2025届高考数学二轮总复习专题5统计与概率第1讲计数原理与概率课件

第1讲计数原理与概率领航高考风向标通览主干知识1.抽样方法(1)对于简单随机抽样,从容量为N的总体中抽取容量为n(1≤n<N)的样本,则每个个体被抽到的概率都为

等可能性,公平性(2)分层随机抽样实际上就是按比例抽样,即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本数量.

2.统计中的五个数字特征(1)众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据.(2)中位数:在样本数据中,将数据按大小排列,位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数.(5)百分位数:一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.(6)从频率分布直方图中得出有关数据的方法.频率频率分布直方图中横轴表示样本数据,纵轴表示频率比频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,各小长方形高的比也就是频率比众数的估计值频率分布直方图中最高小长方形底边中点的横坐标中位数的估计值频率分布直方图中中位数左边和右边的直方图的面积相等平均数的估计值频率分布直方图中每个小长方形的面积与小长方形底边中点的横坐标的乘积之和3.数据的统计相关性(1)线性相关:一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.(2)经验回归方程:若变量x与y具有线性相关关系,有n个样本数据

4.独立性检验对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X和Y,其2×2列联表是:变量y1y2合计x1aba+bx2cdc+d合计a+cb+dn随机变量

5.概率的计算公式(2)互斥事件的概率计算公式P(A∪B)=P(A)+P(B);(3)对立事件的概率计算公式P()=1-P(A);对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件(4)条件概率公式(5)全概率公式一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意事件B⊆Ω,有P(B)P(Ai)P(B|Ai),我们称这个公式为全概率公式.指的是对目标事件B有贡献的全部原因微点拨

要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中,事件A,B发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生.(2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为Ω,因而有P(A|B)≥P(AB).6.离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.Xx1x2x3…xi…xnPp1p2p3…pi…pn(2)离散型随机变量的分布列的两个性质①pi≥0(i=1,2,…,n);②p1+p2+…+pn=1.(3)期望公式7.两种特殊分布(1)超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件(不放回),其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.(2)二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).8.离散型随机变量的方差公式

方差和标准差都是描述随机变量的离散程度的量,方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.9.期望与方差的性质(1)离散型随机变量期望的性质①E(aX+b)=aE(X)+b;②若X~B(n,p),则E(X)=np;③若X服从两点分布,则E(X)=p.(2)离散型随机变量方差的性质①D(aX+b)=a2D(X);②若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p);③若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p).10.正态分布(1)正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).满足正态分注意是σ2,不是σ布的三个基本概率的值是①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.(2)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题是常见考法,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.链高考1.(2023新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果有(

)D链高考2.(2023新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(

)A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差BD链高考3.(2024全国甲,理17,文18)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:车间优级品合格品不合格品合计甲车间2624050乙车间70282100合计96522150(1)填写如下列联表:车间优级品非优级品甲车间

乙车间

依据小概率值α=0.05的χ2独立性检验,能否推断甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,能否推断甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设

为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?α0.050.010.001xα3.8416.63510.828解

(1)车间优级品非优级品甲车间2624乙车间7030零假设为H0:甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异.根据表中的数据,因为3.841<χ2<6.635,所以依据小概率值α=0.05的χ2独立性检验,我们推断H0不成立,即甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,该推断犯错误的概率不超过0.05;依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,我们没有充分证据推断H0不成立,即甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异.链高考4.(2024天津,13)有A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加,则甲选到A活动的概率为

;已知乙选了A活动,那么他再选择B活动的概率为

.

链高考5.(2024北京,18)已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元.赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样1000单,以频率估计概率:(1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率;(2)(ⅰ)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X万元,估计X的数学期望;(ⅱ)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望.(ⅱ)设赔偿金额为Y万元,由(ⅰ)可知赔偿金额的数学期望的估计值为E(Y)=0.4-E(X)=0.278.设保单下一保险期的保费为Z万元,由题可知Z是一个离散型随机变量,其可能的取值为0.384,0.48.用频率估计概率,可知计值为E(Z)=0.384×0.8+0.48×0.2=0.403

2,所以保单下一保险期毛利润的数学期望的估计值为E(Z)-E(Y)=0.125

2.链高考6.(2019浙江,7)设0<a<1,随机变量X的分布列是则当a在(0,1)内增大时,(

)A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大D链高考7.(2024新高考Ⅰ,9)为了解某种植区推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值

=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(

)(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.8413)A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8BC解析

由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12).∵P(X<1.8+0.1)≈0.841

3,∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841

3=0.158

7,∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158

7,故A错误;P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,故B正确;∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841

3,故C正确,D错误.故选BC.考点一排列与组合问题例1(多选题)(2024山西晋中模拟)某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛,比赛结束后,这5名同学排成一排合影留念,则下列说法正确的是(

)A.若要求2名女生相邻,则这5名同学共有48种不同的排法B.若要求女生与男生相间排列,则这5名同学共有24种排法C.若要求2名女生互不相邻,则这5名同学共有72种排法D.若要求男生甲不在排头也不在排尾,则这5名同学共有72种排法ACD[对点训练1](1)(2024浙江杭州二模)将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动,每名志愿者至少去一个社区,每个社区至少1名志愿者,则不同的分配方法数是(

)A.300 B.240

C.150

D.50C(2)(多选题)(2024山东潍坊模拟)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是(

)A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有42种C.甲、乙不相邻的排法种数为82D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种ABD考点二二项式定理例2(1)(2024河北廊坊模拟)(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为(

)A.-160 B.-20 C.20 D.160A(2)(多选题)(2024广东佛山模拟)若(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则(

)A.a0=1B.a3=20C.2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0D.|a0+a2+a4+a6|=|a1+a3+a5|ACD解析

将x=0代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(0-1)6=a0,解得a0=1,故A正确;(x-1)6的展开式的通项为Tk+1=x6-k(-1)k,令6-k=3,得k=3,所以a3=(-1)3=-20,故B错误;将x=2代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(2-1)6=a0+2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6,所以2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6=0,故C正确;将x=1代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(1-1)6=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,即a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,①将x=-1代入(x-1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,得(-1-1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6,即a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=64,②①+②得2(a0+a2+a4+a6)=64,所以a0+a2+a4+a6=32,①-②得2(a1+a3+a5)=-64,所以a1+a3+a5=-32,所以|a0+a2+a4+a6|=|a1+a3+a5|,故D正确.故选ACD.[对点训练2](1)(2024浙江金丽衢十二校一模)(1+x-y)5的展开式中含x2y的项的系数为(

)A.30 B.-30 C.10 D.-10B(2)(2024山东菏泽模拟)(x2+ax-1)(1-x)6的展开式中含x2的项的系数是-2,则实数a的值为(

)A.0 B.3 C.-1 D.-2D考点三古典概型例3“春雨惊春清谷天,夏满芒夏暑相连;秋处露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节,每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气,则这2个节气恰好不在一个季节的概率为

.

解析

我们用A1,A2,…,A6表示春季的6个节气,用B1,B2,…,B6表示夏季的6个节气,用C1,C2,…,C6表示秋季的6个节气,用D1,D2,…,D6表示冬季的6个节气,则试验的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),…,(A1,A6),(A1,B1),(A1,B2),…,(A1,B6),(A1,C1),(A1,C2),…,(A1,C6),(A1,D1),(A1,D2),…,(A1,D6),(A2,A3),(A2,A4),…,(A2,D6),(A3,A4),…,(A3,D6),…,(D5,D6)},共

=276(个)样本点,且每个样本点都是等可能的,所以这是一个古典概型.(方法一)设事件A=“这2个节气恰好不在一个季节”,则A={(A1,B1),(A1,B2),…,(A1,D6),(A2,B1),(A2,B2),…,(A2,D6),…,(A6,D6),(B1,C1),(B1,C2),…,(B1,D6),…,(B6,D6),(C1,D1),(C1,D2),…,(C1,D6),…,(C6,D6)},(方法二)设事件A=“这2个节气恰好不在一个季节”,B=“这2个节气恰好在一个季节”,则B={(A1,A2),(A1,A3),…,(A1,A6),(B1,B2),(B1,B3),…,(B1,B6),(C1,C2),(C1,C3),…,(C1,C6),(D1,D2),(D1,D3),…,(D1,D6)},延伸探究在本例条件下,若从24个节气中任选3个节气,求这3个节气恰好在一个季节的概率.[对点训练3](2023全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(

)解析

我们用A,B表示高一年级的2名学生,用C,D表示高二年级的两名学生,则试验的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共有6个样本点,且每个样本点都是等可能的,所以这是一个古典概型.设事件A=“这2名学生来自不同年级”,则A={(A,C),(A,D