2024-2025学年甘肃省兰州市高二上册11月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年甘肃省兰州市高二上学期11月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．设向量、、不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（）A． B．C． D．3．在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（

）A． B．C． D．4．已知，，是空间单位向量，且满足，若向量.则在方向上的投影的最大值为（

）A． B． C． D．5．已知直线l的方程为y+1=2，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为()A． B．2 C．log26 D．06．以,为端点的线段的垂直平分线方程是A． B．C． D．7．若直线与两坐标轴围成的三角形的面积S为（

）A． B．C． D．8．已知抛物线：的焦点为,是C上一点，，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8二、多选题（本大题共4小题）9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（

）A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；B．若非零向量，，满足，，则有∥；C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；10．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）A． B．C． D．11．若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（

）A． B． C． D．12．（多选题）两条平行直线l1，l2分别过点P(-1，3)，Q(2，-1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7三、填空题（本大题共4小题）13．在空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则.14．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，，，，A1C1与B1D1的交点为E，则=.15．在斜三棱柱中，的中点为，，则可用表示为．16．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题）17．直线过点且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6.18．已知长方体中，，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；19．已知圆：和：(1)求证：圆和圆相交；(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长．20．椭圆：()的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于．直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于、两点，交于、两点．(1)求的标准方程；(2)当四边形的面积为时，求直线的斜率()．21．设直线与.（1）若∥，求、之间的距离；（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程.22．如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过，，的平面交于点．(1)证明：．(2)求二面角的余弦值．

答案1．【正确答案】C【详解】解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C．2．【正确答案】C【详解】对于A选项，因为，所以，、、共面，所以，不能作为空间的一个基底，A不满足；对于B选项，因为，所以，、、共面，所以，不能作为空间的一个基底，B不满足；对于C选项，设、、共面，则存在、使得，所以，、、共面，与题设条件矛盾，故假设不成立，所以，、、不共面，即能作为空间的一个基底，C满足；对于D选项，因为，所以，、、共面，所以，不能作为空间的一个基底，D不满足.故选：C.3．【正确答案】B【详解】连接，如下图所示：

因为为的中点，则，因为点在上，且，则，因为，故选：B.4．【正确答案】D根据投影的计算公式，将投影化为关于的函数，然后再求函数的最大值即可.【详解】因为，∴，，∴①，因为要求最大值，故不妨取，令，则，代入①式得②，令，故②式小于等于.故选：D.5．【正确答案】B【详解】∵直线的方程为∴直线的斜率为2，在轴上的截距为4，即∴故选B6．【正确答案】D【详解】由，所以点中点坐标为，又由斜率公式可得，所以垂直平分线的斜率为，所以垂直平分线的方程为，即.7．【正确答案】D【详解】∵ab≠0，∴令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝，∴三角形的面积S＝.选D.8．【正确答案】A【分析】解方程即得解.【详解】由题得抛物线的准线方程为，则有，即有，解得．故选A.9．【正确答案】ACD【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可【详解】对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确，对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误，对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确，对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确，故选：ACD10．【正确答案】ABD【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面，对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；对于B，若共面，则存在唯一实数对，使得，则，无解，所以不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底；对于C，由于，故这三个向量是共面的，不能构成基底；对于D，若共面，则存在唯一实数对，使得，则，无解，所以不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底.故选：ABD.11．【正确答案】AB【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案.【详解】由题意，，，所以，所以：，即，由两平行直线间的距离公式得，解得或，所以或.故选：AB.本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.12．【正确答案】ABC【详解】当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大，最大距离为：，所以l1，l2之间的距离的取值范围是.故选：ABC13．【正确答案】【详解】如下图所示，连接，，所以，.故答案为.14．【正确答案】【详解】矩形中，对角线、相交于点，向量，矩形中，；矩形中，，，又，．故

15．【正确答案】【详解】.故答案为.16．【正确答案】【分析】设分别为和的中点，把异面直线与所成角转化为直线与所成的角，根据中位线定理，结合余弦定理求得和的余弦值，即可求解.【详解】如图所示，设分别为和的中点，可得，，且，所以异面直线与所成角即为直线与所成的角，作的中点为，则为直角三角形，因为，在中，由余弦定理可得，所以，所以，在中，，在中，可得，又因为异面直线所成角的范围是，所以与所成的角的余弦值为.故答案为.17．【正确答案】存在，.【详解】解：设直线方程为，若满足条件（1），则=12.①又因为直线过点所以.②由①②可得，解得，∴所求直线的方程为=1或=1，即或.若满足条件（2），则，③由题意得=1，④由③④整理得，解得∴所求直线的方程为=1或=1，即或.综上所述，存在同时满足（1）（2）两个条件的直线，其方程为.18．【正确答案】（1）；（2）；【分析】（1）由点为坐标原点及，即可求得点的坐标；（2）由两点距离公式，即可求得和的长度.【详解】（1）由题意，点为坐标原点，所以因为，可得又因为点N是AB的中点，点M是的中点，所以.（2）由两点距离公式得：，.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)，【分析】（1）由圆心距与两圆半径的和、差比较可得；（2）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，由勾股定理求弦长．【详解】（1）标准方程是，，，标准方程是，，，，显然，所以两圆相交．（2）两圆方程相减得，即为公共弦所在直线方程，到直线的距离为，所以公共弦长．20．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）由题意得，∴，∵，∴，∴，

故椭圆的标准方程为；（2）根据题意，直线的斜率存在且不为零，故设直线：，则直线：，由，得，恒成立，

设、，则，，

∴，

∵圆心到直线：的距离，

又，∴，

∵，∴四边形的面积，

由，解得或，由，得．21．【正确答案】（1）；（2）.【详解】（1）若l1∥l2，则，∴，∴m＝6，∴l1：x﹣2y﹣1＝0，l2：x﹣2y﹣6＝0∴l1，l2之间的距离d；（2）由题意，，∴0＜m＜3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积Sm（3﹣m），∴m时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3＝0．22．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，由正方体的性质得到，即可得到平面，根据线面平行的性质证明即可；（2）由（1）知为的中点，设，建立如图