微积分试题解答20151224

11.

求解法1解法2注意：分子拆项是常用的技巧设21.

求解:

原式=有理分式函数----拆项

对被积函数拆项，是求不定积分常用的一种方法。1.一、选择题(2×10=20)解是函数

的()间断点

A．可去间断点；B．跳跃间断点

C．无穷间断点；D．震荡间断点.（A）f(x)是g(x)的高阶无穷小；（B）f(x)是g(x)的低阶无穷小；（C）f(x)与g(x)为同阶无穷小，但非等价无穷小（D）f(x)与g(x)为等价无穷小2.设当时，(C)解:

f(x)与g(x)为同阶无穷小，但非等价无穷小3.极限解:一般地4.

设,

求极限解:

原式5、下列运算正确的是（C）A、B、C、D、A不能利用极限的四则运算,B,D不能加减利用等价无穷小替换，C有界函数与无穷小的乘积是无穷小,6.

设解:则f(x)在(C)（A）都间断；都连续；连续,间断,（B）（C）间断,连续；（D）所以x=1处连续所以间断,7.

解:当（A）（B）（C）（D）时,下列变量中是无穷小量的有(C)无穷小量是自变量的某一变化过程中极限为0的函数,8、如果与存在，则（C）.存在且B.不一定存在一定不存在A.存在但不一定有C.D.极限存在的必要条件是左右极限存在且相等9、设，则

(

B

)有界无界时，A、

B、C、单调增加 D、为无穷大n取偶数时,解:n取奇数时,9、设则正确的是(C)A、B、C、D、11.二、填空题(3×10=30)函数连续区间是______.初等函数在定义区间上是连续的，从而只需求出定义区间12.解:方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的复合函数.由方程所确定的隐函数的导数为由方程为________.则____.13.

设解:水平渐进线方程为____.14.

曲线解:求____.15.

设解:在闭区间[0,2]上的最大值为____.证：16.

设令得驻点

又所以为唯一的极大值点,从而为最大值点,17.

解所以所求曲线的拐点为且存在，则证：18.

设19.

求的导数.两边取对数,化为隐式两边对x

求导方法II.指数求导法.函数化为则解:方法I.

对数求导法.解:故法线斜率为20、曲线上点处的法线斜率是

。21.解:三、计算题（7×6=42）解:故所求切线方程:求曲线处的切线方程.22.

解:23.

求

24.

求解:!!!对于代数和中各无穷小不能分别替换.若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换～25.设解:

26.设得极值,试确定a,b的值,并判断f(x)在在极大值还是极小值.解:

1)求导数2)因为已知函数可导,且1,2为极值点.所以3)判别因故为极小值;因故为极大值;时都取是取得当时,当时,四、(8分)证明:证:

设,则故时,单调增加,从而即当时,当时,四、(15分)证明:证:

设,则故时,单调增加,从而即…………5分…………10分…………15分当时,四、(15分)证明:证:

设因此应有即因为故当时,…………6分…………8分…………15分…………12分当时,四、(15分)证明:证:

设因此应有即因为故当时,…………6分…………8分…………15分…………12分当时,四、(15分)证明:证:

设因此应有即故当时,…………6分…………8分…………15分…………12分当时,从而f(x)单调增加,当时,四、(15分)证明:证:

设因此应有即因为故当时,…………6分…………8分…………15分…………12分例8.

求解:定理有定义,有(函数极限与数列极限的关系)（P37定理4）例8.

求解:

令则定理有定义,有(函数极限与数列极限的关系)（P37定理4）解:令原式解:例1.

求解:原式定理4.意义1.极限符号可以与连续函数符号f互换;极限运算可以穿过连续函数符号到里面去取极限

2.把定理4中的x

x0换成x

,可得类似的定理．例1.

求解:原式解:又原式解:又原式洛:解:令得因为连续,所以可导.因为是极值点,由费马定理知所有在处取得极小值证:设辅助函数分析:可以通过求解一阶线性微分方程构造辅助函数的通解,则

(1)若则因此至少存在一点在上满足罗尔定理条件,使得即2)若则因此至少存在一点在上满足拉格拉日中值使得即条件,定理在上连续,且因为根据零点定理,至少存在一点使得即由(1)(2)可知,存在一点使得

证明函数在是跳跃间断点证:原式是否可按下述方法作:15.

设,

求极限解:

原式解:故在原点(0,0)处切线方程为解:令证若，可取；若，可取；若

则由定理2知，存在

使注:这题结果称为不动点定理．

，即有．例3.证明根据零点定理应用零点定理的一般步骤：①构造函数。（从结论入手）②验证零点定理的条件。③应用。4.

设求解:

方法1

利用导数定义.方法2

利用求导公式.例1解对应例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凸,向下凹,点及均为拐点.凸凸凹解:解:证明:由积分中值定理知至少存在一点使由(1)的结论,知注:(1)利用分部积分法,右边推左边.证明:令原式解:即特征根:故通解为解得解:设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)

a

为何值时,所围图形绕x

轴一周所得旋转体解:(1)由方程得面积为2,体积最小?故得五、解答题（每小题9分）(1011B)练习P2531(24)解:原式

在定积分中利用对称区间上奇偶函数定积分的性质求解往往可大大简化计算.解:(1)在[0,π]上有4个显然,f(x)分别在闭区间[0,1],[1,2],[2,π]上连续，且f

(0)=f(1)=f(2)=f

(π)

.由罗尔定理，在(0,1),(1,2),(2,π)内分别存在点

1,

2,

3

，使得f

(

1)=f

(

2)=f

(

3)=0即方程f

(x)=0在(0,π)内至少三个实根.在开区间(0,1),(1,2),(2,π)

内可导，零点解:(1)由等式得对方程令y=1，得到两边关于y求导，得由知C=0.解:推论

若ƒ(x)在[a,b]上连续,

(x)在[a,b]上可导,则证:设还能否等上这只船证:证明:存在使

设可导，且在连续，证:设辅助函数因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即使得练习例2.

设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在分析

问题转化为证设辅助函数卸磨杀驴，脱掉对数函数.显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至少存在一点使即有解：1415.

设在内可导,且(I)存在一点使上连续,在(II)存在一点证明使，使得证：由零点定理,(Ⅰ)即在上连续所以在[

ξ,1]上满足罗尔定理条件,故至少存在一点使即有证:设辅助函数在内可导，分析

问题转化为证卸磨杀驴，脱掉对数函数.(II)构造辅助函数：分析：

先将结论中η换成x所给结论可写为基本模型：换成构造辅助函