广东省2025年高中数学学业水平考试试卷试题（含答案解析）

2025年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．“”是“函数为增函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．4．（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（

）A．3 B．4 C．5 D．76．函数，的最小正周期为（

）A． B． C． D．7．的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（

）A． B． C． D．8．在公差为的等差数列中，若，则（

）A．4 B． C．3 D．9．在等差数列中，满足，，则（

）A．11 B．14 C．15 D．1710．不等式的解集为（）A． B．C．或 D．11．某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（

）A．500 B．300 C．200 D．10012．某田径队有男运动员40人，女运动员20人，按性别进行分层随机抽样，从该田径队全体运动员中抽取一个容量为6的样本，则应抽取男运动员的人数为（

）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题13．在等差数列中，，则.14．在等差数列{an}中，a1>0，d＝，an＝3，Sn＝，则a1＝，n＝.15．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．16．已知向量与不共线，而且与共线，则的值为.17．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为人.18．如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为．三、解答题19．在中，已知(1)求角(2)若，求边的取值范围.20．已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求的单调递减区间．21．某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中.

(1)求a，b的值；(2)求这100名员工月销售额的第70百分位数；(3)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率.22．如图，在直三棱柱中，D是线段BC的中点，且．(1)求证：平面；(2)若，是边长为2的正三角形，求三棱锥的体积．参考答案一．选择题1．B【分析】利用交集的定义直接求得答案.【详解】集合，集合，则.故选：B2．A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及函数的单调性求出参数的取值范围，即可判断.【详解】当时，显然函数为增函数，故充分性成立；若函数为增函数，则，所以必要性不成立；所以“”是“函数为增函数”的充分不必要条件.故选：A3．A【分析】根据指数的运算直接得解.【详解】因为，，，所以，故选：A4．A【分析】利用对数运算法则计算可得结果.【详解】易知.故选：A5．D【分析】利用幂函数的单调性求出最大、最小值即可.【详解】函数在上单调递增，当时，，，所以最大值与最小值之和为7.故选：D6．B【分析】根据正弦函数直接得解.【详解】由正弦函数的性质知，最小正周期为,故选：B7．C【分析】由三角形面积公式求得，再由余弦定理得到.【详解】由，解得，由余弦定理得，所以.故选：C.8．D【分析】由等差数列通项公式即可求解【详解】因为为公差为的等差数列，所以故选：D9．B【分析】根据等差数列通项公式的性质求解．【详解】是等差数列，则，故选：B．10．A【分析】直接求解一元二次不等式，即可得到结果.【详解】解不等式，得，所以原不等式的解集为.故选：A11．C【分析】根据频率分布直方图求出不低于90分的频率，即可求得人数.【详解】由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的频率为：，所以成绩不低于90分的人数为.故选：C12．C【分析】根据分层抽样的比例关系，列式求得答案.【详解】由题意，应抽取男运动员的人数为.故选：C二．填空题13．2【分析】由等差数列性质，得，问题得解.【详解】是等差数列，，，解得.故答案为：2.14．23【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得解.【详解】由得n2－13n＋30＝0，∴n＝3或n＝10.又当n＝3时，a1＝2>0；当n＝10时，a1＝<0，不合题意，舍去，故a1＝2，n＝3.故答案为：2；3.15．【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解.【详解】因为当时，不等式恒成立，则，原题意等价于当时，不等式恒成立，又因为，当且仅当，即等号成立，可得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.16．/【分析】由向量平行的判定列出等式即可求解.【详解】因为与共线，又向量与不共线，所以，解得，故答案为：17．68【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数.【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为，故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为.故答案为：6818．/【分析】根据线面垂直可得线面角的几何角，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】连接,由于直三棱柱中，平面，平面，故,又,平面，故平面,由于,所以平面,故为与平面所成的角，由于，所以,，由于为锐角，所以，故答案为：三．解答题19．(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用边转角及正弦的和角公式，得到，即可求解；（2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，即可求解.【详解】（1）由，得到，所以，又，则，得到，所以.（2）由正弦定理知，又，所以，，由，得到，整理得到，所以，又，所以，得到，其中，，则，解得，所以边的取值范围为.20．(1)(2)【分析】（1）根据余弦函数周期公式求解；（2）根据余弦函数的单调递减区间求解.【详解】（1）的最小正周期为.（2）令，，解得：，，所以的单调递减区间为，.21．(1)，(2)(3)【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解；（2）根据百分位数的概念求解；（3）根据古典概型列出基本事件计算得解.【详解】（1）由已知得，所以，又因为，所以，.（2）由于样本在的频率为，在的频率为，所以这100名员工月销售额的第70百分位数为.（3）月销售额在这一组的人数为.其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b，从中随机抽取2人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，其中，事件“至少有一名女职工”包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，所以，所抽取的2人中至少有一名女职工的