高考数学总复习《对数函数》专项测试卷附答案

第第页高考数学总复习《对数函数》专项测试卷附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．若0<a<1，则()A．log2a>logeq\s\do8(eq\r(2))eq\r(a) B．logeq\s\do8(eq\r(2))eq\r(a)>logeq\s\do8(eq\r(2))aC．log2a<logeq\s\do8(eq\r(2))a D．log2eq\r(a)<logeq\s\do8(eq\r(2))a2．(2024·山东潍坊月考)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，g(x)＝f(x－2)＋1，则g(x)过定点()A．(2,0) B．(2,1)C．(3,0) D．(3,1)3．(2024·安徽安庆模拟)若实数x满足log3x＝1＋sinθ，则log2(|x－1|＋|x－9|)的值为()A．2eq\r(2) B．3C．4 D．与θ有关4．(2024·山东泰安模拟)已知对数函数f(x)＝log2x的图象经过点A(4，t)，若a＝logeq\s\do8(\f(1,2))t，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t，c＝teq\s\up15(eq\f(1,2))，则()A．c<a<b B．c<b<aC．b<a<c D．a<b<c5．(2024·河北石家庄月考)函数y＝eq\f(lg|x|,x)的大致图象是()6．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．∅7．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则()A．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c) B．eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(1,c)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c) D．eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c)8．若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是()A．(0,1) B．[2，＋∞)C．[2,3) D．(1,3)9．(2024·河南郑州质检)生物体死亡后，它体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2023年，检测一墓葬殉葬动物尸体出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断出该墓葬属于()参考数据：log20.79≈－0.34.参考时间轴：战国时期：公元前475年—公元前221年，汉朝时期：公元前202年—公元220年，唐朝时期：公元618年—公元907年，宋朝时期：公元960年—公元1279年．A．战国时期 B．汉朝时期C．唐朝时期 D．宋朝时期二、多项选择题10．已知函数f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是()A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋1)C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|11．关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是()A．f(x)在(－1,3)上单调递增B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称D．f(x)的值域为R12．已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上的最小值为0D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]三、填空题与解答题13．若函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a>0，且a≠1)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．14．(2024·辽宁本溪模拟)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．高分推荐题15．(2024·湖北襄阳模拟)设a＝eq\f(1,21)，b＝ln1.05，c＝e0.05－1，则下列关系正确的是()A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b解析版一、单项选择题1．若0<a<1，则()A．log2a>logeq\s\do8(eq\r(2))eq\r(a) B．logeq\s\do8(eq\r(2))eq\r(a)>logeq\s\do8(eq\r(2))aC．log2a<logeq\s\do8(eq\r(2))a D．log2eq\r(a)<logeq\s\do8(eq\r(2))a解析：∵0<a<1，∴0<a2<a<eq\r(a)<1.在A中，log2a＝logeq\s\do8(eq\r(2))eq\r(a)，故A错误；在B中，logeq\s\do8(eq\r(2))eq\r(a)>logeq\s\do8(eq\r(2))a，故B正确；在C中，log2a>logeq\s\do8(eq\r(2))a，故C错误；在D中，log2eq\r(a)>logeq\s\do8(eq\r(2))a，故D错误．答案：B2．(2024·山东潍坊月考)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，g(x)＝f(x－2)＋1，则g(x)过定点()A．(2,0) B．(2,1)C．(3,0) D．(3,1)解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，∴g(x)＝f(x－2)＋1＝loga(x－2)＋1，过定点(3,1)．答案：D3．(2024·安徽安庆模拟)若实数x满足log3x＝1＋sinθ，则log2(|x－1|＋|x－9|)的值为()A．2eq\r(2) B．3C．4 D．与θ有关解析：－1≤sinθ≤1⇒0≤1＋sinθ≤2，由log3x＝1＋sinθ，可得1≤x≤9，log2(|x－1|＋|x－9|)＝log28＝3，故选B．答案：B4．(2024·山东泰安模拟)已知对数函数f(x)＝log2x的图象经过点A(4，t)，若a＝logeq\s\do8(\f(1,2))t，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t，c＝teq\s\up15(eq\f(1,2))，则()A．c<a<b B．c<b<aC．b<a<c D．a<b<c解析：对数函数f(x)＝log2x的图象经过点A(4，t)，则t＝f(4)＝log24＝2，所以a＝logeq\s\do8(\f(1,2))t＝logeq\s\do8(\f(1,2))2＝－1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，c＝teq\s\up15(eq\f(1,2))＝2eq\s\up15(eq\f(1,2))＝eq\r(2)，因此a<b<c.故选D．答案：D5．(2024·河北石家庄月考)函数y＝eq\f(lg|x|,x)的大致图象是()解析：易知函数为奇函数，且当x＝2时，y>0，故选D．答案：D6．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1,0) D．∅解析：不等式f(x)>0⇔log2(x＋1)>|x|，分别画出函数y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象，由图象可知y＝log2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．答案：B7．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则()A．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c) B．eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(1,c)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c) D．eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,c)解析：由已知，得2a＝3b＝6c＝k，得a＝log2k，b＝log3k，c＝log6k，所以eq\f(1,a)＝logk2，eq\f(1,b)＝logk3，eq\f(1,c)＝logk6，而2×3＝6，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c).答案：A8．若函数y＝loga(x2－ax＋2)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是()A．(0,1) B．[2，＋∞)C．[2,3) D．(1,3)解析：当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12－a＋2>0，,\f(a,2)≥1，))解得2≤a<3.故a的取值范围是[2,3)．答案：C9．(2024·河南郑州质检)生物体死亡后，它体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.2023年，检测一墓葬殉葬动物尸体出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断出该墓葬属于()参考数据：log20.79≈－0.34.参考时间轴：战国时期：公元前475年—公元前221年，汉朝时期：公元前202年—公元220年，唐朝时期：公元618年—公元907年，宋朝时期：公元960年—公元1279年．A．战国时期 B．汉朝时期C．唐朝时期 D．宋朝时期解析：生物体内碳14的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(t,5730))(t>0)，由P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(t,5730))≈0.79，得eq\f(t,5730)≈logeq\s\do8(\f(1,2))0.79，所以t≈5730×logeq\s\do8(\f(1,2))0.79＝－5730×log20.79≈1948，2023－1948＝75，对应朝代为汉朝．故选B．答案：B二、多项选择题10．已知函数f(x)＝log2x的定义域是[4,8]，则下列函数中与f(x)值域相同的函数是()A．y＝f(x)＋1 B．y＝f(x＋1)C．y＝－f(x) D．y＝|f(x)|解析：因为函数f(x)＝log2x在[4,8]上单调递增，且f(4)＝log24＝2，f(8)＝log28＝3，所以f(x)的值域为[2,3]．对于选项A，y＝f(x)＋1值域为[3,4]，故A不正确；对于选项B，将y＝f(x)图象向左平移1个单位，得y＝f(x＋1)的图象，所以y＝f(x＋1)值域为[2,3]，故B正确；对于选项C，y＝－f(x)值域为[－3，－2]，故C不正确；对于选项D，y＝|f(x)|的值域为[2,3]，故D正确．故选BD．答案：BD11．关于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(3－x)，下列结论正确的是()A．f(x)在(－1,3)上单调递增B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称C．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称D．f(x)的值域为R解析：函数f(x)的定义域是(－1,3)，且f(x)可化为f(x)＝lneq\f(x＋1,3－x).令t(x)＝eq\f(x＋1,3－x)＝eq\f(－4,x－3)－1，易知t(x)在(－1,3)上单调递增，所以t(x)>t(－1)＝0，所以f(x)在(－1，3)上单调递增，且值域为R.故A，D正确．当x∈(－2，2)时，1＋x∈(－1,3)，1－x∈(－1,3)，且f(1＋x)＝lneq\f(2＋x,2－x)，f(1－x)＝lneq\f(2－x,2＋x)，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，f(1＋x)≠f(1－x)．所以y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．故B错误，C正确．故选ACD．答案：ACD12．已知函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是()A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减C．函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))上的最小值为0D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]解析：将(0,0)代入函数f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)单调递增，故B错误；当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))时，x＋1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，所以f(x)＝|loga(x＋1)|≥loga1＝0，故C正确；当x∈[1,2]时，f(x)＝|loga(x＋1)|＝loga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知loga2≥1，解得1<a≤2，故D正确．答案：ACD三、填空题与解答题13．若函数f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a>0，且a≠1)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________．解析：令M＝x2＋eq\f(3,2)x，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2－eq\f(9,16)，因为M的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，＋∞)).又x2＋eq\f(3,2)x>0，所以x>0或x<－eq\f(3,2)，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)14．(2024·辽宁本溪模拟)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，∵当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立，∴3－2a＞0，∴a＜eq\f(3,2).又a＞0