2024届河北省衡水市枣强县名校协作高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省衡水市枣强县名校协作2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.复平面内，复数的对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由题得，所以在复平面内该复数对应的点的坐标为，该点在第四象限.故选：D.2.已知集合满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得集合是集合的子集，即，即.故选：C.3.已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，圆心到直线的距离，解得，故的取值范围是.故选：A4.已知函数满足，则实数m的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】函数，，所以.故选：B5.在正方体的8个顶点中任取4个点，能构成正三棱锥的个数为（）A.16个 B.12个 C.10个 D.8个【答案】C【解析】如图，以为顶点，可知三棱锥为正三棱锥，符合题意，此类三棱锥共有8个；可知三棱锥为正三棱锥，符合题意，此类三棱锥共有2个；其余情况均不合题意，所以符合条件的正三棱锥的个数为.故选：C.6.已知函数是偶函数，则（）A.3 B.0 C. D.2【答案】A【解析】因为函数是偶函数，则，结合的任意性可得，可得，则，即，若，则，令，解得或，可知的定义域为，关于原点对称，符合题意；若，则，可知的定义域为，不关于原点对称，不符合题意；综上所述：.故选：A.7.已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知直线恒过定点，且的周期为，也过；画出函数的图象如下图实线部分所示：若两函数图象有3个交点可知，直线的斜率；若直线与相切，可得，易知，则，结合图象可知时满足题意.故选：D8.已知双曲线：的左、右焦点为，，，P为双曲线右支上一点，，的内切圆圆心为M，与的面积的差为1，则双曲线的离心率（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】因为，即，可得，又因为，可知，，可得，设的内切圆的半径为，由题意可得：，即，由的面积可知：，即，整理得，即，解得，即，所以双曲线离心率.故选：A.二、选择题9.如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则（）A. B. C. D.平面【答案】CD【解析】取的中点，连接，由题意可知：，因为平面，且平面，可得，则，即两两垂直，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，对于选项A：因为，即不相互垂直，故A错误；对于选项B：因为，即不相互平行，故B错误；对于选项C：，故C正确；对于选项D：因为，所以平面，故D正确；故选：CD.10.已知m，n都是正整数，且，下列有关组合数的计算，正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，因为，，所以，即A正确；对于B，当、时，左边，右边，等式不成立，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，因为，等式左边的系数为：，等式右边的系数为：，所以，故D正确.故选：ACD.11.已知函数的定义域为R，则以下选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，且为奇函数，则D.若，且，则为奇函数【答案】AC【解析】已知函数的定义域为R，对于选项A：若，则，故A正确；对于选项B：例如，满足，但，不满足，故B错误；对于选项C：若，且为奇函数，则，可得，故C正确；对于选项D：例如，满足，且，但，不满足，即不为奇函数，故D错误；故选：AC.12.数列的通项公式为，下列命题正确的为（）A.先递增后递减 B.为递增数列C.， D.，【答案】BD【解析】对A、B：，，，由、、，故，即数列为递增数列，故B正确、A错误；对C、D，假设，，即需要证明，即证，即证，即证，即证，令，，，故在上单调递减，故，故对，有，故，，故D正确，C错误.故选：BD.三、填空题13.已知向量，，若与共线，则实数______．【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.故答案为：.14.已知圆锥的侧面展开图是半径为8的直角扇形，则此圆锥的表面积为______．【答案】【解析】如图，设圆锥底面半径为r，则，解得，所以，该圆锥的表面积为.故答案为：15.已知抛物线，圆，过点M的直线l与E交于A，B两点，与圆M交于C，D两点（A，C都在x轴上方），若，则直线l的斜率为______．【答案】【解析】如图，由题意可知，直线的斜率，，设，直线的方程为，联立，消去y得，则，，因为，所以，由抛物线定义可得，，即，所以，整理得，解得或（舍去），所以.故答案为：16.已知函数，A，B是直线与曲线的两个交点，若的最小值为，，，则______．【答案】【解析】因为A，B是直线与曲线的两个交点，设则有两个根，即，又因为=，所以，，所以，，又因为，所以，所以.故答案为：.四、解答题17.在中，角的对边分别为，（1）求；（2）设边的中线，且，求的面积．解：（1）因为，由正弦定理得，又因，所以，所以，又，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得，，即，在中，由余弦定理得，，因为，所以，则，所以，则，所以，故，解得或（舍去），所以的面积．18.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来测量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是．中国成人的BMI数值标如下表所示：BMI＜18.5≥28体重情况过轻正常超重肥胖为了解某单位职工的身体情况，研究人员从单位职工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男职工、50名女职工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，并进行分类统计，如右表所示：性别BMI合计过轻正常超重肥胖男106011990女15255550合计25851614140（1）参照附表，对小概率值a逐一进行独立性检验，依据检验，指出能认为职工体重是否正常与性别有关联的a的一个值；（2）在该单位随机抽取一位职工的BMI值，发现其BMI值不低于28．由上表可知男女职工的肥胖率都为0.1，视频率为概率，能否认为该职工的性别是男还是女的可能性相同？若认为相同则说明理由，若认为不相同，则需要比较可能性的大小．a0.10.050.010.0050.00127063.8416.6357.87910.828附：解：（1）由表可得到与体重是否正常与性别之间的列联表：正常不正常合计男603090女252550合计8555140则，由，故能认为职工体重是否正常与性别有关联的a的值为0.1；（2）设事件为“抽到的员工为男员工”、设事件为“抽到的员工BMI值不低于28”，则，，即不能认为该职工的性别是男还是女的可能性相同，且是男性的可能性大于女性.19.记为数列的前n项和，当时,．且．（1）求，；（2）（i）当n为偶数时，求的通项公式；（ⅱ）求．解：（1）令，可得；令，可得；因为，可得，.（2）（i）当n为偶数时，则，，可得，且，可知数列的偶数项成首项为，公比为的等比数列，则，所以（n为偶数）；（ⅱ）当n为偶数时，则，即，可得，所以，所以.20.如图，在四棱锥中，底面，，，，，．（1）求证：；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱锥的体积．（1）证明：因为底面ABCD，底面，所以，又，，，则为直角梯形，可得，且，所以，又平面，平面，，所以平面，平面，所以；（2）解：由（1）可知，两两垂直，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，又，所以，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以，又平面的法向量为，由已知，解得，所以，.21.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线与C相交于A，B两点，若直线AF，BF的倾斜角互补，求面积的最大值．解：（1）由，故，即，由在椭圆上，故，即有，即，整理得，即，故或（舍），故，即椭圆C的方程为；（2）设、，联立直线与椭圆方程，可得，消去可得，，即，、，由直线AF，BF的倾斜角互补，故两直线斜率相反，即有，即，即，故，此时，即，即直线，、，则，点到直线的距离，故，令，则，即，当且仅当，即时，等号成立，此时，符合题意故面积的最大值为.22.已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若有两个零点，求m的取值范围．解：（1）当时，，所以，因为在单调递增，所以在单调递增，且易得，所以当时，，在在单调递减，当时，，在单调递增.所以当时，函数有极小值，无极大值.（2）结合上问可知：当时，，此时只有极小值，不满足有两个零点，故舍去；当时，结合（1）可知，，此时无零点，故舍去；当时，，且，易知在单调递增，由，所以存，使得，所以当，，在单调递减；所以当，，单调递增；由，，令,则，易知在单调递增,，所以在上单调递增，，所以，所以在有且只有一个零点.当时，，，所以在有且只有一个零点.综上：当时，有两个零点.河北省衡水市枣强县名校协作2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.复平面内，复数的对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由题得，所以在复平面内该复数对应的点的坐标为，该点在第四象限.故选：D.2.已知集合满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得集合是集合的子集，即，即.故选：C.3.已知直线与圆有公共点，则b的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得，圆心到直线的距离，解得，故的取值范围是.故选：A4.已知函数满足，则实数m的值为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】函数，，所以.故选：B5.在正方体的8个顶点中任取4个点，能构成正三棱锥的个数为（）A.16个 B.12个 C.10个 D.8个【答案】C【解析】如图，以为顶点，可知三棱锥为正三棱锥，符合题意，此类三棱锥共有8个；可知三棱锥为正三棱锥，符合题意，此类三棱锥共有2个；其余情况均不合题意，所以符合条件的正三棱锥的个数为.故选：C.6.已知函数是偶函数，则（）A.3 B.0 C. D.2【答案】A【解析】因为函数是偶函数，则，结合的任意性可得，可得，则，即，若，则，令，解得或，可知的定义域为，关于原点对称，符合题意；若，则，可知的定义域为，不关于原点对称，不符合题意；综上所述：.故选：A.7.已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知直线恒过定点，且的周期为，也过；画出函数的图象如下图实线部分所示：若两函数图象有3个交点可知，直线的斜率；若直线与相切，可得，易知，则，结合图象可知时满足题意.故选：D8.已知双曲线：的左、右焦点为，，，P为双曲线右支上一点，，的内切圆圆心为M，与的面积的差为1，则双曲线的离心率（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】因为，即，可得，又因为，可知，，可得，设的内切圆的半径为，由题意可得：，即，由的面积可知：，即，整理得，即，解得，即，所以双曲线离心率.故选：A.二、选择题9.如图，正三棱柱的各条棱长都为2，M，N分别是AB，的中点，则（）A. B. C. D.平面【答案】CD【解析】取的中点，连接，由题意可知：，因为平面，且平面，可得，则，即两两垂直，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，对于选项A：因为，即不相互垂直，故A错误；对于选项B：因为，即不相互平行，故B错误；对于选项C：，故C正确；对于选项D：因为，所以平面，故D正确；故选：CD.10.已知m，n都是正整数，且，下列有关组合数的计算，正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，因为，，所以，即A正确；对于B，当、时，左边，右边，等式不成立，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，因为，等式左边的系数为：，等式右边的系数为：，所以，故D正确.故选：ACD.11.已知函数的定义域为R，则以下选项正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，且为奇函数，则D.若，且，则为奇函数【答案】AC【解析】已知函数的定义域为R，对于选项A：若，则，故A正确；对于选项B：例如，满足，但，不满足，故B错误；对于选项C：若，且为奇函数，则，可得，故C正确；对于选项D：例如，满足，且，但，不满足，即不为奇函数，故D错误；故选：AC.12.数列的通项公式为，下列命题正确的为（）A.先递增后递减 B.为递增数列C.， D.，【答案】BD【解析】对A、B：，，，由、、，故，即数列为递增数列，故B正确、A错误；对C、D，假设，，即需要证明，即证，即证，即证，即证，令，，，故在上单调递减，故，故对，有，故，，故D正确，C错误.故选：BD.三、填空题13.已知向量，，若与共线，则实数______．【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.故答案为：.14.已知圆锥的侧面展开图是半径为8的直角扇形，则此圆锥的表面积为______．【答案】【解析】如图，设圆锥底面半径为r，则，解得，所以，该圆锥的表面积为.故答案为：15.已知抛物线，圆，过点M的直线l与E交于A，B两点，与圆M交于C，D两点（A，C都在x轴上方），若，则直线l的斜率为______．【答案】【解析】如图，由题意可知，直线的斜率，，设，直线的方程为，联立，消去y得，则，，因为，所以，由抛物线定义可得，，即，所以，整理得，解得或（舍去），所以.故答案为：16.已知函数，A，B是直线与曲线的两个交点，若的最小值为，，，则______．【答案】【解析】因为A，B是直线与曲线的两个交点，设则有两个根，即，又因为=，所以，，所以，，又因为，所以，所以.故答案为：.四、解答题17.在中，角的对边分别为，（1）求；（2）设边的中线，且，求的面积．解：（1）因为，由正弦定理得，又因，所以，所以，又，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得，，即，在中，由余弦定理得，，因为，所以，则，所以，则，所以，故，解得或（舍去），所以的面积．18.目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来测量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是．中国成人的BMI数值标如下表所示：BMI＜18.5≥28体重情况过轻正常超重肥胖为了解某单位职工的身体情况，研究人员从单位职工体检数据中，采用分层随机抽样方法抽取了90名男职工、50名女职工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值，并进行分类统计，如右表所示：性别BMI合计过轻正常超重肥胖男106011990女15255550合计25851614140（1）参照附表，对小概率值a逐一进行独立性检验，依据检验，指出能认为职工体重是否正常与性别有关联的a的一个值；（2）在该单位随机抽取一位职工的BMI值，发现其BMI值不低于28．由上表可知男女职工的肥胖率都为0.1，视频率为概率，能否认为该职工的性别是男还是女的可能性相同？若认为相同则说明理由，若认为不相同，则需要比较可能性的大小．a0.10.050.010.0050.00127063.8416.6357.87910.828附：解：（1）由表可得到与体重是否正常与性别之间的列联表：正常不正常合计男603090女252550合计8555140则，由，故能认为职工体重是否正常与性别有关联的a的值为0.1；（2）设事件为“抽到的员工为男员工”、设事件为“抽到的员工BMI值不低于28”，则，，即不能认为该职工的性别是男还是女的可能性相同，且是男性的可能性大于女性.19.记为数列的前n项和，当时,．且．（1）求，；（2）（i）当n为偶数时，求的通项公式；（ⅱ）求．解：（1）令，可得；令，可得；因为，可得，.（2）（i）当n为偶数时，则，，可得，且，可知数列的偶数项成首项为，公比为的等比数列，则，所以（