2024-2025学年福建省泉州市高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年福建省泉州市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量，，若，则（

）A． B．2 C． D．12．椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C．或 D．3．已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（

）A． B． C． D．4．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（

）A． B．1 C． D．05．在空间直角坐标系中，平面的法向量为，已知，则到平面的距离等于（

）A．4 B．2 C．3 D．16．椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知，下列命题正确的是（

）A．若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆B．若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线C．椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是D．渐近线为且过点的双曲线的焦点是8．斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知双曲线，则（

）A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为10．下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角的取值范围为B．“”是“点到直线距离为3”的充要条件C．直线恒过定点D．直线与直线平行11．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；（2）过点，且为法向量的平面的方程为．现已知平面，，，，则（

）．A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为.13．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为．14．已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点．(1)若，求的值；(2)求的值．16．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于(1)求圆的方程；(2)当时，求直线的方程．17．如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点.(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.18．已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.(1)求C的方程；(2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.19．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l：（）与椭圆C相交于A，B两点，且．①求证：的面积为定值；②椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．

答案1．【正确答案】C【详解】因为，，所以，，因为，所以，解得，故选：C2．【正确答案】C【详解】因为,又因为，所以,,解得,椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：;椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为.故选：C.3．【正确答案】B【详解】由点在平面内，可知，又，所以，三项相加可得.故选：B.4．【正确答案】C【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得．故选：C.5．【正确答案】B【详解】设点到平面的距离为，则，，选B考点：点到平面的距离的计算.6．【正确答案】B【分析】根据椭圆方程可得，再结合三角形周长，得，进而可得离心率.【详解】因为，所以.因为的周长为，所以，所以，所以椭圆的离心率为，故选：B.7．【正确答案】C【分析】直接利用椭圆定义和双曲线定义，直线的斜率，渐近线的应用逐个判断选项即可.【详解】对于A，若到距离之和为，即，则点的轨迹为线段，A错误；对于B，若到距离之差为，即，又，则点的轨迹为双曲线的一支，故B错误；对于C，椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积：，C正确；对于D，渐近线为且过点的双曲线方程为，双曲线过点，则，故双曲线方程为，故焦点坐标为和，故D错误.故选：C8．【正确答案】C【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝|x1－x2|＝＝＝·，当t＝0时，|AB|max＝．故选：C.9．【正确答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围.【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误；对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确；对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．故选AC.10．【正确答案】ACD【详解】对于A：设直线的倾斜角为，则，又，所以的取值范围是，故A正确；对于B：由点到直线的距离为3，可得，解得或，所以“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故B错误；对于C：直线，即，令，可得，所以直线恒过定点，故C正确；对于D：直线，即，斜率为，过点，直线的斜率为，过点，所以直线与直线平行，即直线与直线平行，故D正确.故选：ACD11．【正确答案】AC【分析】根据公认事实求出直线的方向向量和平面的法向量，用空间向量判断它们之间的位置关系即得.【详解】平面的法向量为，对于，则，即：，故经过点，方向向量为，则，即，故，即A正确，D错误；对于，即，故经过点，方向向量为，因点满足平面，即与有公共点，故B错误；对于，可知经过点，方向向量为，因，可得，即或，但点不满足平面，即，故，故C正确.故选AC.12．【正确答案】【详解】由圆方程知：圆心，半径，圆上的点到的距离最大值为.故答案为.13．【正确答案】作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.【详解】对于双曲线，则，，，如下图所示：设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则，所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为.关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.14．【正确答案】【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程.【详解】设点，点为弦的中点，有，将两点代入椭圆方程，得，两式作差，得，整理得，得直线的斜率为，直线的方程为，即.经检验符合题意.15．【正确答案】(1)，，(2)3【分析】（1）先根据空间向量得线性运算将用表示，再根据空间向量基本定理即可得解；（2）先利用余弦定理求出，再根据数量积的运算律即可得解.【详解】（1），又，∴，，；（2）由余弦定理得，易知；故，∴．16．【正确答案】(1)(2)或【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；(2)过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r，所以，则圆A方程为（2）过A做,由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，显然合题意，当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，由到距离为知得，代入解之可得，所以或为所求方程．17．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在满足条件的点G，点G为PB的中点【详解】（1）证明：∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC.又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.∵PA∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC.∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.（2）存在.由（1）及已知得PA⊥BE，PA⊥AC，∵点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC.又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直.分别以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，.设，，所以，设平面PBC的法向量为，则，即，令，则，，∴，由已知得，即，即，，解得或，由，故.所以存在满足条件的点G，点G为PB的中点.18．【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据焦点坐标及渐近线的斜率列式求解即可；（2）设点的坐标，联立直线与双曲线方程，韦达定理，根据向量共线坐标运算得三点共线，即证.【详解】（1）由焦点坐标为得，所以，又双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，得即，所以，所以双曲线C的方程为，即.（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，所以，设，，则，由（1）可知，双曲线C的渐近线为，又直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，则，即.联立，消去x得，则，得，，，则，又，所以，，所以，所以，又，有公共点F，所以B，F，D三点共线，所以