第二十六讲　与圆有关的位置关系

第二十六讲与圆有关的位置关系1.(2024·广州)如图,☉O中,弦AB的长为43,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是(C)A.点P在☉O上 B.点P在☉O内C.点P在☉O外 D.无法确定2.(2024·福建)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为AB的中点,则∠ACM等于(A)A.18° B.30°C.36° D.72°3.如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为

1034.(2024·浙江)如图,AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,连接BC.已知∠ACB=50°,则∠B的度数为40°.

5.如图,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为

5.

6.如图,点A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在BDC⌒上已知∠A=50°,则∠D的度数是65°.

7.为了测量一个圆形光盘的半径,小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上,并量出AB=4cm,则这张光盘的半径是6.9cm.(精确到0.1cm.参考数据:3≈1.73)

8.如图,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,E为BD的中点,点C在BA的延长线上,且∠CDA=∠B.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若DE=2,∠BDE=30°,求CD的长.【解析】(1)连接OD,如图所示:∵AB是直径,∴∠BDA=90°,∴∠BDO+∠ADO=90°,又∵OB=OD,∠CDA=∠B,∴∠B=∠BDO=∠CDA,∴∠CDA+∠ADO=90°,∴OD⊥CD,且OD为☉O半径,∴CD是☉O的切线;(2)连接OE,如图所示:∵∠BDE=30°,∴∠BOE=2∠BDE=60°,又∵E为BD的中点,∴∠EOD=60°,∴△EOD为等边三角形,∴ED=EO=OD=2,又∵∠BOD=∠BOE+∠EOD=120°,∴∠DOC=180°-∠BOD=180°-120°=60°,在Rt△DOC中,∠DOC=60°,OD=2,∴tan∠DOC=tan60°=CDOD=CD2=3,∴CD=29.(2024·包头)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为105°.

10.(2024·泰安)如图,AB是☉O的直径,AH是☉O的切线,点C为☉O上任意一点,点D为AC的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F.若DF=1,tanB=12,则AE的长为

511.(2024·扬州)如图,已知两条平行线l1,l2,点A是l1上的定点,AB⊥l2于点B,点C,D分别是l1,l2上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时,sin∠BAH的值为

1312.(2024·武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点.(1)求证:AB与半圆O相切;(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.【解析】(1)连接OD,OA,作OH⊥AB于H,如图,∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO⊥BC,AO平分∠BAC.∵AC与☉O相切于点D,∴OD⊥AC.而OH⊥AB,∴OH=OD,∴AB是☉O的切线.(2)由(1)知OD⊥AC,在Rt△OCD中,CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD2+CD2=OC2,∴OD2+42=(OD+2)2,∴OD=3,∴OC=5,∴cosC=CDOC=4在Rt△OCA中,cosC=OCAC=4∴sin∠OAC=OCAC=413.如图,在☉O中,AB是一条不过圆心O的弦,点C,D是AB的三等分点,直径CE交AB于点F,连接AD交CF于点G,连接AC,过点C的切线交BA的延长线于点H.(1)求证:AD∥HC;(2)若OGGC=2,求tan∠FAG的值(3)连接BC交AD于点N,若☉O的半径为5.下面三个问题,依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平,选择其中一道问题进行解答.①若OF=52,求BC的长②若AH=10,求△ANB的周长;③若HF·AB=88,求△BHC的面积.【解析】(1)∵点C,D是AB的三等分点,∴AC=CD=DB.由CE是☉O的直径可得CE⊥AD,∵HC是☉O的切线,∴HC⊥CE,∴AD∥HC;(2)如图1,连接AO,∵BD=CD,∴∠BAD=∠CAD,∵CE⊥AD,∴∠AGC=∠AGF=90°,∴△CAG≌△FAG(ASA),∴CG=FG,设CG=a,则FG=a,∵OGCG∴OG=2a,AO=CO=3a.在Rt△AOG中,AO2=AG2+OG2,∴(3a)2=AG2+(2a)2,∴AG=5a,∴tan∠FAG=FGAG=5∴tan∠FAG的值为55(3)①∵OF=52,OC=OA∴CF=52∴CG=FG=54∴OG=154∴AG=OA2-∵CE⊥AD,∴AD=2AG=57∵AC=CD=DB,∴AD=CB,∴BC=AD=57∴BC的长为57②如图2,连接CD,∵AD∥HC,FG=CG,∴AH=AF,∵∠HCF=90°,∴AC=AH=AF=10,设CG=x,则FG=x,OG=5-x,由勾股定理得AG2=AO2-OG2=AC2-CG2,即25-(5-x)2=10-x2,解得x=1,∴AG=3,AD=6,∵CD=DB,∴∠DAC=∠BCD,∵∠CDN=∠ADC,∴△CDN∽△ADC,∴NDCD=CD∴ND=CD2AD=53,∵∠BAD=∠DAC,∠ABN=∠ADC,∴△ANB∽△ACD,∴C△ANB=C△ACD×ANAC=(6+210)×13310=13∴△ANB的周长为13105+③如图3,过点O作OM⊥AB于点M,则AM=MB=12AB设CG=x,则FG=x,OG=5-x,OF=5-2x,由勾股定理得AG2=AO2-OG2=25-(5-x)2,AF2=AG2+FG2=10x-x2+x2=10x,∵AD∥HC,FG=CG,∴AH=AF=12HF∴AG=12HC∴AF·AM=12HF·12AB=14HF·AB∵∠AGF=∠OMF=90°,∠AFG=∠OFM,∴△AFG∽△OFM,∴AFOF=FG∴AF·FM=OF·GF,∴AF·AM=AF·(AF+FM)=AF2+AF·FM=AF2+OF·GF=22,可得方程10x+x(5-2x)=22,解得x1=2,x2=5.