2024-2025学年福建省厦门市高二上册期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省厦门市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．圆的圆心坐标是（

）A． B．C． D．2．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．设x、，向量，，且，，则（）A． B． C．3 D．44．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（

）

A． B．C． D．5．若圆，圆，则，的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（

）A． B． C．2 D．7．当点到直线的距离最大时，直线的一般式方程是（

）A． B．C． D．8．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设是空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A．，，两两共面，但，，不可能共面B．若，，则C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使D．，，不一定能构成空间的一个基底10．下列命题中，正确的是（）A．如果且，那么直线不经过第三象限B．若直线：与：平行，则与的距离为C．圆C：关于直线对称的圆方程为D．点为圆上任意一点，则的最大值为11．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（

）

A．在中点时，平面平面B．异面直线所成角的余弦值为C．在同一个球面上D．，则点轨迹长度为三、填空题（本大题共3小题）12．如图，在平行六面体中，四边形是边长为1的正方形，，则.13．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是．14．若直线l：与曲线C：只有一个公共点，则实数m的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知三角形的顶点坐标为，，.(1)求过点C且与边平行的直线；(2)求边上的高所在的直线方程.16．如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点(1)证明：平面;(2)若，求直线与平面所成角的正弦值17．已知椭圆C：（）的中心为原点O，左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.(1)若，，求椭圆的标准方程；(2)若，求椭圆的离心率.18．如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D.(1)求证：平面BDE；(2)若点F为棱的中点，求点F到平面BDE的距离；(3)若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.19．已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．(1)求圆的方程；(2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．

答案1．【正确答案】D【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标.【详解】圆，即，所以圆心为.故选：D2．【正确答案】B【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，即，所以.故选：B.3．【正确答案】B【详解】向量，，，且，，则，，解得，于是，所以.故选：B4．【正确答案】A【详解】，，，则．故选：A．5．【正确答案】B先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数.【详解】依题意，圆，圆心为，半径为3；圆，圆心为，半径为6；因为，故圆，相交，有2条公切线，故选：B.6．【正确答案】A【分析】由椭圆的定义可得,再结合余弦定理可得，然后由向量数量积定义得解.【详解】由椭圆的定义可得,在中，由余弦定理，又,可得：，即,即，即，则，故选：A.7．【正确答案】A【详解】可化为，令，解得，即直线过定点，则当时，点到直线的距离最大，即有，解得，此时直线为，化简得.故选：A.8．【正确答案】C【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，然后得到四边形面积为，利用切线长公式可知，当最短时，四边形面积最小，求解即可得到答案.【详解】

将化为标准方程为：，所以圆的圆心为，半径为2，由题意，四边形面积为，又因为，所以当最短时，四边形面积最小，此时.故选：C9．【正确答案】AC【详解】A选项，由基底的定义可知，，，不能共面，，，两两共面，A正确；B选项，，，但，不一定垂直，B错误；C选项，由基底的概念可知，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，C正确；D选项，设，故，无解，故，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误.故选：AC10．【正确答案】ABC【详解】对于A，由且，得直线的斜率，纵截距，该直线不过第三象限，A正确；对于B，直线：，当时，，它们的距离为，B正确；对于C，令圆：的圆心关于直线的对称点为，则，解得，所求圆的方程为，C正确；对于D，圆的圆心，半径，令原点为，则，当且仅当三点共线时取等号，D错误.故选：ABC11．【正确答案】ACD【分析】根据正方体图象特征证明面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角判断B错误；根据五点共圆得到C；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D.【详解】对于选项A：取的中点，连接，

在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，易知，因为，所以平面，在平面内，所以，平面，平面，，所以平面，平面，所以，连接，是正方形，，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，综上，平面，平面，又，所以平面，平面，故平面平面，故A正确；对于选项B：取的中点，连接，则，所以是异面直线所成的角，又，则，故B错误；对于选项C：记正方体的中心为点，则，所以在以为球心，以为半径的球面上，故C正确；对于选项D：因为，且为的中点，所以，故，所以点轨迹是过点与平行的线段，且，所以，故D正确；故选ACD.12．【正确答案】【详解】,所以,所以.故13．【正确答案】【分析】通过已知数据求出圆弧的半径，再通过由半径算弦心距的方法求出最大高度，最后减去安全高度差即可.【详解】如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG.由题可知，，，设，则在中，有即，解得故车辆通过隧道的限制高度是.故14．【正确答案】【详解】由曲线，整理可得，则曲线为圆心、半径的圆的上半部分，如下图：

由图可得直线与圆相切，则，解得，由图可得直线的方程为；由图可得直线过，可得方程；由图可得直线过，可得方程.由图可得.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由，则直线AB的斜率，可设与直线AB平行的直线斜率为，由该平行线过，则方程为，整理可得.（2）由（1）可得与直线AB垂直的直线斜率为，边AB上的高所在的直线斜率为，且过，所以直线方程为，整理可得.16．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）分别为的中点，为正方形，,平面平面，平面.（2）由题知平面建立如图所示的空间直角坐标系，，则，，，，设平面的一个法向量为n=则，令则，设直线与平面所成的角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由，则，由，则，可得，解得，所以方程为.（2）由，则，所以直线AB的斜率，直线的斜率，由，则，即，由，则，由，则，解得.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)(3)【详解】（1）连接，由为等边三角形，为中点，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，而平面，则，由四边形为菱形，得，又分别为中点，则，于是，且，平面，所以平面.（2）由在平面内的射影为线段的中点，得平面，由平面，平面，得，，由四边形为菱形，得为正三角形，在正中，，则以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，得，设平面的法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离为.（3）由（2）知，，，由点F为线段上的动点，令，则，平面的法向量，设平面的法向量n=a,b,c，则，令，得，设锐二面角的大小为，则，令，则，，由，得，则，所以锐二面角的余弦值的取值范围为.19．【正确答案】(1)或(2)(3)证明见解析