2024-2025学年福建省福州市高二上册第一学段考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省福州市高二上学期第一学段考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（

）A． B．C． D．2．若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（

）A． B． C． D．03．已知四点共圆，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（

）A． B．C． D．5．已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（

）A． B． C．2 D．36．若直线与圆O：相切，则圆与圆O（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切7．已知，是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（

）A．6 B．5 C．2 D．18．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是弦的中点坐标是则椭圆的离心率是A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（

）A．与是共线向量B．与同向的单位向量是C．在方向上的投影向量是D．与的夹角为10．下列关于直线与圆的说法正确的是（

）A．若直线与圆相切，则为定值B．若，则直线被圆截得的弦长为定值C．若，则圆上仅有两个点到直线的距离相等D．当时，直线与圆相交11．已知，是双曲线的左、右焦点，且，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，过点作垂直于PM于点E．则下列说法正确的是（

）A．若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2B．当时，面积为C．当时，点M的坐标为D．若，则三、填空题（本大题共3小题）12．若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是．13．若双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程为.14．设为椭圆与双曲线的公共焦点，分别为左､右焦点，与在第一象限的交点为．若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知平面内两定点，动点P满足．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求．16．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．

(1)试用，，表示出向量；(2)求与所成的角的余弦值．17．已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦.(1)当圆的面积最小时，求圆的标准方程；(2)在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件：（i）与直线垂直；（ii）与圆相切；（iii）在轴上的截距大于0，若直线与圆交于，两点，求.18．如图，在四棱锥中，平面平面，，为中点，点在上，且.

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)线段上是否存在点，使得平面？说明理由.19．已知椭圆过点，其左右焦点分别为，且焦距为4．直线过交椭圆于两点．(1)求椭圆的方程；(2)当时，在轴上方时，求的坐标；(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

答案1．【正确答案】B【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上，又直线的斜率为,根据点斜式方程得即.故选：B.2．【正确答案】A【详解】由题意，是空间的一个基底，，所以不共线，因为不能构成空间的一个基底，则共面，所以存在使得，即所以，解得．故选：A．3．【正确答案】D【详解】设过四点的圆的方程为，将代入可得：，解得，所以圆的方程为，将代入圆的方程得，解得，故选：D4．【正确答案】D【详解】点，直线的斜率，直线的斜率，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或，即或，所以直线l的斜率的取值范围为.故选：D.5．【正确答案】C【分析】根据题意，求得和平面的法向量，结合向量的距离公式，即可求解.【详解】由点，可得，又由，可得向量为平面的法向量，且，则，所以点到平面的距离为.故选C.6．【正确答案】A【详解】若直线与圆O：相切，则圆心O0,0到直线的距离等于圆O的半径，即，得，圆圆心，半径为，两圆圆心距，大于两圆半径之和，所以两圆相离.故选：A7．【正确答案】D【详解】因为是焦点为，的椭圆上的一点，为的外角平分线，，设的延长线交的延长线于点，，所以，所以，，，，由于是线段的中点，所以是△的中位线，所以，所以点的轨迹是以为圆心，以6为半径的圆，所以当点与轴重合时，与短轴端点取最近距离．故选：D8．【正确答案】C【详解】设直线与椭圆交点为，分别代入椭圆方程，由点差法可知代入k=1,M(-4,1),解得，选C.9．【正确答案】BC【详解】已知空间中三个向量，，，对于A选项，因为，故、不共线，A错；对于B选项，与同向的单位向量是，B对；对于C选项，在方向上的投影向量是，C对；对于D选项，因为，则、不垂直，D错.故选：BC．10．【正确答案】ABD【详解】圆的圆心为，半径为1，对于A选项，若与圆相切，则，可得，A正确；对于B选项，若，圆心到直线的距离为，此时直线被圆截得的弦长为，B正确；对于C选项，因为，圆心到直线的距离为，此时圆上有3个点到直线的距离相等，C错误；对于D选项，当时，直线的方程为，即直线过定点，又因为，可得点在圆内，故直线与圆相交，D正确．故选：ABD．11．【正确答案】AC【分析】根据点到直线的距离，结合题意求出a，b，c，即可判断A；由双曲线的定义，结合余弦定理计算和三角形的面积公式，即可判断B；根据角平分线定理，结合求出点M的坐标，即可判断C；作辅助线，构造全等三角形求出OE，根据OE与渐近线之间的关系建立不等式，解之即可判断D.【详解】A：易知，又双曲线的一条渐近线方程为，则到该渐近线的距离为，又，所以，所以，得双曲线的离心率为，故A正确；B：在中，，得，由余弦定理得，即，得，所以的面积为，又，所以，故B错误；C：因为，，所以，由角平分线定理可得，得，又，所以，又，所以，故C正确；D：延长交于点，连接，如图，易知，即，所以，又分别是的中点，所以，所以，又点P在第一象限，故直线的斜率必小于渐近线的斜率，设渐近线的倾斜角为，由，得，则，即，整理得，又，所以，解得，故D错误.故选AC.

【关键点拨】本题考查双曲线离心率、焦点三角形面积和双曲线中参数范围的求解；其中选项D，充分挖掘集合关系，建立a，b的不等式，是解题的关键．12．【正确答案】【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是.故答案为.13．【正确答案】【详解】由方程，则其渐近线方程为，由椭圆，则其焦点为，由题意可知，双曲线的标准方程设为，则，解得，则双曲线的标准方程为，故答案为.14．【正确答案】【详解】如图所示，设椭圆的方程为，双曲线的方程为，椭圆和双曲线的半焦距为，设，由题意可得，由椭圆的定义，可得，由双曲线的定义，可得，解得，设椭圆的离心率为，由，所以，两边同除以,得，即有，由，则，可得，则.故．15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆，其中，所以所求动点P的轨迹C的方程为．（2）设Ax联立直线与椭圆的方程,消y整理得：，所以，，，∴.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，则，因为ABCD是边长为1的正方形，则，且，可得，又因为，，，所以.（2）由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°，则，可得，又因为，设与所成的角为，所以．17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，由，解得或，因此圆与圆的公共弦的两个端点坐标分别为，，当圆的面积最小时，是圆的直径，则圆的圆心为，半径为，所以圆的标准方程是.（2）因为直线与直线垂直，则设直线的方程为，而直线与圆相切，则有，解得或，又因为在轴上的截距大于0，即，所以，即直线的方程为，而圆的圆心，半径，点到直线：的距离为，于是得.

18．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)不存在，理由见解析【详解】（1）在中，所以，即.又因为，在平面中，，所以平面.（2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面，由平面，得.由（2）知，且已知，故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，则，.

所以因为为中点，所以.由知，.设平面的法向量为，则即令，则.于是.由（1）知平面，所以平面的法向量为.所以，由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为；（3）设是线段上一点，则存在使得.因为，所以.因为平面，所以平面，当且仅当，即.即.解得.