福建省福州市大湖中学高三数学文上学期期末试卷含解析

福建省福州市大湖中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列结论中错误的是（）A.若，则B.若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C.若角的终边过点（），则D.若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度参考答案：C若，则，故A正确；

若是第二象限角，即，则为第一象限或第三象限，故B正确；

若角的终边过点则，不一定等于，故C不正确；扇形的周长为6，半径为2，则弧长，其中心角的大小为弧度，故选C．2.函数图象的一条对称轴方程可以为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B设水深为尺，则，解得，即水深12尺.又葭长13尺，则所求概率,故选B.4.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知实数成等比数列，且对函数，当时取到极大值，则等于（）A．﹣1B．0C．1D．2参考答案：A试题分析：由，即，所以，y的极大值为，所以，又因为，所以.故选A.考点：1.等比数列性质；2.函数的最值求解.

6.设条件；条件，那么p是q的什么条件

（

）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充分且不必要条件

D．非充分非必要条件参考答案：A略7.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生．那么不同的选派方法共有（

）A．14种

B．28种

C．32种

D．48种

参考答案：A8.若，则（

）A. B. C.1 D.参考答案：A试题分析：由，得或，所以，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A

由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P-ABC，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为，故选A.

10.在中，已知，则角A为（

）A.锐角

B.直角

C.钝角

D.锐角或钝角参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为

▲

。参考答案：212.如图，在平面斜坐标系中，。斜坐标定义：如果，（其中分别是轴，轴的单位向量），则叫做P的斜坐标。（1）已知P的斜坐标为，则

。（2）在此坐标系内，已知，动点P满足，则P的轨迹方程是

。参考答案：

本题是新信息题，读懂信息，斜坐标系是一个两坐标轴夹角为的坐标系。这是区别于以前学习过的坐标系的地方。（1），（2）设，由得，整理得：。本题给出一个新情景，考查学生运用新情景的能力，只要明白了本题的本质是向量一个变形应用，问题即可解决。13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a-b)sinB＝asinA－csinC．且a2＋b2－6(a+b)＋18＝0，＝──────参考答案：14.（选修4—5不等式选讲）已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是

.参考答案：略15.向量的夹角为120°，=

．参考答案：7，所以，所以。16.已知向量，，，若∥，则=

．参考答案：5略17.圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，，，，分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形（如图1）.沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起，，，，使得E，F，G，H重合得到个四棱锥（如图2）.设正方形ABCD的边长为a，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的半径为________.

图1

图2参考答案：【详解】连接OE交AB于点1,设E、F.G.H重合于点P,作三角形PAB的AB边上的高PK,连接PO,KO,CO,如下图所示，设正方形的边长为,则,,∵该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，，解得，设该四棱维的外接球的球心为Q,半径为Rcm,可知Q在PO上,连接QC,又,则在中,解得,故答案为:.【点睛】本题考查平面图形的折叠,四棱锥的外接球的半径,解决的关键在于平面图形折叠成立体图形后,明确变化的量和没有变的量,以及线线的位置,线面的位置关系,对于几何体的外接球的问题,关键在于确定外接球的圆心的位置,球半径,属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）在中,角的对边分别为,且.(1)求的值；(2)若,,求向量在方向上的投影.参考答案：(1)由得,则,即

-----2分又,则

-----4分(2)由正弦定理,有,所以,

-----6分由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(负值舍去),

-----9分向量在方向上的投影为

-----12分19.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，面，，分别是的中点．（1）求证:平面平面；（2）求证:平面.参考答案：20.设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1 （1）求{an}的通项公式； （2）记bn=log2（an+1），求数列{bnan}的前n项和为Sn． 参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）通过对an+1=2an+1变形可得（an+1+1）=2（an+1），进而可得{an+1}是以2为公比、2为首项的等比数列，计算即得结论； （2）通过，可得bnan=n2n﹣n，记A=1×21+2×22+…+n2n，利用错位相减法计算A﹣2A的值，进而计算可得结论． 【解答】解：（1）∵an+1=2an+1， ∴（an+1+1）=2（an+1） ∵a1+1=2≠0，∴an+1≠0， ∴， ∴{an+1}是以2为公比、2为首项的等比数列， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 记A=1×21+2×22+…+n2n， ∴2A=1×22+…+（n﹣1）2n+n2n+1， ∴﹣A=A﹣2A =2+22+…+2n﹣n2n+1 =﹣n2n+1 =（1﹣n）2n+1﹣2， ∴A=（n﹣1）2n+1+2， 故． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 21.已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则F′（x）=x﹣2x2+===，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．【点评】本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值及恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．22.如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S△MON=，当P变化时，求动点T轨迹方程．参考答案：【考点】轨迹方程；直线的一般式方程．【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，