第八讲　一元二次方程

第八讲一元二次方程1.已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是2,则另一个根是(A)A.-7 B.7 C.3 D.-32.关于x的一元二次方程x2+2ax+a2-1=0的根的情况是(C)A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数a的取值有关3.用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是(C)A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=64.(2024·内江)某市2021年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x,则符合题意的方程是(B)A.0.64(1+x)=0.69B.0.64(1+x)2=0.69C.0.64(1+2x)=0.69D.0.64(1+2x)2=0.695.若关于x的方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值是(C)A.36 B.-36C.9 D.-96.若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则(A)A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6C.x1x2=76 D.x1x27.若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a=1.

8.若关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有实数根,则实数k的取值范围是k≤1.

9.解方程:(1)2x2-5x+3=0.(2)x2+2x-2=0.(3)3x2=4-2x.【解析】(1)2x2-5x+3=0,(2x-3)(x-1)=0,∴2x-3=0或x-1=0,解得x1=32,x2=1(2)原方程化为:x2+2x=2,x2+2x+1=3,(x+1)2=3,x+1=±3,x1=-1+3,x2=-1-3.(3)方程化为3x2+2x-4=0,b2-4ac=22-4×3×(-4)=52,x=-2±x1=-1+133,x210.(2024·青海)(1)解一元二次方程:x2-4x+3=0;(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.【解析】(1)x2-4x+3=0,(x-1)(x-3)=0,x=1或x=3;(2)当两条直角边分别为3和1时,根据勾股定理得,第三边的长为32+1当一条直角边为1,斜边为3时,根据勾股定理得,第三边的长为32-1答:第三边的长是10或22.11.若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是(D)A.a<1 B.a≤1C.a≤1且a≠0 D.a<1且a≠012.已知一元二次方程x2-3x+1=0的两根为x1,x2,则x12-5x1-2x2的值为A.-7 B.-3 C.2 D.513.如图,在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3600m2,则小路的宽是(A)A.5m B.70mC.5m或70m D.10m14.若实数a,b分别满足a2-4a+3=0,b2-4b+3=0,且a≠b,则1a+1b的值为

415.已知m,n是一元二次方程x2-3x-2=0的两个根,则1m+1n=-316.(2024·南充)已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围.(2)若k<5,且k,x1,x2都是整数,求k的值.【解析】(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,∴b2-4ac=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0,解得k>1.(2)∵1<k<5,∴整数k的值为2,3,4,当k=2时,方程为x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,当k=3或4时,此时方程解不为整数.综上所述,k的值为2.17.(2024·凉山州)阅读下面材料,并解决相关问题:如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点…,容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.(1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为,前15行的点数之和为,那么,前n行的点数之和为.

(2)体验:三角点阵中前n行的点数之和(填“能”或“不能”)为500.

(3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排?【解析】(1)由题知,三角点阵中前1行的点数之和为1;三角点阵中前2行的点数之和为1+2;三角点阵中前3行的点数之和为1+2+3;三角点阵中前4行的点数之和为1+2+3+4;…,所以三角点阵中前n行的点数之和为1+2+3+…+n=n(当n=8时,n(即三角点阵中前8行的点数之和为36.当n=15时,n(即三角点阵中前15行的点数之和为120.答案:36120n(2)不能.令n(n+1解得n=-1±因