第十五讲　二次函数的应用 - 学生版

第十五讲二次函数的应用1.如图,在正方形ABCD中,AB=4,动点M,N分别从点A,B同时出发,沿射线AB,射线BC的方向匀速运动,且速度的大小相等,连接DM,MN,ND.设点M运动的路程为x(0≤x≤4),△DMN的面积为S,下列图像中能反映S与x之间函数关系的是()2.汽车刹车后行驶的距离s(单位:米)关于行驶时间t(单位:秒)的函数关系式是s=15t-6t2.则汽车从刹车到停止所用时间为秒.

3.(2024·自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6m,OE=1.4m,OB=6m,OC=5m,OD=3m,班长买来可切断的围栏16m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地的最大面积是m2.

4.从喷水池喷头喷出的水柱,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水柱的竖直高度y(单位:m)与它距离喷头的水平距离x(单位:m)之间满足函数关系式y=-2x2+4x+1,喷出水柱的最大高度是m.

5.(2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?6.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40m,有下列结论:①AB的长可以为6m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2;③菜园ABCD面积的最大值为200m2.其中,正确结论的个数是()A.0 B.1 C.2 D.37.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2,则最佳加工时间为min.

8.嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-18x2+n8x+c(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值;(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上,且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.9.(2024·青海)在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡OA,从点O处抛出一个小球,落到点A(3,32)处.小球在空中所经过的路线是抛物线y=-x2+bx的一部分(1)求抛物线的表达式;(2)求抛物线最高点的坐标;(3)斜坡上点B处有一棵树,点B是OA的三等分点,小球恰好越过树的顶端C,求这棵树的高度.10.公路上正在行驶的甲车,发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程s(单位:m)、速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,其图像如图所示.(1)当甲车减速至9m/s时,它行驶的路程是多少?(2)若乙车以10m/s的速度匀速行驶,两车何时相距最近,最近距离是多少?11.(2024·武汉)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-12x+b.其中,当火箭运行的水平距离为9km时,自动引发火箭的第二级(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km,①直接写出a,b的值;②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km,求这两个位置之间的距离.(2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.12.某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图像.发现:如图1所示,该类型图像上任意一点M到定点F0,14a的距离MF,始终等于它到定直线l:y=-14a的距离MN(该结论不需要证明),他们称:定点F为图像的焦点,定直线l为图像的准线,y=-14a叫做抛物线的准线方程.其中原点O为例如:抛物线y=12x2,其焦点坐标为F0,12,准线方程为l:y=-12.其中MF=MN,FH=2OH=1【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线y=2x2的焦点坐标和准线l的方程:,.

【技能训练】(2)如图2所示,已知抛物线y=18x2上一点P到准线l的距离为6,求点P【能力提升】(3)如图3所示,已知过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A,B,C.若BC=2BF,AF=4,求a的值;【拓展升华】(4)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点C将一条线段AB分为两段AC和CB,使得其中较长一段AC是全线段AB