分类41 动态问题(含解析)

41动态问题（含解析）

一、选择题

1.（2020•辽宁辽阳，T10,3分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=2五,

CD_LA8于点£）.点P从点A出发，沿AfOfC的路径运动，运动到点C停止，过点。

作PE1AC于点石，作伊■鉴于点厂.设点P运动的路程为x,四边形CEPF的面积为y,

则能反映y与x之间函数关系的图象是（）

【考点】E7：动点问题的函数图象

【专题】66：运算能力；532：函数及其图象；67：推理能力；535：二次函数图象及其性质;

25：动点型

【分析】根据RtAABC中，48=90。，AC=BC=2板,可得AB=4,根据C£）_LAB于

点。.可得">=%>=2,CD平分角AC8,点P从点A出发，沿AfOfC的路径运动,

运动到点C停止，分两种情况讨论：根据正_LAC,PhBC，可得四边形CEPb是矩形

和正方形，设点P运动的路程为X,四边形CEP/的面积为y,进而可得能反映y与x之间

函数关系式，从而可以得函数的图象.

【解答】解：在RtAABC中，Z4CB=90°,AC=BC=2近,

:.AB=4fZA=45°,

:.AD=BD=2,

PE±AC,PF工BC,

四边形C£P歹是矩形,

:.CE=PF,PE=CF,

点P运动的路程为x,

:.AP=x>

则4E=PE=xsin45o=立x,

2

:.CE=AC-AE=2>f2--xf

2

四边形CEP/的面积为y,

当点尸从点A出发，沿Af。路径运动时,

即0vxv2时，

y=FECE

=孝武2应一告x)

=--x2+2x

2

1,

=--(X-2)2+2,

.•.当0vx<2时，抛物线开口向下；

当点P沿。fC路径运动时，

即2,不<4时，

8是NAC6的平分线，

:.PE=PF,

二四边形CEP尸是正方形，

AD=2,PD=x-2,

:.CP=4—x，

y=l(4-x)2=^(x-4)2.

.•.当2,X<4时，抛物线开口向上,

综上所述：能反映y与X之间函数关系的图象是：A.

故选：A.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质.

2.（2020四川南充，T3,4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若48=2,当风车

转动90。，点B运动路径的长度为（）

C.3兀D.4兀

【考点】04：轨迹.

【专题】55C：与圆有关的计算；69：应用意识.

【分析】由题意可得点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的弧，利用弧长公式可求解.

【解答】解：由题意可得：点8运动路径的长度为='=兀,

180

故选：A.

【点评】本题考杳了轨迹，弧长公式，掌握弧长公式是本题的轨迹.

1.1.（3分）（2020•辽阳）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=2①,CDLAB

于点。.点尸从点A出发，沿AT。fC的路径运动，运动到点C停止，过点尸作比JLAC

于点E,作勿_15c于点尸.设点P运动的路程为x,四边形CEP/的面积为），，则能反

映），与x之间函数关系的图象是（）

【考点】E7：动点问题的函数图象

【专题】66：运算能力；532：函数及其图象；67：推理能力；535：二次函数图象及其性质;

25：动点型

【分析】根据KtAABC中，Z4c8=90。，AC=BC=2s/2,可得AB=4,根据CD_LA4于

点D.可得4)=%)=2,CO平分角AC8,点P从点A出发，沿AfOfC的路径运动,

运动到点。停止，分两种情况讨论：根据P£_LAC,PFLBC,可得四边形CEP厂是矩形

和正方形，设点P运动的路程为一四边形CE尸尸的面积为y,进而可得能反映)，与x之间

函数关系式，从而可以得函数的图象.

【解答】解：在RtAABC中，/48=90。，AC=BC=2>/2,

,\AB=4,ZA=45°.

8_148于点。，

:.AD=BD=2t

PEA.AC,PFIBC,

.•・四边形CEP/是矩形，

:.CE=PF,PE=CF,

点P运动的路程为x,

:.AP=x>

则AE=PE=xsin450=^-x,

2

:.CE=AC-AE=242--xf

2

四边形CEP/的面积为y,

当点尸从点A出发，沿AfO路径运动时，

即0vxv2时，

y=PECE

=孝》(2亚-孝*)

=--x2+2x

2

=-i(x-2)2+2,

.•.当0vxv2时，抛物线开口向下;

当点尸沿。fC路径运动时，

即2,x<4时，

8是NAC5的平分线，

:.PE-PF,

二四边形CEP厂是正方形，

AD=2,PD=x-2,

:.CP=4-x，

y=l（4-x）2=^（x-4）2.

.•.当2,x<4时，抛物线开口向上,

综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A.

故选：A.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质.

1.（2020甘肃金昌.T10.3分）如图①,正方形AAO中,AC,RD相交于点。.E是O/）

的中点.动点尸从点E出发，沿着EfOfAfA的路径以每秒1个单位长度的速度运动

到点A,在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则的长

为（）

图①।图②

A.4x/2B.4C.3GD.2应

【考点】E7：动点问题的函数图象

【专题】25：动点型；556：矩形菱形正方形；69：应用意识

【分析】连接AE,由题意OE=OE,设DE=OE=x,贝iJO4=OD=2x,AE=2y/5,在

RtAAEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：如图，连接AE.

图①

四边形ABC。是正方形，

/.AC1BD.OA=OC=OD=OB,

由题意DE=OE,设DE=OE=x,则6H=8=2x,

AE=2xf5,

/.X2+(2X)2=(2>/5)2,

解得x=2或-2(不合题意舍弃),

,-,OA=OD=4,

AB=AD=4>/2,

故选：A.

【点评】本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意

读懂图象信息，属于中考常考题型.

2.1.（2020•甘肃武威，T10,3分）如图①，正方形中，AC,皮）相交于点O,E

是。”的中点.动点尸从点E出发，沿着EfOfAfA的路径以每秒1个单位长度的速

度运动到点A,在此过程中线段AP的长度>>随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB

的长为（）

A.4及B.4C.3GD.2>/2

【考点】E7：动点问题的函数图象

【专题】25：动点型；556：矩形菱形正方形；69：应用意识

t分析】连接AE，由题意设D七=OH=x,贝iJOA=O/J=2x,AE=2^,在

RtAAEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

四边形A8C。是正方形，

:.ACrBD,OA=OC=OD=OB,

由题意DE=OE,设DE=OE=x,^]OA=OD=2x,

4E=2逐，

/.x2+（2x）2=（2石）2,

解得x=2或-2（不合题意舍弃），

.\OA=OD=4,

AB=AD=4yf2,

故选：A.

【点评】本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意

读懂图象信息，属于中考常考题型

3.1.（2020台州T9,4分）如图1,小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡

向上滚，在这个过程中，小球的运动速度】，（单位：m/s）与运动时间，（单位：s）的函数

图象如图2,则该小球的运动路程y（单位：m）与运动时间/（单位：s）之间的函数图象大

O

图1图2

y\

B.

c.D.

【考点】£7：动点问题的函数图象

【专题】535：二次函数图象及其性质；69：应用意识

【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程），是/的二次函数，图象是先缓

后陡，由此即可判断.

【解答】解：小球从左侧的斜坡淡下是匀变速运动，运动的路程），是f的二次函数，图象是

先缓后陡,

在右侧上升时，情形与左侧相反,

故选：C.

【点评】本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

1.12.（3分）（2020•雅安）已知，等边三角形ABC和正方形OEFG的边长相等，按如图所

示的位置摆放（。点与E点重合），点8、C、尸共线，AA8c沿M方向匀速运动，直到5

点与尸点重合.设运动时间为/,运动过程中两图形重叠部分的面积为S,则下面能大致反

映s与f之间关系的函数图象是（）

s.s.

c.qtD.

【考点】E7：动点问题的函数图象

【专题】65：数据分析观念；25：动点型

【分析】分点。在防中点的左侧、点C在所中点的右侧两种情况，分别求出函数的表达

式即可求解.

【解答】解：设等边三角形ABC和正方形。瓦G的边长都为a,

当点C在所的中点左侧时，

设AC交DE于点〃，

则CX=7,HE=ETtanACB=ixg=5,

则5=5“^=；xCExHE=gxtx®=,,图象为开口向上的二次函数；

当点C在即的中点右侧时，

同理可得：S泻/_与9*=+2ai）,图象为开口向下的二次函数；

故选：A.

【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的

对应关系，进而求解.

4.1.（2020安徽，T10,4分）如图，AABC和AM厂都是边长为2的等边三角形，它们

的边8C,即在同一条直线/上，点C,E重合.现将AABC在直线/向右移动，直至点8

与尸重合时停止移动.在此过程中，设点C移动的距离为x,两个三角形重叠部分的面积

为y,则y随］变化的函数图象大致为（）

AD

B

【专题】68：模型思想；536：二次函数的应用；535：二次函数图象及其性质

【分析】分为0<&2、2<工,4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式

可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案.

【解答】解：如图1所示：当0<&2时，过点G作G〃_L8产于”.

MBC和NDEF均为等边三角形,

」.△G0为等边三角形.

「口£匚1V5

..GH=—EJ=­x,

22

:.y=-EJGH=—x2.

24

当x=2时，y=&,且抛物线的开口向上.

如图2所示：2<工,4时，过点G作G"_LB产于H.

A

y=LFJGH=^,函数图象为抛物线的•.部分’且抛物线开口向上.

故选：A.

【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键.

2.（2020甘肃武威、定西，T10,3分）如图①，正方形ABC。中，AC,8。相交于点O,

E是8的中点.动点P从点石出发，沿着8-A的路径以每秒1个单位长度的

速度运动到点A,在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则

AB的长为（）

【考点】£7：动点问题的函数图象

【专题】25：动点型；556：矩形菱形正方形：69：应用意识

【分析】连接AE,由题意£>E=OE,设。石=。石=工，则Q4=QD=2x,AE=2后,在

RtAAEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：如图，连接AE.

图①

四边形A3C。是正方形，

..AC±BD,OA-OC-OD-OB,

由题意DE=OE,设DE=OE=x,则Q4=Q£）=2x,

AE=2亚,

x1+（2x）2=（2石＞,

解得x=2或-2（不合题意舍弃），

,.OA=OD=4f

..AB=AD=4yf2,

故选：A.

【点评】本题考查动点问题，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意

读懂图象信息，属于中考常考题型.

7.1.（2020江苏常州，T7,2分）如图，是O的弦，点C是优瓠上的动点（C不

与A、B重合）,CHLAB,垂足为H,点M是3c的中点.若。的半径是3,则长

的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线

【专题】554：等腰三角形与直角三角形；67：推理能力

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得M4的最大

值是3.

【解答】解：CHJ.AB,垂足为〃，

/.ZCHB=9QP,

点M是的中点.

2

BC的最大值是直径的长，O的半径是3,

•.M”的最大值为3,

故选：A.

【点评】本题考查了直角三角形斜边直线的性质，明确8C的最大值为。的直径的长是解

题的关键.

1.（2020辽阳，T10,3分）如图，在RtAABC中，N4C8=90°,AC=BC=242，CDLAB

于点。.点P从点A出发，沿的路径运动，运动到点C停止，过点尸作PE1AC

于点E,作P/_L5C于点尸.设点P运动的路程为x,四边形CEP尸的面积为），，则能反

映y与x之间函数关系的图象是（）

【考点】E7：动点问题的函数图象

【专题】66：运算能力；532：函数及其图象：67：推理能力；535：二次函数图象及其性质；

25：动点型

【分析】根据RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=2五,可得AB=4,根据CD_LA8于

点、D.可得AD=8Z）=2,CD平分角ACB,点尸从点A出发，沿Af0fC的路径运动,

运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE_LAC,PF±BC,可得四边形CEP尸是矩形

和正方形，设点尸运动的路程为x,四边形CEPF的面积为y,进而可得能反映y与x之间

函数关系式，从而可以得函数的图象.

【解答】解：在RtAABC中，Z4CB=90°,AC=BC=2丘,

:.AB=4,ZA=45。，

8_14?于点。，

..AD=BD=2,

PEA.AC,PF工BC,

.•・四边形。与平'是矩形，

:.CE=PF,PE=CF,

点尸运动的路程为x,

:.AP=x，

则AE=PE=xsin45°=—x,

2

:.CE=AC-AE=2yf2-—x

2t

四边形C£Pb的面积为)，，

.••当点尸从点A出发，沿Af。路径运动时,

即0vxv2时，

y=PECE

=冬(2&-冬)

=~(X-2)2+2,

.•.当Uvxv2时，抛物线开口向下;

当点P沿。1C路径运动时，

即2,不＜4时，

8是NACB的平分线，

:.PE=PF,

二.四边形CEP/是正方形，

AD=2,PD=x-2,

:.CP=4-x，

y=l(4-x)2=g(x—4)2.

.•.当2,x<4时，抛物线开口向上，

综上所述：能反映y与r之间函数关系的图象是：A.

故选：A.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质.

二、填空题

1.（2020•内蒙古通辽，T17,3分）如图①，在AABC中，AB=ACfZE4C=120°,点

E是边相的中点，点户是边8C上一动点，设PC=x,PA+PE=y.图②是），关于x的函

数图象，其中〃是图象上的最低点.那么“+力的值为_3+26_.

【考点】E7：动点问题的函数图象

【专题】25：动点型；152：几何综合题；65：数据分析观念

【分析】点A关于5c的对称点为点4,连接AE交8。于点尸，此时），最小，进而求解.

【解答】解：如图，将AABC沿8c折叠得到△A8C,则四边形WC为菱形，菱形的对

角线交于点O，

设菱形的边长为2帆，在A4BC中，BC=2BO=2xACsinAOAC=4mxsin60°=2>/3m,

从图②看，BC=3J5=2\/3m>解得：wz=—；

2

点A关于BC的对称点为点W,连接AE交BC于点尸，此时y最小，

AB=AC,ZR4C=120°,

则NW600,故A4'8为等边三角形，

E是AB的中点，故AEJLAB,

而AB〃AC,故4列C为直角，

AC2m4>/3

则a=PC=------=----m，

cosZ.BCA!cos3003

此时b=AA!=2m,

4n

贝!Ja+力=2m+---m=3+.

3

故答案为3+2X/5.

【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形.解

题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整

运动过程.

2.（2020四川凉山州，T24,5分）如图，矩形ABC。中，AD=\2,45=8,E是A8上

一点，且仍=3,F是BC上一动点,若将AE8产沿砂对折后，点3落在点尸处，则点P

到点。的最短距离为」

【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）

【专题】69：应用意识；556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称

【分析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、。共线时，OP最小，即最短距离是此

时PD的长.

【解答】解：如图，连接叨，DE,

四边形A8CD是矩形,

/.ZA=90°,

AB=8，BE=3，

:.AE=5，

4)=12,

:.DE=^52+\22=13,

由折叠得：EB=EP=3,

EP+DP..ED,

.•.当E、P、。共线时，DP最小，

:.DP=DE-EP=\3-3=\0；

故答案为：10.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，利用数形结合的思想，根据

图形确定点P到点D的最短距离解决问题.

3.（2020广东佛山，河源，惠州，江门，T17,4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在

下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、

梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，NABC=90。，点M,N分

别在射线BA,BC上，MN长度始终保持不变，MN=4,E为MN的中点，点。到B4,

BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为_2逐-2.

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；M8：点与圆的位置关系.

【专题】25：动点型；552：三角形；69：应用意识.

【分析】如图，连接BE,BD.求出BE,BD,根据80-求解即可.

【解答】解：如图，连接BE,BD.

由题意BD=V22+42=2逐，

•.•/MBN=90°,MN=4,EM=NE,

1

:・BE=-MN=2,

2

・••点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆,

・•・当点E落在线段8D上时，DE的值最小,

.•・。£的最小值为26-2.

故答案为2逐-2.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

4.（2020•绵阳，T17,4分）如图，四边形A48中，ABHCD,N4BC=60。，

AD=8C=C£）=4,点M是四边形48a＞内的一个动点，满足NAW=90°,则点M到直

【考点】KQ：勾股定理；K6：三角形三边关系；J4：垂线段最短

【专题】69：应用意识；55E：解直角三角形及其应用

【分析】取4）的中点O,连接OM,过点M作ME_L8C交3C的延长线于E,点点O作

OhBC于F,交CD于G,则。M+求出OM,O尸即可解决问题.

【解答】解：取4）的中点O,连接OM,过点M作腔_L5c交3c的延长线于E,点点O

作。尸于尸，交CD于G,则OM+ME.a\

Z/VWD=90°,AD=4,OA=OD,

:.OM=-AD=2,

2

AB//CD,

.•.NGCF=N8=60。，

.-.Z£>GO=ZCGE=30o,

AD=BC,

/.ZZMB=ZB=60°,

..ZADC-XBCD-120°，

/./DOG=30°=NDGO，

..DG=DO=2,

CD=4,

..CG=2,

:.OG=2yf3,GF=g,OF=3百,

:.ME..OF-OM=3&2,

.•.当O,M,E共线时，ME的值最小，最小值为3百-2.

【点评】本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的

关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

1..（2020•广东中山・T17・4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯

住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理

想化为同一平面内的线或点，模型如图，NA8C=90°,点M,N分别在射线84,BC

上，MN长度始终保持不变，MN=4,E为MN的中点，点力到BA,BC的距离分别为4

和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离。E的最小值为,逐二2.

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；M8：点与圆的位置关系.

【专题】25：动点型；552：三角形；69：应用意识.

【分析】如图，连接BE,BD.求出BE,BD,根据。E25O・3E求解即可.

【解答】解：如图，连接BEBD.

B

由题意BD=V22+42=275,

VZMBN=90°,MN=4,EM=NE,

：.BE=-MN=2,

2

・••点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆,

，当点E落在线段8。上时，£>E的值最小，

・•・£>七的戢小值为2逐-2.

故答案为26-2.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

5.（2020•广东汕头，T17,4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯

住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理

想化为同一平面内的线或点，模型如图，NA8C=90°,点用，N分别在射线84,BC

上，MN长度始终保持不变，MN=4,七为MN的中点，点。到阴，8c的距离分别为4

和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_2百-2_.

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；M8：点与圆的位置关系.

【专题】25：动点型；552：三角形；69：应用意识.

【分析】如图，连接BE,BD.求出BE,BD,根据-BE求解即可.

【解答】解：如图，连接BE,BD.

由题意BD=V22+42=2后，

•:NMBN=90°,MN=4,EM=NE,

:・BE=LMN=2,

2

，点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，

・•・当点E落在线段B。上时，£>£的值最小，

・•・£>七的最小值为-2.

故答案为2石-2.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

1.1.（3分）（2020•通辽）如图①，在AA3C中，AB=AC,NBAC=120。，点E是边AB

的中点，点P是边8c上一动点，设PC=x,PA+PE=y.图②是y关于4的函数图象，

其中”是图象上的最低点.那么a+b的值为_3+26_.

①②

【考点】£7：动点问题的函数图象

【专题】25：动点型；152：几何综合题；65：数据分析观念

【分析】点A关于的对称点为点4,连接AE交于点尸，此时），最小，进而求解.

【解答】解：如图，将AA4C沿3c折叠得到△A3C,则四边形A8YC为菱形，菱形的对

角线交于点O，

设菱形的边长为26，在A4BC中，BC=2BO=2xACsinZOAC=4mxsin60°=2y/3m,

从图②看，BC=35/3=2\/3rn,解得：tn=—；

2

点A关于BC的对称点为点4,连接AE交BC于点尸，此时y最小，

AB=AC,ZR4C=120°,

则NaW=60°,故A/T8为等边三角形，

E是回的中点，故

而AB//AC,故4VVC为直角，

l”A:CIm4g

WmiOa-PC=---------=------=----tn,

cosZBCA*cos3003

此时力=A4'=2w,

则a+b=2m+'也一=3+2G.

3

故答案为3+2石.

【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形.解

题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整

运动过程.

2.2.（2020湖南长沙，T16,3分）如图，点尸在以MN为直径的半圆上运动（点P不与

M,N重合），尸QLMN,NE平分乙MNP,交,尸M于点七,交尸Q于点

PFPE

(1)

~PQ~PM

(2)若PM=PM・MN,嚅一理

【考点】M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质.

【专•题】559：圆的有关概念及性质；55D：图形的相似；66：运算能力；67：推理能力.

【分析】(1)证明得第0—①，证明△NPQS^PM。，得景奠一

ppOF

②，再①x②得——二乂一，再变形比例式便可求得结果;

PMPQ

(2)证明△NPQSZ^VMP,得PN?=NQ・MN,结合已知条件得PM=NQ,再根据三角函

数得黑=需进而得MQ与世的方程，再解一元二次方程得答案.

【解答】解：（1）;MN为。0的直径,

JNMPN=90。，

•••PQ_LMN,

NPQN=NMPN=90°,

VNE平分ZPNM,

：.NMNE=NPNE,

:•工PENs^QFN,

PEPNPEQF

—=——，即nn——=—①,

QFQNPNQN

,：NPNQ+NNPQ=NPNQ+NPMQ=90。,

：.4NPQ=NPMQ,

*：NPQN=NPQM=90°,

:.△NPQs△产MQ,

・喘嗡②，

•••①、②得器啜，

•;QF=PQ-PF,

.PEQF_PF

''~PM~~PQ~~PQ

PFPE

••----1--------=19

PQPM

故答案为：1;

(2)•:NPNQ=/MNP,NNQP=NNPQ,

:.XNPQS4NMP、

.PNQN

••而一丽’

:・Pffi=QN・MN,

■:Pffi=PM・MN,

:・PM=QN,

.MQMQ

9~NQ~~PM

MQPM

VtanZA/=—

PM~~MN

.MQPM

•而一而

.MQ二NQ

'7/Q~MQ+NQ

MQ?MQ

:・NU=MgMQ・NQ,BPIN。十而，

MQ^=x,f+x-i=o,

NQ

解得，x=——->或x=--<0(舍去)，

22

.MQ__>/5-l

••------X，

NQ2

山田》“，5―1

故答案为：—-—.

2

【点评】本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，关键

是灵活地变换比例式.

3.(2020江苏淮安，T16,3分)如图，等腰AABC的两个顶点A(-l,Y)、5(-4,T)在反比

例函数y=2(xv0)的图象上，AC=BC.过点C作边的垂线交反比例函数y=&(xv0)

xx

的图象于点O,动点P从点。出发，沿射线8方向运动3夜个单位长度，到达反比例函

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KH：等腰三角形的性质

【专题】69：应用意识；554：等腰三角形与直角三角形；533：一次函数及其应用；534：

反比例函数及其应用；66：运算能力

【分析】用待定系数求得反比例函数y=再与直线y=x联立方程组求得。点坐标，再

X

题意求得运动后P点的坐标，最后将求得的P点坐标代入y=$(x>0)求得结果.

x

【解答】解：把A(T,Y)代入)，=/中得，…，

X

反比例函数y=&为)，=±

xx

A(T-4)、B(-4-1),

二.AB的垂直平分线为、=”，

AC=BC,CDLAB,

8是A3的垂直平分线，

8与反比例函数)，=&(x<0)的图象于点。，

x

D(-2-2),

动点尸从点O出发，沿射线CO方向运动3夜个单位长度，到达反比例函数y=%(x>0)

x

图象上一点,

/.设移动后的点P的坐标为(m,/»)(/«>-2),则

(x+2)2+(X+2)2=(3>/2)2,

・，.X=1,

把P（l,l）代入尸与（彳＞0）中，得刈=1,

x

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，等腰三角形的性质，求反比例函数图象

与一次函数图象的交点坐标，待定系数法，关键是确定直线8的解析式.

1.（2020黑龙江鹤岗，T28,10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形A8CD的边/W长是

/-3%-18=0的根，连接3£）,ZDBC=30°,并过点。作CN_L3£）,垂足为N,动点。从

B点以每秒2个单位长度的速度沿3。方向匀速运动到。点为止；点M沿线段D4以每杪

行个单位长度的速度由点。向点A匀速运动，到点4为止，点尸与点M同时出发，设运

动时间为/秒（f＞0）.

（1）线段CV=_3G_；

（2）连接PM和MN,求APAW的面积s与运动时间/的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当APMV是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

【考点】LO：四边形综合题

【专题】523：一元二次方程及应用；556：矩形菱形正方形；554：等腰三角形与直角三

角形；67：推理能力

【分析】（1）解方程求出AS的长，由直角三角形的性质可求比＞，8C的长，CN的长；

（2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；

（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解.

【解答】解：(1)48长是％2_3工_18=0的根,

..AB-6，

四边形A5CO是矩形，

:.AD=BC，AB=CD=6,48=90°,

ZDBC=30°，

:.BD=2CD=12,BC=»CD=6E,

ZDBC=30°,CN工BD,

:.CN=>BC=*,

2

故答案为：3百.

:.ZADB=ZDBC=30°,

:.MH=-MD=—t,

22

NDBC=30°,CNA.BD,

.•.8N=&N=9,

当0<f<2时，=-x(9-2z)x—/=--r2

22224

当［=2时，点?与点N重合，5=o,

2

当2<1,,6时，APMV的面积S=1x(2z—9)x立£=立/一也/：

22224

(3)如图，过点尸作庄_L8C于E,

y

当PN=PM=9—2z时,

PM2=MH2+PH2,

/.(9-2/)2=(争>+(12-2r-1r)2,

…7

t=3i=一,

3

,14

「.8P=6或一，

3

当8尸=6时，

NDBC=30°,PE±BC,

:.PE=LBP=3,BE=gPE=34i,

2

:.点P(3百,3),

14

当8P=*时，

3

同理可求点P(苧，()，

当尸N=M/=9-2r时，

NM?=MH?+NH?,

.-.(9-2/)2=(-y/)2+(|r-3)2,

.•/=3或24(不合题意舍去)，

:.BP=6,

点尸（3石，3）,

综上所述：点尸坐标为（36,3）或（苧，1）.

【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面积公

式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

1.（2020浙江嘉兴，T16,4分）如图，有一张矩形纸条ABC。，AB=5cm,BC=2cm,

点M,N分别在边4笈，8上，CN-\cm.现将四边形3cM（沿MN折叠，使点B,C

分别落在点B',C'上.当点3'恰好落在边CD上时，线段8M的长为_行_酒；在点M

从点A运动到点4的过程中，若边M夕与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为

【考点】04：轨迹；LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）

【专题】558：平移、旋转与对称；55E：解直角三角形及其应用；69：应用意识

【分析】第一个问题证明助Vf=M£=MT,求出M5即可解决问题.第二个问题，探究点E

的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可.

图1

四边形A8C。是矩形，

..AB//CD,

N1=N3,

由翻折的性质可知：Z1=Z2,BM=MB,

「.N2=Z3,

:.MB=NB,

NB'=ylB'C1+NC,2=V22+12=6(cm),

/.BM=NB'=#（cm）.

如图2中，当点M与A重合时，AE=EN,设AE=EN=xcm,

在RtAADE中，则有炉=22+（4-幻2,解得工二2,

2

53

/.DE=4--=—（cm）,

如图3中，当点M运动到时，的值最大，OE=5-1-2=2（丽），

如图4中，当点”运动到点"落在CD时，。用（即。£，）=5-1-6=（4-石）（刖），

点E的运动轨迹ETETE',运动路径

=巫*+£^=2一,+2一（4一6）=（逐一；）（加）.

图4

故答案为石，（石-|）.

【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

4.（2020江苏淮安，T27,14分）如图①，二次函数），=-/+加+4的图象与直线/交于

A（-1,2）、8（3,〃）两点.点P是x轴上的一个动点，过点P作工轴的垂线交直线1于点M,

交该二次函数的图象于点N,设点尸的横坐标为机.

（1）b=1，n=；

（2）若点N在点M的上方,且MN=3,求m的值；

（3）将直线向上平移4个单位长度，分别与x轴、），轴交于点C、D（如图②）.

①记AA6C的面积为S,AAAC的面积为S2,是否存在使得点N在直线AC的上方，

且满足S-S2=6?若存在，求出m及相应的航，邑的值；若不存在，请说明理由.

②当相＞-1时，将线段M4绕点M顺时针旋转90。得到线段连接尸5、FC、OA.若

/FBA+ZAOD-/BFC=45。，直接写出直线"与该二次函数图象交点的横坐标.

【考点】HF：二次函数综合题

【专题】66：运算能力；15:综合题

【分析】（1）将点A坐标代入二次函数解析式中，求出b,进而得出二次函数解析式，再将

点B坐标代入二次函数中，即可求出〃的值；

（2）先表示出点N的坐标，进而用MN=3建立方程求解，即可得出结论；

（3）①先求出点C坐标，进而求出直线AC的解析式，再求出直线BC的解析式，进而表

示出S1,S2,最后用$-02=6建立方程求出的值；

②先判断出CF//O4,进而求出直线C尸的解析式，再利用三垂线构造出AAQMMAM",

得出产S=MQ,进而建立方程求出点尸的坐标，即可求出直线。户的解析式，最后联立二

次函数解析式，解方程组即可得出结论.

【解答】解：（1）将点4—1,2）代入二次函数），=-/+加+4中，得一1一人+4=2,

「2=1,

.•・二次函数的解析式为y=-/+/+4,

将点8(3,〃)代入二次函数y=-f+x+4中，得〃=一9+3+4=—2,

故答案为：1,—2；

(2)设直线AB的解析式为)，="+〃，由(1)知，点8(3,—2),

A(-L2),

(-k+a=2

-[3k+a=-2，

k=-\

9

a=1

二直线AB的解析式为y=-x+\,

由(1)知，二次函数的解析式为丁=-丁+%+4,

点P(m,O),

2

M(m、-m+1),N(my-m+/n+4),

点N在点M的上方，且MN=3,

-rtf+/n+4-(-tn+1)=3,

..祖=0或，"=2；

(3)①如图1,山(2)知，直线的解析式为y=-x+l,

直线8的解析式为y=-x+l+4=-x+5»

令y=0,则T+5=0,

x=5»

.-.C(5,0),

A(-l,2),8(3,-2),

••・直线AC的解析式为y=+：,直线BC的解析式为y=x-5,

过点N作)，轴的平行线交AC于K,交BC于H,点P(〃?,0),

二.Nm+4),K(m,--m+—),H(m,/n-5),

/.NK=―府+m+4d—tn—=H—wn—，NH=一任+9，

3333

2

S2=S^AC=；NKx@c-xA)=^(-nr+^m+^)x6=-3/w+4m+7,

12

S=Sw蛇=-NHx(xc-xB)=-m'+9,

S1-S2=6»

-nr+9-(-3/«2+46+7)=6,

:.m=T+6(由于点N在直线AC上方，所以，舍去)或6=1->/5：

2

S2=-3m+4w+7=-3(1-西+4(1-退)+7=26一1,

S,=-m2+9=-(l-\/3)24-9=273+5