第十四讲　二次函数的图像与性质(二)

第十四讲二次函数的图像与性质(二)1.若抛物线y=x2+x-1与x轴的交点坐标为(m,0),则代数式m2+m+119的值为(C)A.118 B.119 C.120 D.1212.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)和点(0,-3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是(C)A.a>0B.a+b=3C.抛物线经过点(-1,0)D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根3.(2024·广安)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图像与x轴交于点A-32,0,对称轴是直线x=-12,有以下结论:①abc<0;②若点(-1,y1)和点(2,y2)都在抛物线上,则y1<y2;③am2+bm≤14a-12b(m为任意实数);④3a+4c=0,其中正确的有A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2,则二次函数y=a(x+1)2+k与x轴的交点坐标为(A)A.(-3,0),(1,0) B.(-2,0),(2,0)C.(-1,0),(1,0) D.(-1,0),(3,0)5.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则关于x的不等式ax2-bx-c≥0的解集为(B)A.-2≤x≤1 B.x≤-2或x≥1C.1≤x≤4 D.x≤1或x≥46.已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图像与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图像对称轴之间的距离为(A)A.2 B.m2 C.4 D.2m27.如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为(B)A.-1 B.-2 C.-3 D.-48.在直角坐标系中,设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a≠0).(1)若该函数的图像经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的表达式,并写出函数图像的顶点坐标;(2)已知a=b=1,当x=p,q(p,q是实数,p≠q)时,该函数对应的函数值分别为P,Q.若p+q=2,求证:P+Q>6.【解析】(1)由题意得a+解得a=1∴该函数表达式为y=x2-2x+1.并且该函数图像的顶点坐标为(1,0).(2)由题意,得P=p2+p+1,Q=q2+q+1,∴P+Q=p2+p+1+q2+q+1=p2+q2+4=(2-q)2+q2+4=2(q-1)2+6≥6,由条件p≠q,知q≠1.∴P+Q>6,得证.9.二次函数y=ax2+bx的图像如图所示,则一次函数y=x+b的图像一定不经过(D)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10.已知二次函数y=2x2-4x-1在0≤x≤a时,y取得的最大值为15,则a的值为(D)A.1 B.2 C.3 D.411.已知抛物线y=ax2+bx+c上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:x…-7.21-7.20-7.19-7.18-7.17…y…-0.04-0.030.010.020.03…则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是(B)A.-7.21<x<-7.20B.-7.20<x<-7.19C.-7.19<x<-7.18D.-7.18<x<-7.1712.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分与x轴的一个交点坐标为(3,0),对称轴为直线x=1,结合图像给出下列结论:①abc>0;②b=2a;③3a+c=0;④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根;⑤若点(m,y1),(-m+2,y2)均在该二次函数图像上,则y1=y2.其中正确结论的个数是(B)A.4 B.3 C.2 D.113.已知二次函数y=x2-4x+3的图像交x轴于A,B两点.若其图像上有且只有P1,P2,P3三点满足S△ABP1=S△ABP2=SA.12 B.1 C.32 D14.抛物线y=ax2-a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2<0,则直线y=ax+k一定经过(D)A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三、四象限 D.第一、四象限15.(2024·龙东)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中B(1,0),C(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△APC的面积最大?若存在,请直接写出点P坐标和△APC面积的最大值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)将点B(1,0),C(0,3)代入抛物线y=-x2+bx+c中,-1+b+c∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.(2)令y=0,则0=-x2-2x+3,解得x1=-3,x2=1,∴A(-3,0),∴OA=3,∵C(0,3),∴OC=3,过点P作PE⊥x轴于点E,设P(x,-x2-2x+3),且在第二象限内,∴OE=-x,AE=3+x,∴S△APC=S△APE+S梯形PCOE-S△AOC=12AE·P