第二十四讲　正方形

第二十四讲正方形1.下列说法不正确的是(C)A.对角线互相垂直的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.有一个角是直角的平行四边形是正方形D.邻边相等的矩形是正方形2.数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具,此时测得∠D=60°,对角线AC长为16cm,改变教具的形状成为图2所示的正方形,则正方形的边长为(C)A.8cm B.42cmC.16cm D.162cm3.如图,AC是正方形ABCD的对角线,以AD为边向正方形内部做等边三角形ADE,边DE交AC于点F,则∠EFC的度数是(D)A.45° B.60° C.65° D.75°4.如图,在正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延长GF交DC于点E,则DE的长是(C)A.1 B.1.5C.2 D.2.55.如图,点E是正方形ABCD内的一点,将△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBF.若∠ABE=55°,则∠EGC=80度.

6.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是85.

7.(2024·天津)如图,正方形ABCD的边长为32,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,OE=5,连接DE.(Ⅰ)线段AE的长为2;

(Ⅱ)若F为DE的中点,则线段AF的长为

1028.如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F,G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为(C)A.2 B.2 C.22 D.49.如图,在正方形ABCD中,点E为边CD的中点,连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,连接BD交AE于点G,FH平分∠BFG交BD于点H.则下列结论中,正确的个数为(D)①AB2=BF·AE;②S△BGF∶S△BAF=2③当AB=a时,BD2-BD·HD=a2.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.(2024·福建)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为2.

11.(2024·河南)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为(3,10).

12.如图,动点M在边长为2的正方形ABCD内,且AM⊥BM,P是CD边上的一个动点,E是AD边的中点,则线段PE+PM的最小值为

10-1.

13.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,点E在CD的延长线上,连接AE,点F是AE的中点,连接OF交AD于点G.若DE=2,OF=3,则点A到DF的距离为

45514.如图,E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点,P是对角线AC上的动点,当PE+PF取得最小值时,APPC的值是

2715.课本再现(1)如图1,O是正方形ABCD对角线的交点,同时,O是正方形A1B1C1O的一个顶点,且这两个正方形的边长相等,两个正方形重叠的部分为四边形EBFO,则S四边形EBFO=S正方形ABCD;AEBF(填“>”“=”或拓展延伸(2)如图2,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边AD上一点,连接OE,过点O作OF⊥OE,交CD于点F.若四边形OFDE的面积是1,求线段AB的长.【解析】(1)如图,连接OA,OB,∵O是正方形ABCD对角线的交点,∴OA=OB,∠OAE=∠OBF=45°,∠AOB=90°;∴∠AOE+∠EOB=90°;在正方形A1B1C1O中,∠A1OC1=∠EOB+∠BOF=90°,∴∠AOE=∠BOF,∴△OAE≌△OBF(ASA),∴S△OAE=S△OBF,AE=BF,∴S△AOB=S△AOE+S△EOB=S△OBF+S△EOB=S四边形EBFO,∵S△AOB=12OA·OB=12OA2,AB2=OA2+OB2=2OA2,S正方形ABCD=AB∴OA2=12AB2∴S△AOB=14S正方形ABCD∴S四边形EBFO=14S正方形ABCD答案:14(2)∵O是正方形ABCD对角线的交点,∴OD=OC,∠ODE=∠OCF=45°,∠DOC=90°,∴∠DOF+∠FOC=90°;∵OF⊥OE,∠EOD+∠DOF=90°,∴∠EOD=∠FOC,∴△ODE≌△OCF(ASA),∴S△ODE=S△OC