不单调，∴；（2）由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，不符合题意，当时，，所以实数a取值范围为.16.已知等比数列的前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）由题知：①，②，②÷①得，，解得，代入①式得，，所以．（2）由（1）知：，所以，所以．17.如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台，其中，．（1）求证：；（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．证明：（1）连接BD，DE，设，则，取AB中点G，连接DG，则四边形BCDG为正方形，故，得，∴，∴同理可得，，又面BDE，∴面BDE，又面BDE，；解：（2）由（1）知，又∵，∴，由，得．又∵，面ABCD，∴面ABCD，过点D作交AB于点M，连接EM．因面ABCD，所以，又因为，且面DEM，则面DEM，又面ABE，∴面面ABE．过点D作交EM于点N，连接AN．∴