第二十三讲　矩形、菱形

第二十三讲矩形、菱形1.在下列条件中,能够判定▱ABCD为矩形的是(D)A.AB=AC B.AC⊥BDC.AB=AD D.AC=BD2.如图,将矩形ABCD沿AC折叠,使点B落在点B'处,B'C交AD于点E,若∠1=25°,则∠2等于(C)A.25° B.30° C.50° D.60°3.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为(B)A.1 B.2C.3 D.44.如图,面积为S的菱形ABCD中,点O为对角线的交点,点E是线段BC的中点,过点E作EF⊥BD于F,EG⊥AC于G,则四边形EFOG的面积为(B)A.14S B.1C.112S D.15.如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG=(C)A.2 B.2.5 C.3 D.3.56.如图,两条宽为1的带子以α角交叉重叠,则重叠部分(阴影部分)的面积为(B)A.sinα B.1C.1cosα D7.(2024·陕西)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF,求证:AF=DE.【证明】∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,∠B=∠C=90°.∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,AB=∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.8.(2024·福建)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且∠AEB=∠AFD.求证:BE=DF.【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中,∠∴△ABE≌△ADF(AAS),∴BE=DF.9.如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一动点,矩形的两条边AB,BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(A)A.4.8 B.5 C.6 D.7.210.(2024·无锡)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是CD的中点,则sin∠EBC的值为(C)A.35 B.75 C.211411.(2024·兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.(1)求证:四边形ADCE是矩形;(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.【解析】(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵CE∥AD,∴∠ECD=180°-∠ADC=90°.又∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°,∴四边形ADCE是矩形.(2)由(1)可知四边形ADCE是矩形,∴AE=DC,CE=AD=3,∠AEC=90°.∵D是BC的中点,BC=4,∴DC=AE=12BC=2在△ADC中,∠ADC=90°,∴AC=AD2+DC∵EF⊥AC,∴12EF·AC=12AE·CE,即12EF·13=12×2×3,∴12.(2024·安徽)如图1,▱ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC上,且AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点.(1)求证:OE=OF;(2)连接BM交AC于点H,连接HE,HF.(ⅰ)如图2,若HE∥AB,求证:HF∥AD;(ⅱ)如图3,若▱ABCD为菱形,且MD=2AM,∠EHF=60°,求ACBD的值【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,OA=OC,∴AM∥CN.∵AM=CN,∴四边形AMCN是平行四边形,∴AN∥CM,∴∠OAE=∠OCF.在△AOE与△COF中,∠OAE∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF.(2)(ⅰ)∵HE∥AB,∴OHOA=OE∵OB=OD,OE=OF,∴OHOA=OF∵∠HOF=∠AOD,∴△HOF∽△AOD,∴∠OHF=∠OAD,∴HF∥AD.(ⅱ)∵▱ABCD为菱形,∴AC⊥BD.∵OE=OF,∠EHF=60°,∴∠EHO=∠FHO=30°,∴OH=3OE.∵AM∥BC,MD=2AM,∴AHHC=AMBC=13,即HC=∴OA+OH=3(OA-OH),