高等数学Achap11对弧长的曲线积分教学教案

1arclength第一节对弧长的曲线积分第十一章曲线积分与曲面积分实例匀质之质量分割求和取极限取近似曲线形构件的质量近似值精确值一、问题的提出2二、对弧长的曲线积分的概念1.定义设L为xOy面内一条光滑曲线弧,在L上有界.作乘积并作和在L上任意插入一点列把L分成n个小段.设第i个小段的第i个小段上任意取定的①②③长度为一点,121,,,-nMMML如果当各小弧段的长度的最大值④这和的极限存在,则称此极限为在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.3曲线形构件的质量即

积分和式被积函数

弧元素积分弧段记作2.存在条件对弧长的曲线积分连续,3.推广对弧长的曲线积分为5

在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x的奇函数

是L上关于x的偶函数

L1是曲线L落在y轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的L关于y轴对称,补充对称性质曲线L上连续,则当(或y)(或y)当(或x轴)(或x)6例其中L是圆周解因积分曲线L关于被积函数x是L上被积函数因积分曲线L关于对称性,计算得是L上y轴对称,关于x的奇函数x轴对称,关于y的奇函数7三、对弧长曲线积分的计算定理其中则有定义且连续,具有一阶连续导数,解法化为参变量的定积分计算tttd)()(22yj¢+¢8注意对弧长的曲线积分要求定积分的下限一定要小于上限!特殊情形(1)(2)tttd)()(22yj¢+¢9(3)推广或此时需把它化为参数方程再按上述方法计算.?为参数),是两个曲面的交线如果积分路径L10例解对x积分?例解11练习在第一象限中所围图形的边界.⌒提示解⌒⌒故12几何意义四、几何意义与物理意义弧长解设下半圆周的参数方程则13例解由于有的方程中的x,y,z的地位完全对称,

对弧长曲线积分的概念

对弧长曲线积分的计算公式五、小结(四步:分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)14curvilinearintegral第二节对坐标的曲线积分变力沿曲线所作的功常力沿直线所作的功分割实例？一、问题的提出15求和取极限取近似取即16二、对坐标的曲线积分的概念1.定义

设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑

用L上的点:把L分成n个有向小弧段曲线弧,在L上有界.上任意取定的点.L),,(222yxM17如果当各小段长度的最大值的极限总存在,

记作则称此极限为函数在有向曲线弧L上或称第二类曲线积分.对坐标x的曲线积分,即积分弧段被积函数18类似地定义称在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.2.存在条件在光滑曲线弧L上3.组合形式“点积”形式第二类曲线积分存在.连续,其中4.物理意义⌒⌒195.推广空间有向曲线弧Γ,类似的也有简写形式或者向量形式其中206.性质LL1L2(2)则(1)线性性质(3)有向曲线弧,则21

对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.所以对坐标的曲线积分应该特别注意积分弧段的方向！！对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算思想是因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算.上限是终点的坐标.22定理连续,且23(1)对坐标的曲线积分的计算同样是转化为定积分。(2)转化为定积分只要做两个工作：

代换(将函数中的x,y

代换为曲线的参数方程)；定限(确定积分的上下限，与第一类曲线积分不同)。

(3)由于第二类曲线积分与方向有关，所以转化为定积分必须是下限对应于弧线的起点，上限对应于终点，上限未必大于下限。(4)本公式也表示：可见：24特殊情形(1)则(2)则25(3)推广26例解⌒⌒(1)(2)27

其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为解化成参数式方程为于是例A点对应B点对应ò+++++=10d3)31(d2)21(d)1(tttttt28

其中Γ是由点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段.练习29例(1)L是上半圆周反时针方向;解A点对应(2)L是x轴上由点到点的线段.

(1)中L的参数方程为B点对应其中原式=)sin(d)cossin(tatata-+(2)L的方程为原式=30

其中L为例(1)抛物线y=x2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(2)抛物线x=y2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(3)(0,0)到(1,0)再到(1,1)的折线解所以y=x2

x=x

x

从0到1(1)积分弧段为可见，同一曲线积分，虽然路径不同，但结果也可能相同，即此时积分结果和路径无关同样可计算(2)(3)，并且注意到积分结果？31例

的方向就是向量解质点在M(x,y)处受到力的作用，的大小与M到原点的距离成正比，的方向恒指向原点，此质点由点A(a,0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0,b),求所做的功的反方向.其大小与此向量的模成正比由第二类曲线积分的物理意义所以假设其中k>0，为比例常数⌒⌒⌒⌒32椭圆的参数方程为起点对应的参数为0，终点对应的参数为33补充在分析问题和算题时常用的L在上半平面部分与P(x,y)为P(x,y)为其中L1是曲线L的上半平面的部分.类似地,对称性质对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段光滑的,关于下半平面部分的走向相反时,x轴对称,则y的偶函数y的奇函数的讨论也有相应的结论.对34四、两类曲线积分之间的关系设有向平面曲线弧为则有向曲线弧L的切向量为))(),((tttyj¢¢=r35可用向量表示有向曲线元则推广空间曲线36例解

所以把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分.其中L为沿抛物线从点(0,0)到(1,1).37对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的计算两类曲线积分之间的联系五、小结四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为定积分计算对坐标曲线积分的物理意义变力沿曲线所作的功关于曲线方向的性质注意:

对坐标的曲面积分的性质38第三节格林公式及其应用

1.区域连通性的分类

设D为平面区域,复连通区域单连通区域否则称为则称D为平面复连通区域.成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线所围单连通区域,一、格林公式39格林定理(定理1)设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,在D上具有一阶连续偏导数,则有2.格林公式公式(1)称其中L是D的取正向的边界曲线.格林公式.40当观察者沿边界行走时,(1)

P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;(2)曲线L是封闭的,并且取正向.注规定边界曲线L的正向区域D总在他的左边.41(1)先对简单区域证明:证明若区域D既是又是即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.42同理可证43(2)再对一般区域证明:积分区域的可加性若区域D由按段光(如图)将D分成三个既是又是的区域滑的闭曲线围成.4445格林公式的实质之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分46(1)计算平面面积3.简单应用格林公式得闭区域D的面积格林公式及其应用

例

求椭圆解由公式得D所围成的面积.47.(2)简化曲线积分例其中L为圆周解由格林公式有对称性的正向.对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时,常常考虑通过格林公式化为二重积分来计算.48(3)简化二重积分则解令例为顶点的三角形闭区域.格林公式491987年研究生考题,填空(3分)解由格林公式50解记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.例令有51即L为不包围原点的任一闭曲线.即L为包围原点在内的任一闭曲线.由格林公式应用由格林公式,得作位于D内圆周52注意格林公式的条件∴其中l的方向取逆时针方向53练习计算L是圆周:如把圆周写成参数方程:再将线积分化为定积分计算,用格林公式易求.答案:分析则过程较麻烦.9)4()1(22=-+-yx54B如果在区域G内有二、平面上曲线积分与路径无关的条件AL1L21.平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关.则称曲线积分在G内与路径无关,55定理2设开区域G是一个单连通域,在G内恒成立.函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充要条件是2.平面上曲线积分与路径无关的条件两条件缺一不可56

其中L为例(1)抛物线y=x2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(2)抛物线x=y2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(3)(0,0)到(1,0)再到(1,1)的折线结果相同，即此时积分结果和路径无关57三、二元函数的全微分求积考虑表达式如果存在一个函数使得则称并将全微分式,为一原函数.58由例可知:都是分别是上面的原函数.全微分式.59定理3设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则

下面说明一般怎样在G内恒成立.在G内为某一函数的全微分的充要条件是等式求原函数判断全微分式60必要性.

由设P、Q的偏导数连续,因而即设存在某一函数证于是连续.所以使得61充分性.设已知条件由定理2可知:当起点M0(x0,y0)固定时,在G内恒成立.则于是把曲线积分写作:上述积分是x,y的函数,记为即曲线积分在区域G内与路径无关.M(x,y).起点为M0(x0,y0),终点为M(x,y)的此积分的值取决于终点62

可以证明函数u(x,y)的全微分就是:因为P(x,y),Q(x,y)都是因此只要证明(1)偏导数定义,(3)积分中值定理.(2)曲线积分与路径无关,其中用到下面的知识点:连续的.63D(x0,y1)或则64例问是否为全微分式?用曲线积分求其一个原函数.如是,解在全平面成立所以上式是全微分式.因而一个原函数是：全平面为单连通域，法一(x,y)65这个原函数也可用下法“分组”凑出:法二66因为函数u满足故从而所以,问是否为全微分式?用曲线积分求其一个原函数.如是,由此得y的待定函数法三Cyyyyò+-=-=2d2)(j=¶¶yu=¢+)(yxeyj67解积分与路径无关

1989年研究生考题,计算,5分设曲线积分与路径无关,具有连续的导数,例即xyxy2)(=¢j68(1,0)法一法二692002研究生考题(数学一)8分内具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a,b),终点为(c,d).记(1)证明曲线积分I与路径L无关;(2)当ab=cd时,求I的值.证因为所以在上半平面内曲线积分I与路径L无关.(1)70解(2)由于曲线积分I与路径L无关,所以法一·),(ba),(bc·解(2)法二设F(x)为f(x)的一个原函数,则由此得71格林公式四、小结单(复)连通区域的概念

格林公式的三个应用格林公式的实质的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间注意使用条件72

与路径无关的四个等价命题

条件在单连通开区域D上具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.73第四节对面积的曲面积分surfaceintegral第十一章曲线积分与曲面积分实例光滑的,它的面密度为连续函数求它的质量.一、概念的引入74或记为即如曲面是曲面元素被积函数则积分号写成积分曲面称极限为函数对面积的曲面积分第一类曲面积分.闭曲面,752.存在条件在光滑曲面Σ上今后,假定的曲面积分存在.对面积连续,3.对面积的曲面积分的性质òò+2d),,(SSzyxf76

补充设分片光滑的x的奇函数x的偶函数其中则曲面Σ关于yOz面对称,4.对面积的曲面积分的几何意义空间曲面Σ的面积:775.对面积的曲面积分的物理意义面密度为连续函数的质量M为:其质心坐标为:78则按照曲面的不同情况分为以下三种：思想是:化为二重积分计算.(1)三、对面积的曲面积分的计算法则(2)),(zxyy=),(zxyzxyyzxdd122++:S若曲面79则(3)确定投影域并写出

然后算出曲面面积元素;最后将曲面方程代入被积函数,对面积的曲面积分时,首先应根据化为二曲面Σ选好投影面,曲面Σ的方程,重积分进行计算.80例解投影域:所截得的部分.故对称性yxdd2=81例计算其中是由平面及所围四面体的整个边界曲面.解

在平面及上的部分依次记为及

于是由于在所以所以82从而则83例所围成的空间立体的表面.解的投影域都是对称性84(左右两片投影相同)将投影域选在注分成左、右两片对称性85计算曲面积分其中Σ是球面解Σ的方程方程是:方程是:投影域Σ记上半球面为下半球面为不是单值的.的值.例86对上半球得对下半球Σ是球面87所以极坐标88计算其中Σ为球面之位于平面曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域Σ解练习上方的部分.89Σ因曲面Σ于是x3是x的奇函数，x2y是y的奇函数.关于yOz面及xOz面对称;

yxyxaadd222--=90例解积分曲面方程轮序对称提示即三个变量轮换位置方程不变.具有轮换对称性,中的变量x、y、z91

对面积的曲面积分的计算

对面积的曲面积分的概念四、小结四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为二重积分计算;

对面积的曲面积分的几何意义与物理意义曲面方程三种形式的计算公式92surfaceintegral第五节对坐标的曲面积分观察以下曲面的侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧1.有向曲面

通常光滑曲面都有两侧.(假设曲面是光滑的)一、预备知识93有两侧的曲面.规定(1)双侧曲面2.曲面的分类法向量的方向来区分曲面的两侧.选定了侧的曲面称为有向曲面943.有向曲面在坐标面上的投影设Σ是有向曲面.

假定的余弦上各点处的法向量与z轴的夹角有相同的符号.

在有向曲面取一小块

类似地,可定义在yOz面及zOx面的投影:在xOy面上的投影在xOy面上的投影区域的面积附以一定的实际上就是正负号.95流向曲面一侧的流量.流量实例(为平面A的单位法向量)(斜柱体体积)(1)流速场为常向量有向平面区域

A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).二、概念的引入96(2)

设稳定流动的不可压缩流体给出,函数

流体的密度与速度均不随时间而变化(假定密度为1)的速度场由当不是常量,曲面求在单位时间内流向指定侧的流体的质量是速度场中的一片有向曲面,97

分割则该点流速为，法向量为98常向量,有向平面求和取近似该点处曲面Σ的单位法向量高底通过Σ流向指定侧的流量kjiniiiirrrrgbacoscoscos++=),cos(||iiinvvrrr99取极限1001.定义三、概念与性质定义101或称被积函数积分曲面存在,则称此极限为第二类曲面积分.记作即如曲面为封闭曲面:102类似可定义2.存在条件对坐标的曲面积分存在.在有向光滑连续,1033.组合形式4.物理意义如:上述流向Σ指定侧的流量φ为:

也可写成有向曲面元向量的形式)dd,dd,dd(Sdyxxzzy=r1045.性质(1)(2)(3)表示Σ相反的一侧,,的曲面积分性质对坐标zxyz.也有类似的结果105上侧,四、对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面Σ是由的曲面Σ在xOy面上的投影区域为函数具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,y,z)在Σ上连续.106对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的注侧.107

计算对坐标的曲面积分时:(1)认定对哪两个坐标的积分,将曲面Σ表为这两个变量的函数,并确定Σ的投影域.(2)将Σ

的方程代入被积函数,化为投影域上的二重积分.(3)根据Σ的侧(法向量的方向)确定二重积分前的正负号.108

例其中Σ是所围成的正方体的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3

先计算由于平面都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.解三个坐标面与平面外侧.Σ1109x=a面在yOz面上的投影为正,而x=0面在yOz面上的投影为负.投影域均为:0≤y≤a,0≤z≤a,故由x,y,z的对等性知,所求曲面积分为3a4.后两个积分值也等于a4.Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3Σ1110解投影域

例计算其中Σ是球面外侧在的部分.111极坐标112设有向曲面Σ是由方程函数具有一阶连续偏导数,被积函数给出,五、两类曲面积分之间的联系Σ在xOy是由方程面上投影区域为对坐标的曲面积分为R(x,y,z)在Σ上连续.113曲面Σ的法向量的方向余弦为对面积的曲面积分为所以(注意取曲面的两侧均成立)114两类曲面积分之间的联系类似可得不论哪一侧都成立.其中是有向曲面Σ在点处的法向量的方向余弦.115向量形式有向曲面元116解

例下侧.117118

例其中Σ解法一直接用对坐标的曲面积分计算法.且其投影区域分别为由于Σ取上侧,在第一卦限部分的上侧.面的投影都是正的,119取上侧òò-+--1010d)222(dxyxyxx法二利用两类曲面积分的联系计算.Σ取上侧,锐角.则法向量n与z轴正向的夹角为120yxzzSyxdd1d22++=121关于曲面侧的性质六、小结

对坐标的曲面积分的计算

对坐标的曲面积分的概念四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为二重积分计算;

对坐标的曲面积分的物理意义注意:“一投,二代,三定号”

对坐标的曲面积分的性质两类曲线积分之间的联系方法:122第六节高斯(Gauss)公式第十一章曲线积分与曲面积分

格林公式把平面上的闭曲线积分与本节的高斯公式表达了空间闭曲面上的曲面积分与曲面所围空间区域上的三重积分的关系.所围区域的二重积分联系起来.123一、高斯公式具有则有公式一阶连续偏导数,或

高斯公式外侧,124

证明思路

分别证明以下三式,从而完成定理证明.只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.125证设空间区域Ω母线平行于z轴的柱面.即边界面三部分组成:(取下侧)(取上侧)(取外侧)由三重积分的计算法126投影法(先一后二法)

由曲面积分的计算法取下侧,取上侧,取外侧

一投,二代,三定号127于是同理合并以上三式得}自己证高斯公式128由两类曲面积分之间的关系知高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算.一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯Gauss公式的实质129解

球

例外侧.130使用Guass公式时易出的差错:(1)搞不清是对什么变量求偏导;(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;(3)忽略了的取向,注意是取闭曲面的外侧.高斯公式131例解

外侧.?能否直接用点(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.可先用曲面方程将被积但是被积函数中的函数化简，高斯公式132有时可作辅助面,(将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分,然后利用高斯公式.对有的非闭曲面的曲面积分,例计算曲面积分之间下侧.的法向量的方向余弦.部分的解空间曲面Σ在xOy面上的曲面

不是为利用高斯公式.投影域为补封闭曲面,133由对称性先二后一法134故所求积分为yxyxSdddd001d=++=135解(如图)练习计算曲面积分1987年研究生考题,计算(10分)绕y轴旋转曲面方程为一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角绕y轴旋转136取右侧.有

高斯公式柱坐标137取右侧故1381.

通量为向量场

设有一向量场则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分:通量.穿过曲面Σ这一侧的二、物理意义通量与散度通量的计算公式1392.散度设有向量场为场中任一点,在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面它所围成的小区域及其体积记为表示内穿出的通量,若当缩成P点时,极限记为散度.存在,则该极限值就称为向量场在P点处的即140散度的计算公式设均可导,点处的散度为高斯公式高斯公式可写成141例向量场1989年研究生考题,填空(3分)解142高斯Gauss公式物理意义--通量与散度三、小结表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯Gauss公式的实质(注意使用的条件)143第七节斯托克斯(stokes)公式

第十一章曲线积分与曲面积分一、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯公式定理为分段光滑的空间有向闭曲线,是以边界的分片光滑的有向曲面,具有一阶连续偏导数,则有公式为GS144

即有其中方向余弦.是Σ指定一侧的法向量145Γ的正向与Σ的侧符合右手规则:

当右手除拇指外的四指依Γ的绕行方向时,右手法则拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同.是有向曲面Σ的正向边界曲线.称Γ146另一种形式便于记忆形式yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(¶¶-¶¶+¶¶-¶¶+¶¶-¶¶òòS147Stokes公式的实质

表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.注意:

则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果∑

是xoy

坐标平面上的一块平面区域,148解法一按斯托克斯公式,计算曲线积分例其中被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.有149按斯托克斯公式,

法二有150解则计算曲线积分例其中截立方体:的表面所得的截痕,若从Ox轴的正向看去,取逆时针方向.取Σ为平面的上侧被Γ所围成的部分.Σ在xOy面上的投影为151即1521.环流量的定义circulationcurl环流量.二、物理意义---环流量与旋度设向量场按所取方向的沿曲线称为向量场