2024-2025学年湖南省长沙市长沙县高二上册期末数学检测试题（附解析）

2024-2025学年湖南省长沙市长沙县高二上学期期末数学检测试题本试题卷共4页，分第I卷与第Ⅱ卷两部分，全卷满分150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过、两点的直线的倾斜角为（

）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.【详解】设直线的倾斜角为，则，且，故.故选：B.2.在数列中，为前项和，若，，，则其公差（）A.3 B.4 C. D.【正确答案】A【分析】先根据题意得到为等差数列，再求出，进而结合即可求得其公差．【详解】由数列满足，则，所以为等差数列，又，则，即，又，则其公差为．故选：A．3.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据抛物线的标准方程形式进行求解即可.【详解】由，因此该抛物线的焦点在横轴的正半轴上，且，所以该抛物线的焦点坐标为故选：C4.如图，四棱锥的底面是平行四边形，若，，，是的中点，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】直接利用向量的运算法则计算得到答案.【详解】是的中点，.故选：B.5.若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据椭圆方程标准形式可得，从而得解.【详解】若曲线表示椭圆，则，解得且，所以实数的取值范围是．故选：B．6.关于函数说法正确的是（）A.没有最小值，有最大值 B.有最小值，没有最大值C.有最小值，有最大值 D.没有最小值，也没有最大值【正确答案】A【分析】对函数求导，利用导数求解函数的最值即可【详解】解：函数的定义域为，由，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，没有最小值，故选：A7.是圆上恰有两个点到直线的距离等于的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】首先计算圆心到直线的距离，再结合直线与圆的位置关系，以及充分，必要条件的定义，即可求解.【详解】若，则圆心到直线的距离，则圆上恰有两个点到直线的距离等于，反过来，若圆上恰有两个点到直线的距离等于，则，即或，不一定，所以是圆上恰有两个点到直线的距离等于的充分不必要条件.故选：A8.若，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断.【详解】因为，构造函数，则，令，解得；当时，令，解得；可得在上单调递减，在上单调递增；且，所以，即.故选：C.关键点点睛：根据题意构建，结合函数单调性比较大小.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全对的得2分.9.下列命题为真命题的是（）A.若空间向量，，满足，则B.若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面C.若空间向量，，则D.对于任意空间向量，，必有【正确答案】BD【分析】令为零向量即可判断A、C；由基底的概念判断B；应用向量数量积的运算律、定义判断D.【详解】若为零向量，有，但不一定成立，A错：三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B对；若为零向量，，，但不一定成立，C错：由，，而，所以，D对.故选：BD10.为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（）A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B.在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同C.在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同D.在和两个时间段内，甲血管中药物浓度平均变化率相同【正确答案】AC【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项.【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确；选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误；选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内，血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确；选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和，显然不相同，即选项D不正确．故选：AC.11.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A. B.数列是递增数列C.数列的最小项为和 D.满足的最大正整数【正确答案】ABD【分析】先根据求出，即可判断选项A、B；再利用二次函数性质可判断选项C；最后根据解不等式即可判断选项D.【详解】当时，；当时，；.数列是递增数列，故选项A、B正确；，当或时最小，即数列的最小项为和，故选项C错误，令，得，，即满足的最大正整数，故选项D正确.故选：ABD12.已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过点的直线与抛物线交于两点，，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.抛物线的方程为 B.若，则点到轴的距离为6C.的最小值为5 D.若，则的面积为【正确答案】ACD【分析】对于A：直接根据焦点到准线的距离可得；对于B：利用抛物线的定义以及梯形中位线的长度公式来求解；对于C：直接利用两点之间线段最短来解答；对于D：利用焦半径公式求出点坐标，进而可用面积公式求解.【详解】由焦点到准线的距离为4可得，即抛物线的方程为，A正确；过点作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的定义得，所以点到轴的距离为，B错误；根据图像点的位置可得，C正确；设，不妨取，则，得，所以，D正确故选：ACD.第II卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线在两坐标轴上的截距相等，则__________.【正确答案】-2或-1【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可.【详解】若该直线过原点，显然符合题意，易得；若该直线不过原点，显然时，直线不符合题意，当时，令时，令时，依题意有：，解得：或（舍），综上：或，故-2或-1.14.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______．【正确答案】【分析】根据函数单调性得到在区间上恒成立，求出，从而得到.【详解】函数在区间上单调递减，在区间上恒成立，即，又，故，即实数的取值范围为.故15.已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线于A、B两点，若，则的值为____________．【正确答案】29【分析】根据双曲线方程及已知有在双曲线的下支上，应用双曲线定义及，即可求目标式的值.【详解】由题设，故在双曲线的下支上，如下图示，根据双曲线定义：，所以.故16.如图，正方体的棱长为1，、分别为与的中点，则点到平面的距离为______.【正确答案】##【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到平面距离公式进行计算.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，令，则，故平面的法向量为，又，则点到平面的距离为.故四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在递增的等比数列中，，，其中.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【正确答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）由及得，，进而的，可得通项公式；（2）利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列.试题解析：（1）设数列的公比为，则，又，∴，或，（舍）.∴，即.故（）.（2）由（1）得，.∴.18.已知圆经过点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程．【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）借助待定系数法设出方程，代入计算即可得；（2）借助圆的弦长公式，设出直线方程计算即可得.【小问1详解】设圆M的方程为，因为圆M经过点，，且圆心在直线上，依题意有解得，，，所以圆M的方程为．【小问2详解】设圆心到直线l的距离为d，则弦长，当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，设其方程为，即，，解得，，所以所求直线l的方程为或．19.如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，点M在棱上且．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先证明M是的中点，连接，与交于点O，连接，从而证明，从而可证明.（2）以D为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．利用向量法求解即可.【小问1详解】因为平面平面，且平面平面，根据条件可知，所以平面，所以．所以，同理可得，又，所以是等边三角形，因为，所以M是的中点．如图，连接，与交于点O，连接，则O是的中点，所以，因为平面平面，所以平面．【小问2详解】以D为坐标原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．则．由（1）知是平面的一个法向量．设为平面的法向量．因为，所令，可得．设平面与平面的夹角为，则．20.在数列中，.（1）证明：数列为常数列.（2）若，求数列的前项和，并证.【正确答案】（1）证明见解析（2），证明见解析【分析】（1）根据条件得到，又，即可证明结果；（2）根据（1）得到，从而有，利用错位相减法，即可得到，再利用，即可证明结果.【小问1详解】令，得，则，因为①，所以②.①②得，即.又，得到，所以数列为常数列.【小问2详解】由（1）可得，所以是公差为1等差数列，所以.因为，所以③，④，③④得，所以，又因为，所以，得证.21.在平面直角坐标系中，已知椭圆C：()的左、右焦点分别为，且焦距为，椭圆C的上顶点为B，且．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过点，且与椭圆C交于M，N两点（不与B重合），直线BM与直线BN分别交直线于P，Q两点．判断是否存在定点G，使得点P，Q关于点G对称，并说明理由．【正确答案】（1）；（2）存在，理由见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的坐标表示求出，即可求解得结果.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，设出点的坐标，求出点纵坐标，结合韦达定理计算即可得解.【小问1详解】依题意，，，则，解得，而半焦距，于是，所以椭圆C的方程为．小问2详解】显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，由消去y得，，即，则，直线的方程为，直线的方程为，设两点的纵坐标分别为，于是，，显然，因此所以存在，使得点P，Q关于点G对称．思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系求解．22.已知函数．（1）求的单调区间；（2）存在且，使成立，求的取值范围．【正确答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．【分析】（1）先求，再由得增区间，由得减区间；（2）先转化为在上存在减区间，即有解，分离参数得有解，只需即可．【小问1详解】由题意得，令得，时，，在上单调递增；时，，在上单调递