导数的计算复合函数的导数课件

导数的计算-复合函数的导数导数的定义导数的定义函数f(x)在x处的导数，是指f(x)在x处变化率的极限值。导数的公式导数用f'(x)或df(x)/dx表示，其公式为：f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h导数的性质线性性质导数满足线性性质，即常数倍和加减运算。乘积法则两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。商法则两个函数的商的导数等于分母的平方除以分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数。基本初等函数的导数1常数函数常数函数的导数为0.2幂函数幂函数y=x^n的导数为y'=nx^(n-1).3指数函数指数函数y=a^x的导数为y'=a^x*ln(a).4对数函数对数函数y=log(a)x的导数为y'=1/(x*ln(a)).复合函数的定义函数图像在一个函数的定义域内，一个函数的值域与另一个函数的定义域重合，则可以将这两个函数复合，形成复合函数。复合函数复合函数是指多个函数依次作用的结果，即把一个函数的输出作为另一个函数的输入。函数组合复合函数的运算符可以是任何函数符号，例如：f(g(x))，其中f和g都是函数。复合函数求导的一般法则1链式法则设u=u(x)y=f(u)则y=f[u(x)]的导数为2求导步骤先求外函数对内函数的导数，再乘以内函数对自变量的导数复合函数求导的本质是利用链式法则进行推导。链式法则可以理解为，求导的过程是将外函数对内函数求导，再乘以内函数对自变量求导，以此类推，直到最终得到复合函数的导数。例题1：求复合函数的导数Step1确定复合函数的内层函数和外层函数。Step2分别求出内层函数和外层函数的导数。Step3利用复合函数求导法则，将内层函数的导数乘以外层函数的导数，得到复合函数的导数。例题2：求复合函数的导数1求导函数已知y=sin(x^2+1),求dy/dx.2应用链式法则令u=x^2+1,则y=sin(u).3求解dy/dx=dy/du*du/dx=cos(u)*2x=2x*cos(x^2+1).例题3：求复合函数的导数1求导利用链式法则求解2复合函数确定内外函数3表达式明确函数表达式复合函数的隐函数求导隐函数当一个方程无法直接将y表示成x的函数形式时，称为隐函数，例如：x^2+y^2=1求导方法对整个方程两边同时求导，然后利用链式法则求出y对x的导数注意在求导过程中，要注意y是x的函数，需要使用链式法则例题4：求隐函数的导数1步骤1：两边求导对等式两边同时求导2步骤2：整理将导数项整理到一边3步骤3：解出导数将导数项解出来例题5：求隐函数的导数求导对等式两边求导整理将关于y’的项移到一边，其他项移到另一边解方程解出y’化简尽可能化简求出的结果复合函数的高阶导数二阶导数求复合函数的二阶导数，需要先求一阶导数，再对一阶导数求导。高阶导数求复合函数的高阶导数，需要重复求导过程，直到达到所需的阶数。链式法则求复合函数的高阶导数时，需要使用链式法则，将内层函数和外层函数的导数相乘。例题6：求复合函数的高阶导数1二阶导数对复合函数求导两次2三阶导数对复合函数求导三次3高阶导数对复合函数求导四次及以上例题7：求复合函数的高阶导数1已知y=sin(x^2)2求y''3解y'=2xcos(x^2)4y''y''=2cos(x^2)-4x^2sin(x^2)反函数的导数1定义设函数y=f(x)在区间I上单调可导且f'(x)≠0，则它的反函数x=f-1(y)在区间f(I)上可导，且(f-1(y))'=1/f'(x)2推导由复合函数求导法则可得，对等式y=f(x)两边关于x求导，得到dy/dx=f'(x)3应用反函数求导公式可以用来求解一些复杂函数的导数，例如，lnx的导数可以利用exp(x)的反函数求得例题8：求反函数的导数1步骤一求函数的反函数2步骤二求反函数的导数3步骤三将反函数的导数化简例题9：求反函数的导数1已知y=f(x)=x³+2x2求y'=(f⁻¹(x))'3步骤1.求反函数y=f⁻¹(x)4步骤2.对反函数求导复合函数求导的应用优化问题寻找函数的最大值或最小值，例如在生产成本、利润最大化等方面。物理学描述物体运动、能量变化等物理现象，例如速度、加速度的计算。经济学分析市场供求关系、价格变化等经济现象，例如边际成本、边际收益的计算。例题10：复合函数在优化问题中的应用1求解极值利用导数找到函数的极值点2建立模型将实际问题转化为数学模型3应用场景例如，求利润最大化或成本最小化例题11：复合函数在优化问题中的应用问题描述已知某公司生产成本函数为C(x)=2x^2+10x，其中x表示产量。求该公司生产成本最小时的产量。求解思路首先求出成本函数的导数C'(x)=4x+10，然后令导数为0，解得x=-2.5。结果验证由于生产成本函数是一个二次函数，其图像是一个开口向上的抛物线，因此在x=-2.5处取得最小值。结论该公司生产成本最小时的产量为x=-2.5。例题12：复合函数在优化问题中的应用问题描述已知一个圆形区域，半径为r，求该圆形区域的面积最大值。求解步骤将圆形区域的面积公式视为一个复合函数，其中圆形区域的面积S是半径r的函数，而半径r是某个参数的函数，例如时间t。利用复合函数的求导法则，求解面积S关于时间t的导数，然后令导数等于零，即可得到面积S的最大值。应用场景复合函数在优化问题中的应用非常广泛，例如在生产管理中，如何优化生产成本和利润；在市场营销中，如何优化广告投放策略；在工程设计中，如何优化结构强度和稳定性等。复合函数求导的注意事项注意内外函数的求导顺序，先求外函数的导数，再求内函数的导数。不要忽略链式法则，它在复合函数求导中至关重要。检查导数的计算结果，确保没有错误。常见错误及纠正忘记链式法则在求复合函数的导数时，忘记应用链式法则，导致结果错误。混淆导数和微分将导数和微分混淆，导致求导公式错误。符号错误在求导过程中，符号错误，例如忘记负号或使用错误的符号。练习题11求导2复合函数3应用练习题21求函数y=sin(x^2+1)的导数2求函数y=ln(2x+1)的导数3求函数y=e^(cos(x))的导数练习题31求导2简化3验证复习与总结