【八年级上册数学浙教版】专题4.1 坐标系中的面积问题与规律问题专项训练（解析版）

49/49专题4.1坐标系中的面积问题与规律问题专项训练本专题训练卷共60题，其中：平面直角坐标系的面积问题25题，平面直角坐标系的规律问题35题；题型针对性较强，覆盖面广，选题有深度，包含了平面直角坐标系中的规律问题和面积问题全部类型。问题1.平面直角坐标系的面积：&知坐标，求面积&知面积，求坐标&分类讨论（方程（1）知坐标，求面积解题技巧：已知组成不规则图形端点的坐标，求面积问题，常用方法为：“割补法”。原则是通过割补，不规则图形或则边长不好表示的图形成容易根据点的坐标求解出边长的图形，然后在求解图形面积。=1\*GB3①不规则多边形：过不规则图形的顶点作坐标轴的垂线与平行线，将不规则图形“补形”成一个大的矩形；然后用大的矩形面积减去多余部分图形（多位直角三角形）面积。=2\*GB3②三角形：三角形用“补形法”也可以进行，但相对比较麻烦，三角形常用方法为“切割法”。过三角形的顶点作坐标轴的垂线，将三角形切割成易于根据点的坐标求解边长的规则图形。（2）知面积，求坐标（方程思想）解题技巧：我们可以利用方程的思想，设未知点的坐标为未知数，然后再根据点的坐标，确定线段的长度，进而根据图形面积列方程，求解出未知数即可。方程思想是比较常见的一类数学思想，引入未知数，可将图形问题转化方程求解的问题。（3）分类讨论解题技巧：此类题型仅不知图形的一个顶点，且已知面积，求这个顶点。∵这个顶点位置不固定，存在多解情况，需考虑全面。=1\*GB3①点在坐标轴上：先确定三角形的底，根据面积，确定三角形高的长度。在根据底的长度或高的长度来确定未知点的位置。=2\*GB3②点在格点上：已知三角形的面积，根据条件，先确定三角形的底；然后根据面积，确定高；最后根据高的大小，确定未知点的位置（多解）。1．（2022•历下区八年级期中）如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是（1，0），则点B的坐标为（）A．(113，3) B．(103，3)【分析】如图，设BC＝x，根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：如图，设BC＝x，由题意得，3×（2+x）=8，解得：x=23，3+23=113，∴点B2．（2022•仙居县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（3，0）．现将线段AB平移，使点A，B分别平移到点A′，B'，其中点A′（1，4），则四边形AA'B'B的面积为．【分析】把四边形AA′B′B的面积转化为特殊四边形的面积求解即可．【解答】解：如图，过点B′作B′E⊥AA′于点E，延长A′A交OB于点F．由题意得，AB＝A′B′，AB∥A′B′，∵点A（1，1），点B（3，0），点A′（1，4），∴AA′＝BB′＝3，∵B′E⊥AA′，∴四边形B′EFB是长方形，∴AA′＝EF＝3，∴四边形AA′B′B的面积＝四边形B′EFB的面积＝3×2＝6，故答案为：6．3．（2022•海淀区八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积是．【分析】曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积可以看成是底为1，高为3的平行四边形的面积．【解答】解：曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积＝1×3＝3，故答案为：3．4．（2022•江夏区八年级月考）如图所示，直角坐标系中四边形的面积是（）A．15.5 B．20.5 C．26 D．31【分析】图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，分别计算其面积并求和即可．【解答】解：图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，则其面积为：2×3+（3+4）×3+1×4＝3++2＝15.5．故选：A．5．（2022•沙河市八年级期中）在网格图中有一个面积为10的△ABC，△ABC的三个顶点均在网格的格点上，墨墨在网格图中建立了适当的直角坐标系，并知道点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（﹣3，﹣2），后来墨墨不小心在该图洒上了墨水，如图所示，点C的坐标看不清了，但他记得线段AC与y轴平行，则点C的坐标为（）A．（2，1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣1，2）【分析】根据三角形的面积公式求出AC，再根据网格结构确定出点C的坐标即可．【解答】解：∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），线段AC与y轴平行，∴点B到AC的距离为2+3＝5，∴S△ABC=AC•5＝10，解得AC＝4，∴点C的纵坐标为3﹣4＝﹣1，∴点C的坐标为（2，﹣1）．故选：C．6．（2022•漳州校级一模）已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C的面积为S2，则S1，S2的大小关系为s1s2（填“＜”、“＞”、“＝”）．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解：原来点的横坐标是0，纵坐标是﹣3，向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点的横坐标是0+2＝2，纵坐标为﹣3+4＝1．那么原三角形的面积是：4×4＝8，新三角形的面积为：4×4＝8，∴两三角形的面积相等，即s1＝s2．7．（2022·吉林通化·七年级期末）如图，平面直角坐标系中有一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，请完成下列问题．(1)点坐标为_________．(2)将先向_________平移_________个单位、再向_________平移_________个单位到达的位置．(3)图中阴影部分的面积为_________．【答案】(1)（2，3(2)右，三，下，二（或下，二，右，三）(3)9【分析】（1）根据网格结构，确定点C在平面直角坐标系中的象限，及其到x轴、y轴的距离分别为，即可得点C的坐标；（2）根据网格结构，确定A、B、C三点分别同步平移到A1、B1、C1的方向和距离（单位数）即可得到结论；（3）根据平面直角坐标系中网格结构和平移的性质，可知平行且等于，，根据平行四边形的判定，从而得=，计算即可得到结果．（1）解：根据平面直角坐标系及网格结构，可得：点C在第一象限到x轴距离为3，y轴的距离为2∴点C的坐标为（2，3）；（2）解：根据网格结构，点A平移到A1，需先向，再向下平移2个单位，B、C同步移动；或先向下平移2个格点，再向右平移3个单位，B、C同步移动．∴将△ABC先向右平移3个单位、再向下平移2个单位或者先向下平移2个单位、再向右平移3个单位，到达△A1B1C1的位置；（3）解：根据题意及平移的性质，，，∴四边形ABB1A1为平行四边形∴==3×3=9【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标特征，作图－平移变换，平面直角坐标系中的图形面积，解题的关键是掌握平移变换的性质及要素（平移方向和平移距离）．8.（2022·陕西·大荔县教学研究室七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______．【答案】6【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．【详解】解：∵平移折线AEB，得到折线CFD，∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，∴折线AEB在平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD=AO•EF+BO•EF=EF（AO+BO）=EF•AB=[2-（-1）]×[1-（-1）]=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了坐标与图形-平移，熟练掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键．9．（2022春•重庆期末）已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a﹣c|+b−8=0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+A．12 B．14 C．16 D．20【分析】利用非负数的性质求出b的值，推出a＝c，推出PQ＝6，根据PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，推出a＝4即可解决问题．【解答】解：∵|a﹣c|+b−8又∵|a﹣c|≥0，b−8≥0，∴a﹣c＝0，b∴a＝c，b＝8，∴P（a，8），Q（a，2），∴PQ＝6，∵线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，∴a＝4，∴a＝c＝4，∴a+b+c＝4+8+4＝16，故选：C．10．（2022春•昌黎县期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，2），B（3，﹣2），则△AOB的面积为．【分析】直接利用A，B点坐标，再利用△AOB所在直角三角形面积减去周围图形面积得出答案．【解答】解：△AOB的面积为：﹣41×2﹣2﹣2×3＝2．故答案为：2．11．（2022·凉州区洪祥乡洪祥中学初二期末）如图（方格坐标纸）所示．（1）分别写出、、、的坐标；（2）写出点向右平移个单位再向下平移个单位的的坐标；（3）写出点到轴的距离；（4）求四边形的面积；（5）点与点有什么关系．【答案】（1），，，；（2）；（3）点到轴的距离是；（4）四边形的面积是；（5）点与点是关于纵坐标是对称的关系【分析】(1)先写横坐标，再写纵坐标．(2)让点A的横坐标加6，纵坐标减2即可．(3)写出C点到x轴的距离应是点C的纵坐标的绝对值．(4)四边形ABCD的面积等于两个三角形加一个梯形的面积．(5)应从坐标观察．这两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数．【解析】(1)，，，；(2)A(-2,2)点往右平移6个单位则横坐标加6，往下平移两个单位则纵坐标减2，故答案为：P(4,0)；(3)点到轴的距离是，故答案为2；(4)如下图所示：四边形的面积，答案20.5；(5)∵B和C两点的纵坐标相等而横坐标互为相反数，∴B点与点C是关于y轴对称，故答案为：关于y轴对称．【点睛】本题考查了坐标系中点的平移、对称变化规律及图形面积的求法，左右平移时只动横坐标，上下平移时只动纵坐标，点到x轴的距离应是这点的纵坐标的绝对值，不规则图形的面积常整理为长方形的面积减去三角形的面积，纵坐标相等，横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称．12.（2022·厦门市槟榔中学）已知，在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣4，0），B（2，3）．（1）请在直角坐标系中画出三角形ABO并求出三角形ABO的面积；（2）连接AB交y轴于点C，求点C的坐标．【答案】（1）6，作图见解析；（2）【分析】（1）如图，在平面直角坐标系中描出点,过点作轴于，求出根据三角形面积公式计算即可；（2）设点的坐标为，根据即可求得的值，进而求得的坐标．【详解】（1）如图，在平面直角坐标系中描出点,过点作轴于，，，，（2）如上图，设点的坐标为，，，解得．．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中描点，点到坐标轴的距离，三角形面积公式，理解点到坐标轴的距离是解题的关键．13．（2022·湖北云梦·初二期末）如图，中，两点的坐标分别为，求的面积．【答案】13．【分析】先把三角形ABC补成一个矩形，再利用面积的和差即可得出结论【解析】解:如图，过点A向y轴作垂线，垂足为M，过点B向x轴作垂线，垂足为N，两垂线交于点G．【点睛】本题考查了坐标与图形在直角坐标系中求三角形的面积，灵活掌握用割补法求图形的面积是解题的关键14．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到．(1)补全，利用网格点和直尺画图；(2)画出BC边上的高线AD；(3)若图中△ABE是△ABC面积的2倍，在格中描出所有满足条件的格点E，并记为E1、E2、E3…【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析【分析】（1）利用平移变换的性质分别做出的对应点即为所求；（2）根据三角形高的定义画出图形即可；（3）利用等高模型解决问题即可．（1）如图，即为所求；（2）如图，线段AD即为所求；（3）如图，由于△ABE是△ABC面积的2倍，且△ABE是△ABC的底同为AB，可得E1、E2、E3、E4、E5即为所求．【点睛】本题考查作图—平移变换，三角形的高，三角形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．15．（2022·江苏泰州·七年级期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点A、B、C都在格点上．现将平移，使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．(1)请在图中画出平移后的；(2)四边形ABED的面积为多少？；(3)在网格中画出一个格点P，使得（画出一个即可）.【答案】(1)见解析(2)28(3)见解析【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B、C的对应点E、F即可．（2）平行四边形ABED的面积=平行四边形ABMN的面积．（3）取AB的中点P即可．（1）如图，即为所求．（2）平行四边形ABED的面积=平行四边形ABMN的面积=，故答案为：28．（3）如图，点P即为所求（答案不唯一）．【点睛】本题考查作图—平移变换，平行四边形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用转化的思想解决问题．16．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知长方形ABCD的两个顶点A（2，﹣1），C（6，2），点M为y轴上一点，△MAB的面积为6．请解答下列问题：（1）顶点B的坐标；（2）连接BD，求BD的长；（3）请直接写出点M的坐标．【答案】（1）(6,﹣1)；（2）5；（3）M（0，2）或M（0，﹣4）．【分析】（1）根据点B的位置写出坐标即可；（2）利用勾股定理解答；（3）设△MAB的高为h，构建方程求出h即可解决问题.【详解】解：（1）（6，﹣1）．故答案为解：（6，﹣1）；（2）∵A（2，﹣1），C（6，2），B（6，﹣1），∴AB＝4，BC＝3，CD＝4，DB＝＝＝5；（3）设△MAB的高为h，根据题意得：AB•h＝6，∵A（2，﹣1），B（6，﹣1）．∴AB＝4∴×h＝6，∴h＝3∴M（0，2）或M（0，﹣4）．【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形的变化-平移等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（2022·湖北黄石·七年级期中）平面直角坐标系中，将点A、B先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位后，分别得到点A′（3，－2）、B′（2，－4）(1)点A坐标为________，点B坐标为_________，并在图中标出点A、B；(2)若点C的坐标为（2，－2），求△ABC的面积；(3)在（2）的条件下，点D为y轴上的点，且使得△ABD面积与△ABC的面积相等，求D点坐标．【答案】(1)A（1，1）、B（0，－1），图见解析(2)2.5(3)D（0，4）或（0，－6）【分析】（1）根据平移变换的性质作出线段AB，可得结论；（2）利用割补法求出三角形的面积即可；（3）设P（0，m），构建方程求解即可．(1)解：如图，线段AB即为所求，A（1，1），B（0，﹣1）．故答案为：（1，1），（0，﹣1）；(2)解：S△ABC＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5；(3)解：设D（0，m），则有×|m+1|×1＝2.5，解得m＝4或﹣6，∴P（0，4）或（0，﹣6）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．18．（2022春•上杭县期末）在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点M（m，0），N（n，0），且m+n−3+|2m+n|＝0．（1）求m，n的值；（2）若点E是第一象限内一点，且EN⊥x轴，点E到x轴的距离为4，过点E作x轴的平行线a，与y轴交于点A．点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线a向左移动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿x轴向右移动．①经过几秒PQ平行于y轴？②若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10cm2，求此时点P【分析】（1）根据平方根和绝对值的性质得出m+n−3=02m+n=0（2）①设x秒后PQ平行于y轴，由于AP∥OQ，所以当AP＝OQ时，四边形AOQP是平行四边形，那么PQ平行于y轴，根据AP＝OQ列出关于x的方程，解方程即可；②设y秒后四边形AOQP的面积为10cm2，根据四边形AOQP的面积=12（OQ+AP）•OA列出关于y的方程，进而求出点【解答】解：（1）依题意，得m+n−3=02m+n=0，解得m=−3（2）①设经过x秒PQ平行于y轴，依题意，得6﹣2x＝x解得x＝2，②当点P在y轴右侧时，依题意，得(6−2x)+x2×4=10，解得此时点P的坐标为（4，4），当点P在y轴左侧时，依题意，得(2x−6)+x2×4=10，解得此时点P的坐标为(−419．（2022春•武清区期中）已知点A（a，0）、B（b，0），且a+4+|b（1）求a、b的值．（2）在y轴的正半轴上找一点C，使得三角形ABC的面积是15，求出点C的坐标．（3）过（2）中的点C作直线MN∥x轴，在直线MN上是否存在点D，使得三角形ACD的面积是三角形ABC面积的12？若存在，求出点D【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论；（2）由A（﹣4，0）、B（2，0），得到AB＝6，根据三角形ABC的面积是15列方程即可得到即可；（3）根据三角形ABC的面积是15列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵（a+4）2+|b﹣2|＝0，∴a+4＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣4，b＝2；（2）如图1，∵A（﹣4，0）、B（2，0），∴AB＝6，∵三角形ABC的面积是15，∴12AB•OC＝15，∴OC＝5，∴C（3）存在，如图2，∵三角形ABC的面积是15，∴S△ACD=12CD•∴12CD×5=12×15，∴20．（2022春•通川区期末）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，a），点B的坐标为（b，2），点C的坐标为（c，0），其中a，b满足（a+b﹣10）2+|a﹣b+2|＝0．（1）求A，B两点的坐标；（2）当△ABC的面积为10时，求点C的坐标；（3）当2≤S△ABC≤12时，则点C的横坐标c的取值范围是．【分析】（1）根据非负数的性质即可得到A点的坐标（2，4），B点的坐标（6，2）；（2）求得直线AB与x轴的交点为D（10，0），于是得到S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD，列方程即可得到结论；（3）根据已知条件列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵（a+b﹣10）2+|a﹣b+2|＝0，∴（a+b﹣10）2＝0，|a﹣b+2|＝0，解得：a＝4，b＝6，∴A点的坐标（2，4），B点的坐标（6，2）；（2）∵A点的坐标（2，4），B点的坐标（6，2），如图，过点A作AD⊥x轴于D，∴D（2，0），AD＝4，过点B作BE⊥x轴于E，∴E（6，0），BE＝2，∴DE＝4，设C（c，0），当c＞10时，∴CE＝c﹣6，CD＝c﹣2∴S△ABC＝S△ACD﹣S△BCE﹣S梯形ABED=12×4×（c﹣2）−12×2×（∴c＝20当c＜10时，同上的方法得，c＝0，∴点C的坐标（0，0）或（20，0）；（3）由（2）知，①12×（10﹣c）×4−12（10﹣c）×2＝2或12×（解得：c＝8或12，②12×（10+c）×4−12（10+c）×2＝12或12×（|c|﹣10）×4−1∴当2≤S△ABC≤12时，则点C的横坐标c的取值范围是﹣2≤c≤8或12≤c≤22，故答案为﹣2≤c≤8或12≤c≤22．21．（2022·河南安阳·七年级期末）问题情境：在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“绝对和”为：．例如：已知点P(2，3)，则．解决问题：(1)已知点A(4，-1)则_______；(2)如图，已知点M(4，4)，连接点O、M得线段OM．点Q是线段OM上的一个动点．①若d(Q)＝6，求点的坐标；②若线段OM向上平移个单位，点的对应点为，如果，求的取值范围；③若线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、，连接点Q、、得到．则的形状是_________；的面积是_______．(用含有字母a、b的式子表示)【答案】(1)3(2)①Q(3，3)；②；③直角三角形，．【分析】（1）根据“绝对和”的定义即可求解；（2）①由M点坐标为(4，4)，可知OM上所有点的横、纵坐标都相等．即可设，再根据“绝对和”的定义即可列出关于x的绝对值方程，解出x，再舍去不合题意的解，即可得出答案；②根据题意可设，再结合“绝对和”的定义可得出，再由，即可得出，由y的取值范围，即可求出m的取值范围；③由平移的性质可知为直角三角形，且，，，再根据三角形的面积公式计算即可．(1)，故答案为：3；(2)①∵M(4，4)，∴OM上所有点的横、纵坐标都相等．∵点Q是线段OM上的一个动点，故可设．∵d(Q)＝6，∴，解得：（舍），∴点的坐标为(3，3)；②根据题意可设，则．∵，∴∴，∴，解得：，∴；③∵线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、，∴为直角三角形，且，由平移可知，，∴．故答案为：直角三角形，．【点睛】本题考查坐标与图形，一元一次方程的应用，平移的性质．读懂题意，理解“绝对和”的定义是解题关键．22．（2022·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为A（6，0），B（6，4），D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→D运动，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜13）．(1)①点D的坐标是；②当点P在AB上运动时，点P的坐标是（用t表示）；(2)求出△POD的面积等于9时点P的坐标；【答案】(1)①（3，4）；②（6，t-6）(2)当P（4.5，0）或（6，2）时，△POD的面积为9．【分析】（1）①利用矩形的性质求出B、C两点坐标，再利用中点坐标公式计算即可；②点P在线段AB上，求出PA即可；（2）分三种情形分别讨论求解即可．（1）解：①∵四边形OABC是矩形，A（6，0），B（6，4），∴C（0，4），∵D是BC的中点，∴D（3，4）．②当P在AB上运动时，P（6，t-6），故答案为：（3，4），（6，t-6）；（2）解：①当0＜t≤6时，点P的坐标为（t，0），由题意得：×t×4=9，解得：t=4.5，∴点P的坐标为（4.5，0）；②当6＜t≤10时，点P的坐标为（t-6，0），由题意得：S△POD=S矩形OCBA-S△OPA-S△PBD-S△CDO，∴24-×6×（t-6）-×3×（10-t）-6=9，解得：t=8，∴点P的坐标为（8，0）；③当10＜t＜13时，P（16-t，4），PD=13-t，∴S△POD=×（13-t）×4=9，解得：t=8.5（不合题意舍弃），综上所述，当P（4.5，0）或（6，2）时，△POD的面积为9．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．23．（2022·浙江·九年级）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．(1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为；(2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为，长方形的面积为；(3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？【答案】(1)（10，6）(2)（14，6），36(3)（﹣12t+60）或（12t﹣60），t＝2【分析】（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可．（2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出的长度，计算面积即可．（3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可．(1)∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴C的坐标为（10，6），故答案为：（10，6）．(2)∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，∴点C向右平移4cm，∵C（10，6），∴（14，6），故答案为：（14，6）．∵AB＝10，＝4，∴＝6，∴长方形的面积为36（）．故答案为：36．(3)当t≤5时，如图：∵＝AB﹣＝10﹣2t，∴长方形的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（），当t＞5时，如图：∵＝﹣AB＝2t﹣10，∴长方形的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（），故答案为：（﹣12t+60）或（12t﹣60）；当t≤5时，如图：长方形的面积为﹣12t+60，△面积的3倍为，由题意得：﹣12t+60＝18t，解得t＝2；当t＞5时，如图：同理可得：12t﹣60＝18t，解得t＝﹣10（舍去），∴t＝2．【点睛】本题考查直角坐标系，涉及长方形形性质，三角形面积等，解题的关键是画出图形，用含t的代数式表示相关线段的长度．24．（2022·湖北武汉·七年级期末）平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点．(1)请直接写出点，，的坐标；(2)如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于12，求的取值范围；(3)如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系．【答案】(1)，，(2)(3)当点在点的下方时，；当点在的上方、的延长线与轴的交点的下方时，；当点在的延长线与轴的交点上方时，．【分析】（1）由非负性可求，的值，由三角形的面积公式可求点坐标；（2）由平移的性质可得，，，由面积关系可求，的数量关系，即可求解；（3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解．（1）解：，，，，，均为整数，，，，，，，，，，点在轴负半轴上，点坐标为；（2）解：如图，连接，，，将线段平移到，，，，四边形的面积，，，，，，，；∵为线段上一点，∴∴（3）解：如图，当点在点的下方时，延长交于，将线段平移到，，，，，，，；如图，当点在的上方、的延长线与轴的交点下方时，延长交于点，将线段平移到，，，，，，；如图，当点在的延长线与轴的交点上方时，，又，，由对顶角得，，，，综上所述：当点在点的下方时，；当点在在、与的延长线与轴的交点之间时，；当点在的延长线与轴的交点上方时，．【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．25．（2022·河南商丘·七年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．(1)点的坐标为_______，点的坐标为_______，四边形的面积为_________；(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．【答案】(1)点C的坐标为，点D的坐标为，四边形的面积12(2)存在，的坐标为或(3)，理由见解析【分析】（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标；（3）当点P在线段BD上，作交轴于，根据平行线的性质由得，再根据平行线的性质，，从而得到结论．（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，∴点的坐标为，点的坐标为，；（2）解：存在．理由如下：设点的坐标为，∵的面积是的面积的2倍，∴，解得或，∴点的坐标为或；（3）解：，理由如下：过点作交轴于，如图所示：∴∴，，∴．【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标轴的关系，也考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．问题2.平面直角坐标系的规律问题1．（2022·河南商丘·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(﹣1，1)，C(﹣1，﹣2)，D(1，﹣2)，现把一条长为2022个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A→B……的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（

）A．(1，1) B．(0，1) C．(﹣1，1) D．(1，0)【答案】C【分析】先求出四边形ABCD的周长为10，得到2022÷10的余数为2，由此即可解决问题．【详解】解：∵A(1，1)，B(﹣1，1)，C(﹣1，﹣2)，D(1，﹣2)，∴四边形ABCD的周长为10，且2022÷10的余数为2，又∵AB＝2，∴细线另一端所在位置的点在B处，坐标为(﹣1，1)．故选：C．【点睛】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是理解题意，求出四边形ABCD的周长．2．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图，直角坐标平面内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点P第2022次运动到点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可．【详解】解：点P的运动规律是每运动四次向右平移四个单位，∵2022=505×4+2，∴动点P第2022次运动时向右505×4+2=2022个单位，∴点P此时坐标为（2021，0），故选：C．【点睛】本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．3．（2022·四川宜宾·八年级期末）在平面直角坐标系中，如果点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点P的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，，，，，，若点P的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求，，，，发现循环规律即可解题．【详解】解：点的坐标为，的终结点为的坐标为（-1，2），点的终结点为的坐标为（1，4），点的终结点为的坐标为（3，2），点的终结点为的坐标为（1，0），观察发现，P点坐标四个一循环，2022÷4=505……2，点的坐标与的坐标相同，故选：C．【点睛】本题考查了坐标变换规律，根据坐标变换方法，求出点的坐标并发现循环规律是解题关键．4．（2022·四川泸州·七年级期末）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第一次移动到，第二次移动到，，第次移动到，则的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图象可得移动4次完成一个循环，从而可根据该变化规律求得的坐标．【详解】解：，，，，，，…，结合坐标变化规律与图象特征，可知移动4次完成一个循环，，的坐标为，则的坐标是．故选：B．【点睛】本题考查点的坐标变化规律，仔细观察图象，得到点的坐标变化规律是解题的关键．5．（2022·山东滨州·七年级期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动，…，按这样的运动规律，第2022次运动后，动点的纵坐标是（

）A．1 B．2 C．-2 D．0【答案】D【分析】根据图像可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣2），P4（4，0），P5（5，2），P6（6，0）...，再根据规律直接求解即可．【详解】解：观察图像，结合动点P第一次从原点O运动到点P1（1，1），第二次运动到点P2（2，0），第三次运动P3（3，﹣2）…，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每6次运动组成一个循环：P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣2），P4（4，0），P5（5，2），P6（6，0）...，∵2022＝6×337，∴动点P2022的坐标是（2022，0），∴动点P2022的纵坐标是0，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．6．（2022·江西宜春·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）……，根据这个规律，点P2022的坐标为（）A．（﹣505，﹣505）B．（505，﹣506）C．（505，505）D．（﹣505，506）【答案】D【分析】由图根据各个点的位置关系，得出下标为4的倍数的点在第四象限，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2022的在第三象限，且横纵坐标的绝对值＝2022÷4的商，纵坐标是2022÷4的商+1，再根据第三项象限内点的符号得出答案即可．【详解】解：∵2022÷4＝505…2，∴点P2022在第二象限，∵P6（﹣1，2），P10（﹣2，3），P14（﹣3，4），…，6÷4＝1…2，10÷4＝2…2，14÷2＝3..2，…，∴P2022（﹣505，506）．故选：D．【点睛】本题考查了点的坐标规律型，解题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．7．（2022•宽城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（1，﹣1），D（3，﹣1），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，点C的坐标为（）A．（﹣3，﹣2023） B．（3，﹣2024） C．（3，﹣2025） D．（﹣3，﹣2026）【分析】先根据已知条件求出点C的坐标，然后根据规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，求出点C连续三次变换的的坐标，找出其变化的规律，根据规律确定点C经过2022次变换后的坐标．【解答】解：∵正方形ABCD的顶点A，D的坐标分别为（1，﹣1），（3，﹣1）．∴正方形的边长AD＝2．∴正方形ABCD的顶点C的坐标为（3，﹣3）．由题意得，经过1次变换点C的坐标变为（﹣3，﹣4）．经过2次变换点C的坐标为（3，﹣5）．经过3次变换点C的坐标为（﹣3，﹣6）．经过4次变换点C的坐标为（3，﹣7）．••••••••从以上可以看出，偶数次变换点C的横坐标为3，奇数次变换点C的横坐标为﹣3；变换的次数比点C的纵坐标的绝对值小3．且点C纵坐标均为负数．∴当点C经过2022次变换后，点C的横坐标为3，点C的纵坐标为﹣（2022+3）＝﹣2025．∴经过2022次变换后，点C的坐标为（3，﹣2025）．故选：C．8．（2022•西平县期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，你观察图形，猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有（）A．2021个 B．4042个 C．6063个 D．8084个【解题思路】根据第一个正方形可以得到整点个数为4，第二个正方形可知除顶点外每条边上的整点个数为1，故第二个正方形四条边上的整点个数为：4×1+4，同理可知，第三个正方形四条边上的整点个数为：4×2+4，从而可以得到第2021个正方形四条边上的整点个数．【解答过程】解：根据题意可得，第一个正方形四条边上的整点个数为：4；第二个正方形四条边上的整点个数为：4×1+4＝8；第三个正方形四条边上的整点个数为：4×2+4＝12；由此可得，由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数为：4×2020+4＝8084．故选：D．9．（2022春•青川县期末）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为（）A．（14，0） B．（14，﹣1） C．（14，1） D．（14，2）【分析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．【解答】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为（n，n−12）（n，n−12−1）…（n偶数列的坐标为（n，n2）（n，n2−1）…（n由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行．代入上式得（14，142−5），即（14，2）．故选：10．（2022•绥中县期末）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2021的坐标为（）A．（﹣505，﹣505）B．（﹣505，506） C．（506，506）D．（505，﹣505）【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2021的在第三象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值＝（2021﹣1）÷4，再根据第三项象限内点的符号得出答案即可．【解答】解：∵2021÷4＝505•••1，∴点P2021的在第三象限的角平分线上，∵点P5（﹣1，﹣1），∴点P2021的在第三象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值＝（2021﹣1）÷4，∴点P2021（﹣505，﹣505）．故选：A．11．（2022•海城市期中）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转8次，点P依次落在点P、P2、P3、P4、…Px的位置，则点P9的横坐标是（）A．5 B．6 C．7 D．9【分析】观察不难发现，经过四次翻转后点P的位置为正方形的左上角，即恢复到开始的位置，经过四次翻折前进的路程为正方形的周长，用8除以4，根据商为2确定出为两个翻转循环的最后一个位置，进而得出P6与P7位置相同，然后求解即可．【解答】解：由图可知，四次翻转后点P在开始位置，即正方形的左上角，∵正方形的边长为1，由图易知：P6与P7位置相同，∴P9的横坐标为：3+6＝9．故选：D．12．（2022秋•石柱县校级月考）如图，在一张无穷大的格纸上，格点的位置可用数对（m，n）表示，如点A的位置为（3，3），点B的位置为（6，2）．点M从（0，0）开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到（1，0），第2次向上移动2个单位到（1，2），第3次向右移动3个单位到（4，2），…，第n次移动n个单位（n为奇数时向右，n为偶数时向上），那么点M第27次移动到的位置为（）A．（182，169） B．（169，182） C．（196，182） D．（196，210）【分析】数对表示位置的方法是：第一个表示列，第二个表示行，当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，据此即可得解．【解答】解：根据题意可知：当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变，当向上移动时，行的数字发生变化，列的数字不变，所以点M第27次移动到的位置时，列的数字是1﹣﹣27中所有奇数的和，行的数字是1﹣﹣27中所有偶数的和，即1+3+5+7+9+…+27＝196，2+4+6+8+…+26＝182，所以，点M第27次移动到的位置为（196，182），故选：C．13．（2022•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第一次向上跳动1个单位至P1（1，1），紧接着第二次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是（）A．（﹣24，49） B．（﹣25，50） C．（26，50） D．（26，51）【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标．【解答】解：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1．故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）．故选：C．14．（2022•上杭县期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1），…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为（）A．（6062，2020）B．（3032，1010） C．（3030，1011）D．（6063，2021）【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），由2019是奇数，且2021＝2n﹣1，则可求A2n﹣1（3032，1010）．【解答】解：观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），∵2021是奇数，且2021＝2n﹣1，∴n＝1011，∴A2n﹣1（3032，1010），故选：B．15．（2022•张湾区模拟）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如图顺序依次排列为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据这个规律，第2021个点的坐标为（）A．（46，4） B．（46，3） C．（45，4） D．（45，5）【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452＝2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第20201点是（45，4）．故选：C．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．16．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴，y轴上运动，第一分钟内从原点运动到(1,0），第二分钟从（1，0)运动到(1,1),而后它接着按图中箭头所示的与x轴，y轴平行的方向来回运动,且每分钟移动1个长度单位．在第2019分钟时,这个粒子所在位置的坐标是_________【答案】(44,5)【分析】根据现有点（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）分析点的运动时间和运动方向，可以得出一般结论，设点（n，n），当n为奇数时，运动了n（n+1）分钟，方向向左；当n为偶数时，运动了n（n+1）分钟，方向向下；然后利用这个结论算出2019分钟点的坐标．【详解】解：粒子所在位置与运动的时间的情况如下：位置：（1，1）运动了2=1×2分钟，方向向左，位置：（2，2）运动了6=2×3分钟，方向向下，位置：（3，3）运动了12=3×4分钟，方向向左，位置：（4，4）运动了20=4×5分钟，方向向下；…总结规律发现，设点（n，n），当n为奇数时，运动了n（n+1）分钟，方向向左；当n为偶数时，运动了n（n+1）分钟，方向向下；∵44×45=1980，45×46=2070∴到（44，44）处，粒子运动了44×45=1980分钟，方向向下，故到2019分钟，须由（44，44）再向下运动2019-1980=39分钟，∵44-39=5，到达（44，5）．故答案为：(44,5)．【点睛】本题考查了规律型点的坐标，通过点的运动和点的坐标，考查了学生的观察能力和分析能力，对学生解决问题的能力要求较高．17．（2022·河南信阳·七年级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…．若点的坐标为（3，1），则点的坐标为______．【答案】【分析】根据题意写出，，，，，，即可发现规律得出答案．【详解】解：根据题意得，，，，，，，…依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标规律问题，理解题意写出坐标并找出规律是本题的关键．18．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点依次排列下去，则点的横坐标为____________．【答案】【分析】根据题意可知，点A平移的规律是4次为一个循环，由10÷4=2···2，可知点的坐标与点的坐标规律相同，再根据点，的坐标得出答案即可．【详解】根据题意可知点向左平移3各单位长度得到点，再向下平移3个单位长度得到，向右平移6个单位长度得到，再向上平移6个单位长度得到点···，点A平移时每4次一个循环．由10÷4=2···2，∴点的坐标与点（n为大于等于0的整数）的坐标的规律相同．∵，，∴点，所以点的横坐标为-8．故答案为：-8．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，掌握坐标变化规律是解题的关键．19．（2022·湖北十堰·七年级期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫作点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，，，…，若点的坐标为，对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为____．【答案】【分析】根据题意找出探索的规律后求解即可．【详解】解：根据题意,若点的坐标为，则，，，，由此可知,点，，，…，，...的坐标以4为周期循环，∵点的坐标为对于任意的正整数n，点均在x轴上方，则只需点，，，的纵坐标为正即可，则a，b应满足的条件为：，，，，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查点的坐标规律探索，解不等式，解题的关键是理解点，，，…，，...的坐标以4为周期循环．20．（2022·广西南宁·七年级期中）如图，小球起始时位于处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，如果小球起始时位于处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第次碰到球桌边时，小球的位置是______．【答案】【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在位置的变化特点，即可得到小球第次碰到球桌边时小球的位置．【详解】解：由图可得，点第一次碰撞后的位置的坐标为，第二次碰撞后的位置的坐标为，第三次碰撞后的位置的坐标为，第四次碰撞后的位置的坐标为，第五次碰撞后的位置的坐标为，第六次碰撞后的位置的坐标为，，∴小球位置每6次为一个周期依次循环，，小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，故答案为：．【点睛】本题考查点坐标规律探索，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解答．21．（2022·湖北十堰·七年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，发现，，…那么点的横坐标为______．【答案】12135【分析】根据直角的边长求出点，再由沿轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，即可找到规律，即可求解．【详解】∵，，，，根据题意知：，得：；继续滚动得：；发现规律：，∵，解得：则，∴点的横坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了规律型：点的坐标，找到规律是解题的关键．22．（2022·湖北孝感·七年级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把Q（－b＋1，a＋1）叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，A2的伴随点为A3，……依次下去，得到A1，A2，A3，……An，若A1的坐标为（3，2），则A2022的坐标为________．【答案】（-1，4）【分析】根据题意可以分别写出A1的坐标为（3，2）时对应的点A2，A3，A4，A5，从而可以发现其中的规律，进而得到A2022的坐标，本题得以解决．【详解】解：∵点A1的坐标为（3，2），∴A2的坐标为（-1，4），A3的坐标为（-3，0），A4的坐标为（1，-2），A5的坐标为（3，2），∴每连续的四个点一个循环，∵2022÷4=505…2，∴A2022的坐标与A2的坐标相同，为（-1，4），故答案为：（-1，4）．【点睛】本题考查规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的变化规律，求出相应的点的坐标．23．（2022·宁夏·盐池县第五中学七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P61的坐标是_______．【答案】（20，1）【分析】由P3、P6、P9可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，据此可解．【详解】解：由P3、P6、P9可得规律：当下标为3的整数倍时，横坐标为，纵坐标为0，∵61÷3=20⋯⋯1，∴P60（20，0），则点P61的坐标是（20，1）．故答案为：（20，1）．【点睛】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，找到某种循环规律之后，可以得解．24．（2022·福建龙岩·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标是______________【答案】（804，1）【分析】根据图形可以发现规律，从到是一个循环，一个循环周期是10，一个循环后又回到x轴上，且一个循环后横坐标增加4个单位，先求出点的坐标（804，0），再求点的坐标即可．【详解】解：观察图形可知，ｎ为正整数时，的纵坐标为0，1，3，﹣3纵坐标为0的点：纵坐标为1的点：纵坐标为3的点：纵坐标为﹣3的点：可以看出纵坐标为1，3，﹣3时，ｎ取连续的两个数为一组，则10个10个的增加，∵2021＝10×202＋1，纵坐标为1的规律∴的纵坐标为1，由，解得n＝203，∵正好是往右循环203次，∴横坐标为﹣4＋（203－1）×4＝804，∴点的坐标是（804，1），故答案为：（804，1）【点睛】此题主要考查点的规律变化，解题关键是仔细观察图，找出点的变化规律．25．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线1于点N3；……，按此作法进行下去，则点M2022的坐标为_____．【答案】，【分析】直线解析式为，可得直线是第一象限的角平分线，所以，证明△为等腰直角三角形，可利用的坐标求出的长度，得到其坐标，用同样的方法求得，，，即可求解．【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，，，，，△是等腰直角三角形，，，，同理，△是等腰直角三角形，，，同理，，，，，，，依此类推，故，，故答案为：，．【点睛】本题考查了点的坐标特征的问题，考查了点的坐标规律，解题的关键是利用直线是第一象限的角平分线作为突破口求解．26．（2022·河北·辛集市七年级期末）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（﹣1，0），点A第1次向上平移1个单位至点A1（﹣1，1），接着又向右平移1个单位至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位至点A3（0，2），向右平移1个单位至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，当点A平移至点A8时，点A8的坐标为________，当点A平移至点A2021时，点A2021的坐标是________．【答案】

（3，4）

（1009，1011）【分析】根据图形得出规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：由图可得：A1（－1，1），A3（0，2），A5（1，3），A7（2，4），…，A2（0，1），A4（1，2），A6（2，3），A8（3，4），…，∴A2n-1（n−2，n），A2n（n−1，n），∴A2021（1009，1011），故答案为：（3，4），（1009，1011）．【点睛】本题考查坐标与图形规律探索，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．27．（2022·内蒙古鄂尔多斯·七年级期末）如图：在直角坐标系中，设一动点自处向上运动1个单位至，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，如此继续运动下去．设，，2，3…，则________．【答案】1010【分析】根据各点横坐标数据得出规律，进而得出x1+x2+…+x7；经过观察分析可得每4个数的和为2，把2020个数分为505组，然后根据规律得到x2021，x2022的值分别为：1011，-1011，即可得到答案．【详解】解：根据平面坐标系结合各点横坐标得出：x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8的值分别为：1，-1，-1，3，3，-3，-3，5；∵x1+x2+x3+x4=1-1-1+3=2，x5+x6+x7+x8=3-3-3+5=2，…，以此类推，可以得到，从第一项开始，每四项的和都是2，∴x1+x2+…+x2020=2×（2020÷4）=1010．又∵x2021，x2022的值分别为：1011，-1011x2021+x2022=1011-1011=0∴x1+x2+…+x2022=1010故答案为：1010【点睛】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律．28．（2022·广东·梅华中学八年级期中）如图所示，已知A（0，0），OC=1，∠OCB=60°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长为___________.【答案】【分析】根据题目已知条件可推出，依此类推，找到规律求得第n个等边三角形的边长即可求解．【详解】解：∵点C（0，1），△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，∴∠COA1=30°，∴∠CA1O=90°，∵，在Rt△CAA1中，，同理可得，……依此类推，第n个等边三角形的边长等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律是解题的关键．29．（2022•烟台模拟）我们把1，1，2，3，5，8，13，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2，P2P3，P3P4，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2【分析】观察图象，推出P8的位置，即可解决问题．【解答】解：观察发现：P1（0，1）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到P2（﹣1，0）；P2（﹣1，0）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（0，﹣1）；P3（0，﹣1）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到P4（2，1）；P4（2，1）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P5（﹣1，4）；P5（﹣1，4）先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到P6（﹣6，﹣1）；P6（﹣6，﹣1）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（2，﹣9）；P7（2，﹣9）先向右平移13个单位，再向上平移13个单位得到P8（15，4）．故答案为：（15，4）．30．（2022•东城区二模）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是．【分析】设走完第n步时，棋子所处的位置为点Pn（n为自然数），根据走棋子的规律找出部分点Pn的坐标，根