2024-2025学年福建省莆田市高三上册第四次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省莆田市高三上学期第四次月考数学检测试题一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（

）A． B． C． D．2．若（为虚数单位），则复数的模为（

）A．1 B． C． D．23．已知等差数列的前项和，若，则（

）A．150 B．160 C．170 D．与和公差有关4．若，则（

）A． B． C． D．5．要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是年前的遗物（参考数据：），则实数的值为（

）A．12302 B．13304 C．23004 D．240346．如图，在中，为边上的高，，，，，则的值为A． B． C．-2 D．7．已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是A．2 B． C．4 D．8．已知且且且，则（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．10．正项等比数列的前n项积为，且满足，，则下列判断正确的是（

）A． B． C．的最大值为 D．11．电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（

）A．为周期函数，且最小正周期为B．为奇函数C．的图象关于直线对称D．的导函数的最大值为712．在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（

）A．存在点M使得B．四棱锥外接球的表面积为C．直线PC与直线AD所成角为D．当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设为等比数列的前项和，，，则.14．若平面向量与的夹角为，，，则.15．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．16．设函数，的定义域均为，且函数，均为偶函数．若当时，，则的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知．(1)求B；(2)若，，求的面积．18．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．19．现有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望．20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E是CD的中点，AE与BD交于点F，G是的重心．

(1)求证：平面PCD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，为等腰直角三角形，且，求直线AG与平面PBD所成角的正弦值．21．已知数列的前项和为，，，．(1)求数列的通项公式；(2)求证：．22．已知函数．(1)讨论函数的零点的个数﹔(2)当时，若对任意，恒有，求实数a的取值范围．1．D【分析】分别求出集合，求出交集即可.【详解】，，故，.故选：D.2．C【分析】利用复数的除法运算求出，再利用求模公式计算即可.【详解】由，得，即，所以，故选：C．3．B【分析】根据等差数列性质可得，代入等差数列的前项和公式计算结果即可.【详解】解：因为是等差数列，所以，所以，所以.故选：B4．B【分析】利用凑角，同角三角函数关系和二倍角的余弦公式转化计算.【详解】，故选：B5．B【分析】设每年的衰变率为，古物中原的含量为，然后根据半衰期，建立方程，将已知条件带入取对数，利用对数性质运算即可.【详解】设每年的衰变率为，古物中原的含量为，由半衰期，得．所以，即．由题意，知，即．于是．所以．故选：B．6．A【分析】根据向量垂直及向量数量关系，可得，利用余弦定理及面积公式，可求得的值，进而求得的值。【详解】因为为边上的高所以因为所以则由向量的加法运算可得在中，，，由余弦定理可得所以由三角形面积公式可得可知，且解得所以所以选A本题考查了平面向量数量积的性质及应用，余弦定理在解三角形中的应用，综合性较强，属于中档题。7．C【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【详解】解：的导数为，由切线的方程可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为，所以切点为，代入，得，、为正实数，则．当且仅当时，取得最小值．故选：C本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．8．D令，利用导数研究其单调性后可得的大小.【详解】因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.故选：D．思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．9．ABD【分析】先根据奇偶性定义分析函数的奇偶性，然后再利用导数判断函数的单调性，由此作出判断即可.【详解】对于选项A，定义域为关于原点对称，且，故为奇函数，又，所以在上单调递增，故满足；对于选项B，定义域为关于原点对称，，故为奇函数，又，且不恒为0，所以在上单调递增，故满足；对于选项C，定义域为关于原点对称，，故为偶函数，不满足；对于选项D，定义域为关于原点对称，，为奇函数，又，所以在上单调递增，故满足．故选：ABD．10．ABC【分析】先根据题干条件判断出，然后结合等比数列的性质逐一分析每个选项．【详解】由得或，若，则，结合得，矛盾；所以，所以，故A正确；由上述分析得，故B正确；由上述分析得，故最大，C正确；，故D错误；故选：ABC.11．BCD【分析】利用函数的性质逐项分析判断即可.【详解】.对于A，，不是的周期，故A错误；对于B，的定义域为，为奇函数，故B正确；对于C，，且为奇函数，的图象关于直线对称，故C正确；对于D，，当时，，取最大值7，故D正确.故选：BCD.12．BCD【分析】取AD的中点G，证明平面PGC，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC，由平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，从而得为PC的中点，N为QA的中点，再由体积公式计算后判断D．【详解】如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，,则，因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，则．又因为，所以，又，平面，所以平面PGC．因为平面PGC，平面PGC，所以不成立，A错误．因为△APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，B正确．如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为，C正确．如图1，因为平面PGC，当动点M到直线BD的距离最小时，由上推导知，，，，，，，因此M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，即为中点,平面即平面与的交点也即为与的交点,可知N为QA的中点，故，D正确．故选：BCD．方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置．13．##0.875【分析】设公比为，由可解得，代入求和公式即可得出结果．【详解】设等比数列的公比为，由，得，则，由等比数列求和公式可知．故．14．2【分析】先求出，再利用数量积的运算性质即可求解.【详解】因为，所以，所以.故2.15．##【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为.[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立.[方法四]：判别式法设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即.

16．【分析】对函数求导，根据函数的奇偶性，对称性，周期性分析即可求解.【详解】因为函数，的定义域均为R，且函数为偶函数，则，求导得，即，所以函数的图像关于对称．因为函数为偶函数，所以，所以函数的图像关于对称，由函数的图像关于对称，且关于直线对称．所以函数的周期为，．由，，，所以，即，即，所以当时，于是．故17．(1)；(2)﹒【分析】(1)已知条件结合正弦定理边化角即可求B；(2)结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可求解﹒【详解】（1）由正弦定理，得，即，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∵B为三角形内角，∴；（2）∵，∴由正弦定理得，∴由余弦定理得，即，∴，，∴的面积为．18．(1)(2)【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可；（2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可.【详解】（1）设数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，即，解得或，因为各项均为正数，所以，所以，由，得，解得，所以.（2）由（1）知，，则，所以，两式相减可得，整理可得．19．(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据条件，结合全概率公式求解即可；（2）求出的取值和相应的概率可得分布列及期望.【详解】（1）设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”（），则，且两两互斥，，，，，，，由全概率公式得；（2）可取，，，，的分布列为353230所以.20．(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接AG并延长交PD于H，根据重心的性质和相似三角形的性质可得，进而可证，从而利用线面平行的判断定理即可证明；（2）连接PG并延长交AD于O，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量求法即可求解.【详解】（1）证明：连接AG并延长交PD于H，∵G为的重心，∴．又，∴，∴，∴．又平面PCD，平面PCD，∴平面PCD．（2）连接PG并延长交AD于O，显然O为AD的中点，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面平面，又PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．

取BC中点M，以O为坐标原点，OA，OM，OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则PO=2，于是，，，，，，于是，，．设平面PBD的法向量为，则，∴，∴，不妨取z=1，则，∴，∴AG与平面PBD所成角的正弦值为．21．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据公式得到是常数列，确定，计算得到通项公式.（2）放缩，根据裂项相消法计算得到证明.【详解】（1），则，整理得到，故，故是常数列，故，即，当时，，验证时满足，故（2），故.22．(1)当时，无零点，当或有一个零点，当，有2个零点，(2)【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，即可结合函数图象求解，（2）将不等式等价于，构造函数，利用导函求解单调性，即可将问题进一步转化为恒成立，取对数即可求解.【详解】（1）令则，记，则，当时，，此时在单调递减，当时，，此时在单调递增，故当时，取极大值也是最大值，又，而当时，，故当时，，当时，，作出的图象如下：

因此当时，即，无交点，此时无零点，当或时，即或，有一个交点，此时有一个零点，当时，即，有两个交点，此时有2个零点，综上可知：当时，无零点，当或有一个零点，当，有2个零点，（2）当时，若对任意，恒有等价于：对任意，恒有，令，则不