新教材苏教版高中数学必修第一册7.3.2-三角函数的图像与性质-教学课件

第1课时正弦函数、余弦函数的图象第2课时正弦函数、余弦函数的性质P51

第3课时正切函数的图象与性质P90

7.3.2三角函数的图像与性质1.正弦曲线(1)正弦曲线正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫正弦曲线.(2)正弦函数图象的画法①几何法:(ⅰ)利用正弦线画出y=sinx,x∈[0,2π]的图象;(ⅱ)将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).②“五点法”:(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0),_________,(π,0),________,(2π,0),用光滑的曲线连接;(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).(3)本质:正弦曲线是正弦函数的图形表示,是正弦函数的一种直观表示.(4)应用:根据正弦曲线,能帮助学生更直观地认识正弦函数,进而根据正弦曲线推导正弦函数的一些常用性质.【思考】在作y=2+sinx的图象时,应抓住哪些关键点?提示:作正弦函数y=2+sinx,x∈[0,2π]的图象时,起关键作用的点有以下五个:(0,2),,(π,2),,(2π,2).2.余弦曲线(1)余弦曲线余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫余弦曲线.(2)余弦函数图象的画法①要得到y=cosx的图象,只需把y=sinx的图象向___平移个单位长度即可.②用“五点法”画余弦曲线y=cosx在[0,2π]上的图象时,所取的五个关键点分别为(0,1),,________,,________,再用光滑的曲线连接.左(π,-1)(2π,1)【思考】y=cosx(x∈R)的图象可由y=sinx(x∈R)的图象平移得到的原因是什么?提示:因为cosx=sin,所以y=sinx(x∈R)的图象向左平移

个单位长度可得y=cosx(x∈R)的图象.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点. (

)(2)余弦函数y=cosx的图象与y=sinx的图象形状和位置都不一样. (

)(3)函数y=sinx与y=sin(-x)的图象完全相同. (

)提示:(1)×.取的五个点的横坐标分别为0,,π,

,2π.(2)×.函数y=cosx的图象与y=sinx的图象形状一样,只是位置不同.(3)×.二者图象不同,关于x轴对称.2.以下对正弦函数y=sinx的图象描述不正确的是(

)A.在x∈[2kπ,2(k+1)π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同B.介于直线y=1与直线y=-1之间C.关于x轴对称D.与y轴仅有一个交点【解析】选C.画出y=sinx的图象(图略),根据图象可知A,B,D三项都正确.3.(教材二次开发:例题改编)函数y=-xcosx的部分图象是 (

)【解析】选D.因为y=-xcosx是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A,C项;当x∈时,y=-xcosx<0,所以排除B项.类型一正弦函数、余弦函数图象的初步认识(数学抽象)【题组训练】1.用“五点法”作y=sin2x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是(

)

A.0,,π,,2πB.0,,,,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,,,,

2.下列图象中,是y=-sinx在[0,2π]上的图象的是 (

)3.下列函数图象相同的是 (

)A.f(x)=sinx与g(x)=sin(π+x)B.f(x)=sin与g(x)=sinC.f(x)=sinx与g(x)=sin(-x)D.f(x)=sin(2π+x)与g(x)=sinx【解析】1.选B.分别令2x=0,,π,,2π,可得x=0,,,,π.2.选D.函数y=-sinx的图象与函数y=sinx的图象关于x轴对称.3.选D.A中g(x)=-sinx;B中f(x)=-cosx,g(x)=cosx;C中g(x)=-sinx;D中f(x)=sinx.【解题策略】利用正弦、余弦函数图象解题(1)熟练掌握正余弦函数的图象,必要时用“五点法”作出图象观察.(2)熟练应用诱导公式变形,通过函数解析式的关系确定图象关系.(3)掌握常见的图象变换,如-f(x),f(-x),f(|x|)等.【补偿训练】函数y=sin|x|的图象是 (

)【解析】选B.y=sin|x|=故选B.类型二用“五点法”作三角函数的图象(直观想象)【典例】用“五点法”作出下列函数的简图.(1)y=1-sinx(0≤x≤2π);(2)y=2+cosx,x∈[0,2π].【思路导引】求作三角函数的图象,需要先列表,再描点,最后用平滑曲线连线.【解析】(1)①列表:x0

π2πsinx010-101-sinx10121②描点连线,如图所示.(2)①列表:x0

π

2πcosx10-1012+cosx32123②描点连线,如图所示.【解题策略】“五点法”画函数y=Asinx+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤(1)列表:x0

π

2πsinx010-10yy1y2y3y4y5(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y1),,(π,y3),,(2π,y5).(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.【跟踪训练】请补充完整下面用“五点法”作出y=-sinx(0≤x≤2π)图象的列表.x0

①

2π-sinx②-10③0①________;②________;③________.

【解析】用“五点法”作y=-sinx(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0,0),,(π,0),,(2π,0),故①为π,②为0,③为1.答案:①π②0③1类型三正弦、余弦函数图象的应用(逻辑推理)

角度1零点个数问题

【典例】在同一坐标系中,作函数y=sinx和y=lgx的图象,根据图象判断出方程sinx=lgx的解的个数.【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sinx,x∈R的图象.描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象,如图所示.由图象可知方程sinx=lgx的解有3个.【变式探究】根据函数图象求方程根的个数问题,是常见的考查模式;将典例中问题改为:方程sinx=的根的个数是 (

)

A.7 B.8 C.9 D.10【解析】选A.在同一坐标系内画出y=和y=sinx的图象如图所示.根据图象可知方程有7个根.角度2利用正、余弦函数的图象解不等式

【典例】在[0,2π]内,不等式2sinx-1≥0的解集为 (

)【思路导引】在[0,2π]上,作出y=sinx的图象,再在这个平面直角坐标系中作出直线y=,观察图象,找到满足sinx≥的x的取值范围.【解析】选D.因为2sinx-1≥0,所以sinx≥.在同一坐标系下,作函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象以及直线y=.由函数的图象知,sin=sin

=.所以根据图象可知,sinx≥的解集为

【解题策略】用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出正弦函数在[0,2π]或的图象,余弦函数在[0,2π]或[-π,π]上的图象.(2)写出适合不等式在给定区间上的解集.【题组训练】1.方程x2-cosx=0的实数解的个数为 (

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.作函数y=cosx与y=x2的图象,如图所示,由图象可知,原方程有两个实数解.2.使不等式-2sinx≥0在[-π,π]上成立的x的取值范围是 (

)A.B.C.D.【解析】选C.不等式可化为sinx≤.作图,正弦曲线及直线y=如图所示.又x∈[-π,π],结合图象可知x的解集为3.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是________.

【解析】在同一坐标系中画出y=sinx,x∈(0,2π)与y=cosx,x∈(0,2π)的图象如图所示,由图象可观察出当x∈时,sinx>cosx.答案:

【补偿训练】y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=交点的个数是 (

)

A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.用“五点法”作出函数y=1+sinx,x∈[0,2π]的图象,作出直线y=的图象如图所示,由图可知,这两个函数的图象有2个交点.1.用“五点法”画函数y=2-3sinx的图象时,首先应描出五点的横坐标是 (

)

A.0,

,π B.0,,π,,2πC.0,π,2π,3π,4π D.0,

【解析】选B.所描出的五点的横坐标与函数y=sinx的五点的横坐标相同,即0,,π,,2π,故选B.2.函数y=cosx与函数y=-cosx的图象 (

)A.关于直线x=1对称 B.关于原点对称C.关于x轴对称 D.关于y轴对称【解析】选C.由解析式可知y=cosx的图象过点(a,b),则y=-cosx的图象必过点(a,-b),由此推断两个函数的图象关于x轴对称.3.(教材二次开发:练习改编)在同一平面直角坐标系内,函数y=sinx,x∈[0,2π]与y=sinx,x∈[2π,4π]的图象 (

)A.重合 B.形状相同,位置不同C.关于y轴对称 D.形状不同,位置不同【解析】选B.根据正弦曲线的作法可知函数y=sinx,x∈[0,2π]与y=sinx,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.4.如图是下列哪个函数的图象 (

)A.y=1+sinx,x∈[0,2π]B.y=1+2sinx,x∈[0,2π]C.y=1-sinx,x∈[0,2π]D.y=1-2sinx,x∈[0,2π]【解析】选C.把这一点代入选项检验,即可排除A、B、D.5.在[0,2π]内,不等式sinx<-的解集是 (

)A.(0,π) B.C. D.【解析】选C.画出y=sinx,x∈[0,2π]的图象如图:因为sin=,所以sin=-,sin=-.即在[0,2π]内,满足sinx=-的是x=或x=.可知不等式sinx<-的解集是第2课时正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质(1)图象与性质解析式y=sinxy=cosx图象

值域______________[-1,1][-1,1]解析式y=sinxy=cosx单调性在上单调递增,在上单调递减在_______________________上单调递增,在______________________上单调递减最值x=________________时,ymax=1;x=________________时,ymin=-1x=____________时,ymax=__;x=_______________时,ymin=___[-π+2kπ,2kπ],(k∈Z)[2kπ,π+2kπ],(k∈Z)2kπ,(k∈Z)1π+2kπ,(k∈Z)-1(2)本质:函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质.(3)应用:求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值.【思考】从图象的变化趋势来看,正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置?提示:正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)y=sinx在(0,π)上单调递增. (

)(2)存在x∈R满足sinx=. (

)(3)在区间[0,2π]上,函数y=cosx仅当x=0时取得最大值1. (

)提示:(1)×.y=sinx在上单调递增,在上单调递减.(2)×.正弦函数y=sinx的值域为[-1,1],所以sinx=无解.(3)×.当x=2π时,cosx=1也成立.2.(教材二次开发:例题改编)函数y=2-sinx取得最大值时,x的取值集合为________.

【解析】当sinx=-1时,ymax=2-(-1)=3,此时x=2kπ-,k∈Z.答案:

3.若cosx=m-1有意义,则m的取值范围是________.

【解析】因为-1≤cosx≤1,要使cosx=m-1有意义,则-1≤m-1≤1,所以0≤m≤2.答案:[0,2]类型一正弦函数、余弦函数的单调区间(数学运算)【题组训练】1.下列函数,在上单调递增的是 (

)

A.y=sinx B.y=cosxC.y=sin2x D.y=cos2x2.函数y=sin,x∈的单调递减区间为________.

3.求函数y=1+sin,x∈[-4π,4π]的单调递减区间.【解析】1.选D.对于A,B,C,在上显然都不是单调递增的,对于函数y=cos2x,令π+2kπ≤2x≤2π+2kπ(k∈Z),即+kπ≤x≤π+kπ(k∈Z),故y=cos2x的单调递增区间是(k∈Z),则当k=0时,单调递增区间为2.由+2kπ≤3x+≤+2kπ(k∈Z),得又x∈,所以函数y=sin,x∈的单调递减区间为.答案:

3.y=1+sin=-sin+1.由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z).解得4kπ-≤x≤4kπ+π(k∈Z).又因为x∈[-4π,4π],所以函数y=1+sin的单调递减区间为【解题策略】单调区间的求法求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的函数的单调区间,要先把ω化为正数,(1)当A>0时,把ωx+φ整体代入y=sinx或y=cosx的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递增区间.(2)当A<0时,把ωx+φ整体代入y=sinx或y=cosx的单调递增区间内,求得的x的范围即为函数的单调递减区间;代入y=sinx或y=cosx的单调递减区间内,可求得函数的单调递增区间.提醒:求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,把ωx+φ看作一个整体,借助y=sinx的单调区间来解决.当A<0或ω<0时,要注意原函数的单调性与y=sinx的单调性的关系.【补偿训练】1.函数y=cosx在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是________.

2.已知函数y=cos,则它的单调递减区间为________.

【解析】1.因为y=cosx在[-π,0]上是单调递增的,在[0,π]上单调递减,所以只有-π<a≤0时满足条件,故a∈(-π,0].答案:(-π,0]2.y=cos=cos,由2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+k∈Z,所以单调递减区间是答案:(k∈Z)类型二利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(直观想象)【典例】利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.(1)cos,cos.(2)cos1,sin1.(3)sin164°,cos110°.【思路导引】先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.【解析】(1)cos=cos,cos=cos,因为0<<<π,而y=cosx在[0,π]上单调递减,所以cos>cos,即cos>cos.(2)因为cos1=sin,而0<<1<且y=sinx在上单调递增,所以sin<sin1,即cos1<sin1.(3)sin164°=sin(180°-16°)=sin16°,cos110°=cos(90°+20°)=-sin20°.因为正弦函数在上单调递增,所以-sin20°<sin16°,即cos110°<sin164°.【解题策略】三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到或内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间时,先化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.

【跟踪训练】1.已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是(

)A.sinα<sinβ B.cosα<sinβC.cosα<cosβ D.cosα>cosβ【解析】选B.α,β为锐角三角形的两个内角,α+β>,α>-β,α∈,-β∈,所以cosα<cos=sinβ.2.将cos150°,sin470°,cos760°按从小到大排列为________.

【解析】cos150°<0,sin470°=sin110°=cos20°>0,cos760°=cos40°>0且cos20°>cos40°,所以cos150°<cos760°<sin470°.答案:cos150°<cos760°<sin470°类型三正弦函数、余弦函数的值域、最值问题

角度1正弦函数、余弦函数的值域问题

【典例】函数y=cos2x+2sinx-2,x∈R的值域为________.

【思路导引】先用平方关系转化,即cos2x=1-sin2x,再将sinx看作整体,转化为二次函数的值域问题.【解析】y=cos2x+2sinx-2=-sin2x+2sinx-1=-(sinx-1)2.因为-1≤sinx≤1,所以-4≤y≤0,所以函数y=cos2x+2sinx-2,x∈R的值域为[-4,0].答案:[-4,0]【变式探究】将典例中题目改为:求函数f(x)=sin2x+cosx-的最大值.【解析】因为f(x)=sin2x+cosx-,f(x)=1-cos2x+cosx-,令cosx=t且t∈[0,1],则y=-t2+t+=-+1,则当t=时,f(x)取最大值1.角度2正弦函数、余弦函数在固定区间上求值域问题

【典例】已知函数f(x)=asin+b(a>0).当x∈时,f(x)的最大值为,最小值是-2,求a和b的值.【思路导引】先由x∈,求2x-的取值范围,再求sin的取值范围,最后表示出f(x)min,f(x)max,列方程组求解.【解析】因为

因为a>0,所以f(x)max=a+b=,f(x)min=-a+b=-2.【解题策略】求y=sin(ωx+φ)型三角函数的值域的方法令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sint的最值(值域).【题组训练】1.函数f(x)=-2sinx+1,x∈的值域是 (

)A.[1,3] B.[-1,3]C.[-3,1] D.[-1,1]【解析】选B.因为x∈,所以sinx∈[-1,1],所以-2sinx+1∈[-1,3].2.函数y=3-4sinx-4cos2x的值域为________.

【解析】y=3-4sinx-4cos2x=3-4sinx-4(1-sin2x)=4sin2x-4sinx-1,令t=sinx,则-1≤t≤1.所以y=4t2-4t-1=4-2(-1≤t≤1).所以当t=时,ymin=-2,当t=-1时,ymax=7.即函数y=3-4sinx-4cos2x的值域为[-2,7].答案:[-2,7]3.若函数y=a-bcosx(b>0)的最大值为,最小值为-,则函数的解析式为y=________.

【解析】因为y=a-bcosx(b>0),所以ymax=a+b=,ymin=a-b=-.所以y=-cosx.答案:-cosx1.(教材二次开发:练习改编)函数y=sin2x的单调递减区间是 (

)A.B.C.[π+2kπ,3π+2kπ](k∈Z)D.【解析】选B.令+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,则y=sin2x的单调递减区间是

.2.y=2sin的值域是 (

)

A.[-2,2] B.[0,2]C.[-2,0] D.[-1,1]【解析】选A.因为sin∈[-1,1],所以y∈[-2,2].3.下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是 (

)A.y=|cosx| B.y=cos|-x|C.y=sin D.y=-sin【解析】选C.y=|cosx|在上单调递减,排除A;y=cos|-x|=cos|x|在(0,π)上单调递减.排除B;y=sin=-sin=-cosx是偶函数,且在(0,π)上单调递增,符合题意;y=-sin在(0,π)上是单调递减的,排除D.4.若y=asinx+b的最大值为3,最小值为1,则ab=________.

【解析】当a>0时,得当a<0时,得所以ab=±2.答案:±25.sin1,sin2,sin3按从小到大排列的顺序为________.

【解析】因为1<<2<3<π,sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3.y=sinx在上单调递增,且0<π-3<1<π-2<,所以sin(π-3)<sin1<sin(π-2),即sin3<sin1<sin2.答案:sin3<sin1<sin2第3课时正切函数的图象与性质正切函数的图象与性质(1)图象与性质解析式y=tanx图象

定义域

解析式y=tanx值域R周期π奇偶性___函数对称中心________,k∈Z单调性在每一个区间_____________________上都单调递增奇(2)本质:根据正切函数的解析式、图象,总结正切函数的性质.(3)应用:画正切函数的图象,解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.【思考】正切函数在整个定义域上都是增函数吗?提示:不是.正切函数在每一个区间

(k∈Z)上是单调递增的.但在整个定义域上不是增函数.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R. (

)(2)正切函数是中心对称图形,对称中心是原点. (

)(3)存在某个区间,使正切函数在该区间上是单调递减的. (

)提示:(1)×.正切函数的值域为R,而定义域是(2)×.正切函数的对称中心是(k∈Z).(3)×.正切函数在每一个区间(k∈Z)上都是单调递增的.2.(2020·扬州高一检测)若f(x)=tanωx(ω>0)的周期为1,则f的值为(

)

A.- B.- C. D.【解析】选D.因为f(x)=tanωx(ω>0)的周期为=1,所以ω=π,即f(x)=tanπx,则f=tan=.3.(教材二次开发:例题改编)函数y=tan的定义域为________.

【解析】因为2x-≠kπ+,k∈Z,所以x≠k∈Z,所以函数y=tan的定义域为答案:

类型一正切函数的定义域、周期性、奇偶性(数学抽象)【题组训练】1.函数y=tan的最小正周期是 (

)

A.4 B.4π C.2π D.22.函数f(x)=cos+tanx为 (

)A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数3.函数y=的定义域为________.

【解析】1.选D.T==2.2.选A.f(x)=cos+tanx=sinx+tanx,定义域为,关于原点对称,因为f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx=-f(x),所以它是奇函数.3.根据题意,得所以函数的定义域为答案:

【解题策略】1.判断函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tanx有意义即x≠+kπ,k∈Z.2.怎样求正切类函数的奇偶性判断正切类函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.【补偿训练】求函数y=+lg(1-tanx)的定义域.【解析】由题意得即-1≤tanx<1.在内,满足上述不等式的x的取值范围是,又y=tanx的周期为π,所以函数的定义域是(k∈Z).类型二正切函数的单调性及应用(数学运算)

角度1正切函数的单调区间

【典例】函数f(x)=tan的单调区间为________.

【思路导引】把看作一个整体,根据正切函数的单调性求出f(x)的单调区间.

【解析】由题意知,k∈Z,即k∈Z,所以故单调递增区间为(k∈Z).答案:(k∈Z)【变式探究】如果将本例中函数变为y=tan,求该函数的单调区间.【解析】y=由

得2kπ-<x<2kπ+π,k∈Z,所以函数y=tan的单调递减区间是,k∈Z.角度2利用正切函数比较大小

【典例】1.比较大小:①tan32°________tan215°;

②tan________tan.

2.tan1,tan2,tan3,tan4从小到大的排列顺序为________.

【思路导引】运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内;再运用单调性比较大小关系.【解析】1.①tan215°=tan(180°+35°)=tan35°,因为y=tanx在(0°,90°)上单调递增,32°<35°,所以tan32°<tan35°=tan215°.②

因为y=tanx在上单调递增,

答案:①<

②<2.因为y=tanx在区间上单调递增,且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,所以tan2<tan3<tan4<tan1.答案:tan2<tan3<tan4<tan1角度3求正切函数的值域、最值

【典例】1.函数y=的值域是 (

)A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-1,+∞)2.函数y=tan2x+4tanx-1的值域是________.

【思路导引】1.根据正切函数的图象与性质,求出y=的值域即可.2.换元,把函数变为二次函数,根据二次函数的性质求函数的值域;注意,换元时一定要求出新元的取值范围.【解析】1.选B.当-<x<0时,-1<tanx<0,所以<-1;当0<x<时,0<tanx<1,所以>1.即当x∈时,函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).2.令t=tanx,则t∈R,故y=t2+4t-1=(t+2)2-5≥-5,所求的值域为[-5,+∞).答案:[-5,+∞)【解题策略】1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0,由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+(k∈Z),求得x的范围即可.(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.2.比较正切值的大小第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区间上;第二步:运用正切函数的单调性比较大小.3.求与正切函数相关的值域的方法(1)对于y=tanx在不同区间上的值域,可以结合图象,利用单调性求值域.(2)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域.(3)对于与y=tanx相关的二次函数,可以把tanx看成整体,利用配方法求值域.【补偿训练】已知f(x)=tan2x-2tanx求f(x)的值域.【解析】令u=tanx,因为|x|≤,所以u∈所以函数化为y=u2-2u.对称轴为u=1∈所以当u=1时,ymin=12-2×1=-1.当u=-时,ymax=3+2.所以f(x)的值域为[-1,3+2].类型三正切函数图象、性质的综合应用(数学运算、逻辑推理)【典例】设函数f(x)=tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期、单调区间及对称中心;(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集;(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.【思路