传热学教案设计2

传热学教案

学习目的及学时分配

L教学目的

通过学习能熟练掌握传热过程的基本规律、实验测试技

术及分析计算方法，从而达到认识、控制、优化传热过程的目的。

2.学时分配

课内学时58学时，实验环节6学时

第一章绪论

本章要求：

1掌握内容：①热量传递的三种基本方式的概念、特点及基本定律;

②传热过程、传热系数及热阻的概念。

2了解内容：了解传热学的发展史、现状及发展动态。

§1—1概述

一、基本概念

1、传热学：传热学是研究热量传递规律的学科。

1）物体内只要存在温差，就有热量从物体的高温部分传向低温部分；

2）物体之间存在温差时，热量就会自发的从高温物体传向低温物体。

由于自然界和生产技术中几乎均有温差存在，所以热量传递已成为自然界和生产技

术中一种普遍现象。

2、热量传递过程：

根据物体温度与时间的关系，热量传递过程可分为两类：（1）稳态传热过程；（2）

非稳态传热过程。

I）稳态传热过程（定常过程）：凡是物体中各点温度不随时间而变的热传递过程均称

稳态传热过程。

2）非稳态传热过程（丰定常过程）：凡是物体中各点温度随时间的变化而变化的热传

递过程均称非稳态传热过程。

各种热力设备在持续不变的工况下运行时的热传递过程属稳态传热过程；而在启动、

停机、工况改变时的传热过程则属非稳态传热过程。

二、讲授传热学的重要性及必要性

1、传热学是热工系列课程教学的主要内容之一，是热能动力专业必修的专业基础课。

是否能够熟练掌握课程的内容，直接影响到后续专业课的学习效果。

2、传热学在生产技术领域中的应用十分广泛。如：热能动力学、环境技术、材料学、

微电子技术、航空航天技术存在着大量的传热学问题，而且起关键性作用。随着大规模

集成电路集成温度的不断提高，电了一器件的冷却问题越显突出。

例如：20世纪70〜90年代，集成电路芯片的功率从l（）w/cill'〜lOOw/c优

产生的热量增大，若热量不能及时的散发出去（冷却），会使芯片温度升高，而影响电

子器件的寿命及工作可靠性。因此，电子器件有效散热是获得新产品的关键。例如：航

天飞机在重返地球时以当地音速的15〜20倍的极高速度进入大气层，由于飞行器

与空气的相对运动，在表面产生剧烈的摩擦加热现象，使气流局部温度达5000〜

15000k,为保证飞行器安全飞行\有效的冷却和隔热方法的研究是其关键的问题。

3、传热学的发展和生产技术的进步具有相互依赖和相互促进的作用。

传热学在生产技术发展中已成为一门理论体系初具完善、内容不断充实、充满活力

的主要基础科学。高参数大容量发电机组的发展，原子、太阳、地热能的利用，航天技

术、微电子技术、生物工程的发展，推动传热学的发展，而传热学的发展又促进生产技

术的进步发展。同时，随着生产技术及新兴科学技术的发展，又向传热学提出了新的挑

战和新的研究课题。

三、传热学的特点、研究对象及研究方法

1、特点

1）理论性、应用性强

传热学是热工系列课程内容和课程体系设置的主要内容之-o是•门理论性、应用

性极强的专业基础课，在热量传递的理论分析中涉及到很深的数学理论和方法。在生产

技术领域应用十分广泛，在生产技术发展中已成为一门理论体系初具，内容不断完善、

充实，充满活力的主要基础科学。传热学的发展促进了生产技术的进步，而新兴科学技

术的发展向传热学提出了新的课题和新的挑战.

2）有利于创造性思维能力的培养

传热学是热能动力的专业课之一，在教学中重视学生在学习过程中的主体地位，启

迪学生学习的积极性，在时间上给学生留有一定的思维空间。从而进一步培养创新的思

维能力。对综合性、应用性强的传热问题都有详细地分析讨论。同时介绍了传热学的

发展动态和前景。从而给学生开辟了广阔且纵深的思考空间。

3）教育思想发生了本质性的变化

传热学课程教学内容的组织和表达方面从以往单纯的为后续专业课学习服务转变到

重点培养学生综合素质和能力方面，这是传热学课程理论联系实际的核心。从实际工程

问题中、科学研究中提炼出综合分析题，对培养学生解决分析综合问题的能力起到积极

的作用。

2、研究对象

传热学研究的对象是热量传递规律。

3、研究方法

研究的是由微观粒子热运动所决定的宏观物理现象，而且主要用经验的方法寻求热

量传递的规律，认为研究对象是个连续体，即各点的温度、密度、速度是坐标的连续函

数，即将微观粒子的微观物理过程作为宏观现象处理。

由前可知，热力学的研究方法仍是如此，但是热力学虽然能确定传热量（稳定流能量

方程），但不能确定物体内温度分布。

§1-2热量传递的三种基本方式

一、导热（热传导）

1、定义：物体各部分之间不发生相对位移时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子

的热运动而产生的热量传递称导热。

如：固体与固体之间及固体内部的热量传递。

从微观角度分析气体、液体、导电固体与非金属固体的导热机理。

（1）气体中：导热是气体分子不规则热运动时相互珑撞的结果，温度升高，动能增大,

不同能量水平的分子相互碰撞，使热能从高温传到低温处。

（2）导电固体：其中有许多自由电子，它们在晶格之间像气体分子那样运动。自由

电子的运动在导电固体的导热中起主导作用。

（3）非导电固体：导热是通过晶格结构的振动所产生的弹性波来实现的，即原子、

分子在其平衡位置附近的振动来实现的。

（4）液体的导热机理：存在两种不同的观点：笫一种观点类似于气体，只是复杂些,

因液体分子的间距较近，分子间的作用力对碰撞的影响比气体大；第二种观点类似于非

导电固体，主要依靠弹性波（晶格的振动，原子、分子在其平衡位置附近的振动产生的）

的作用。

说明：只研究导热现象的宏观规律。

2、导热现象的基本规律

1）傅立叶定律（1822年，法国物理学家）

如图1-1所示，一维导热问题，两个表面均维持均匀温度的平板导热。

根据傅立叶定律，对于X方向上任意一个厚度为dx的微元层，单位

时间内通过该层的导热量与当地的温度变化率及平板面积A成正比，

即

dx（1—1）

其中x——比例常数，导热率（导热系数）；

负号表示热量传递的方向同温度升高的方向相反。

2）热流量：单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量，记为，单位wo

3）热流密度（面积热流量）：单位时间内通过单位面积的热量称为热流密度，记为q,

单位w/

当物体的温度仅在x方向放生变化时，按傅立叶定律，热流密度的表达式为

（1—2）

说明：傅立叶定律乂称导热基本定律，式（1-1）、（1-2）是一维稳态导热时傅立

叶定律的数学表达式。通过分析可知：

（1）当温度t沿x方向增加时，而qV0,说明此时热量沿x减小的方向传递;

（2）反之，当时，q>0,说明热量沿x增加的方向传递。

（3）导热系数X表征材料导热性能优劣的参数，是一种物性参数，单位：w/mko

不同材料的导热系数值不同，即使同一种材料导热系数值与温度等因素有关。金属材

料最高，良导电体，也是良导热体，液体次之，气体最小。

二、对流

1、基本概念

1）对流：是指由于流体的宏观运动，从而使流体各部分之间发生相对位移，冷热流体

相互掺混所引起的热量传递过程。

对流仅发生在流体中，对流的同时必伴随有导热现象。

2）对流换热：流体流过一个物体表面时的热量传递过程，称为对流换热。

2、对流换热的分类

根据对流换热时是否发生相变来分：有相变的对流换热和无相变的对流换热。

恨据引起流动的原因分:自然对调和强刷对源。…

1）自然对流：由于流体冷热各部分的密度不同而引起流体的流动。

如：暖气片表面附近受热空气的向上流动。

2）强制对流：流体的流动是由于水泵、风机或其他压差作用所造成的。

3）沸腾换热及凝结换热：

液体在热表面上沸腾及蒸汽在冷表面上凝结的对流换热，称为沸腾换热及凝结换热

（相变对流沸腾）。

3、对流换热的基本规律v牛顿冷却公式＞

流体被加热时，（I-3）

流体被冷却时，（1—4）

其中，•及"分别为壁面温度和流体温度；

用表示温差（温压），并取为正，则牛顿冷却公式表示为

q.hbl

（1—5）

Q«AhW

（1—6）

其中h一比例系数（表面传热系数）单位wM4°

h的物理意义：单位温差作用下通过单位面积的热流量。

表面传热系数的大小与传热过程中的许多因素TT关。它不仅取次于物体的物性、换

热表面的形状、大小相对位置，而且与流体的流速有关。

一般地，就介质而言：水的对流换热比空气强烈；

就换热方式而言：有相变的强于无相变的；强制对流强于自然对流。

对流换热研究的基本任务：用理论分析或实验的方法推出各种场合下表面换热导数

的关系式。

三、热辐射

1.基本概念

1）辐射和热辐射

物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。因热的原因而发出辐射能的现象称为

热辐射。

2）辐射换热

辐射与吸收过程的综合作用造成了以辐射方式进行的物体间的热量传递称辐射换

热。

自然界中的物体都在不停的向空间发出热辐射，同时又不断的吸收其他物体发出的

辐射热。

说明：辐射换热是一个动态过程，当物体与周围环境温度处「热平衡时，辐射换热埴

为零，但幅射与吸收过程仍在不停的进行，只是辐射热与吸收热相等。

3）导热、对流、辐射的评述

①导热、对流两种热量传递方式，只在有物质存在的条件下，才能实现，而热辐射不需

中间介质，可以在真空中传递，而且在真空中辐射能的传递最有效。

②在辐射换热过程中，不仅有能量的转换，而且伴随有能量形式的转化。

在辐射时，辐射体内热能一辐射能；在吸收时，辐射能一受射体内热能，因此,

辐射换热过程是一种能量互变过程。

③辐射换热是一种双向热流同时存在的换热过程，即不仅高温物体向低温物体辐射热

能，而且低温物体向高温物体辐射热能，

④辐射换热不需要中间介质，在真空中即可进行，而且在真空中辐射能的传递最有

效。因此，又称其为非接触性传热。

⑤热辐射现象仍是微观粒子性态的•种宏观表象。

⑥物体的辐射能力与其温度性质有关。这是热辐射区别于导热，对流的基本特点。

2、热辐射的基本规律：

所谓绝对黑体：把吸收率等于1的物体称黑体，是一种假想的理想物体。

黑体的吸收和幅射能尢在同温度的物体中是最大的而且辐射热量服从于斯忒藩一一破

耳兹曼定律。

黑体在单位时间内发出的辐射热量服从于斯忒藩一一玻耳兹曼定律，即

6-ACJT

(1—7)

其中T一一黑体的热力学温度K；

-斯忒潘一玻耳兹曼常数(黑体辐射常数)，

A----辐射表面积mo

实际物体辐射热流量根据斯忒潘一一玻耳兹曼定律求得:

9.eAcfTA

(1—8)

其中①一一物体自身向外辐射的热流量，而不是海射换热量；

——物体的发射率(黑度)，其大小与物体的种类及表面状态有关。

要计算辐射换热量，必须考虑投到物体上的辐射热量的吸收过程，即收支平衡量，详

见第八章。

物体包容在一个很大的表面温度为的空腔内，物体与空腔表面间的辐射换热量

-7^*)

(1—9)

四、传热过程

传递热量的基本方式：导热、对流、热辐射，由这三个基本方式组成不同的传热过程。

如：

暖气：热水管子内壁管子外壁室内环境

冷凝器：蒸汽管子外壁管子内壁水

分析一个实际传热过程的目的，就是分析该过程由哪些串联环节组成。以及每一环节

中有哪些传热方式起主要作用，它是解决实际传热的核心基础。

上述分析导热、对流、热辐射的基本定律，即傅里卜定律、牛顿冷却公式、斯忒藩一

玻耳兹曼定律，适用于稳态和非稳态热传递过程，若是非稳态时（1-1）、（1-6）、（1-7）

中的温度是瞬时温度，t不仅仅是坐标的函数，而且与时间有关。

§1-3传热过程和传热系数

一、传热过程

1、概念：热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中去的过程称传热过程。

2、传热过程的组成：传热过程一般包括串联着的三个环节组成，即:

①热流体一壁面高温侧；

②壁面高温侧一壁面低温侧；

③壁面低温侧一冷流体。

若是稳态过程则通过串联环节的热流量相同。

3、传热过程的计算

针对稳态的传热过程，即Q=const

如图1—3,其传热环节有三种情况，则其热流量的表达式如

Ah\（/yj

图1-3传热过程的剖析

变形

5-■0//阳

整理

(1-10)

可写成

O-AKT

（1-11）

此式称为传热方程式。

其中K一一传热系数，。

二、传热系数

1、概念：是指用来表征传热过程强烈程度的指标。数值上，它等于冷热流体间温差

°C,传热面积E寸热流量的值。K值越大，则传热过程越强，反之，则弱。其

大小受较多的因素的影响：

①参与传热过程的两种流体的种类；

②传热过程是否有相变

说明:若流体与壁面间有辐射换热现象,」述计算未考虑之。…要计算辐射换热,—则:

表面传热系数应取复合换热表面传热系数,」包含出幅射映数折算出来的表面传热系数

在内葭基友法见圆二;一支、苴。、

•传热系数K的表达式

长■】《+与十—

(1-12)

表示K的构成：是由组成传热过程诸环节的之和的倒数组成。

或写成

11<51

一■—♦—+—

K八九h2

或

1161

一■—―+^―+^―^―

AKAh}AlAh2

(1-13)

传热方程式可变为以下形式：(1T4)

此式与欧姆定律：比较，具有电阻之功能。

由此可见：传热过程热阻是由各构成环节的热阻组成。

串联热阻叠加原则：在•个串联的热量传递过程中，如果通过各个环节的热流量都相

等，则串联热量传递过程的总热阻等于各串联环节热阻之和。

§1-4传热学发展史

传热学这一门学科是在18世纪30年代英国开始的工业革命使生产力空前发展的条

件下发展起来的。传热学的发展史实际就是：导热、对流、热辐射三种传方式的发展史。

导热、对流早为人们所认识，而热辐射是在1803年才确认的。

一、导热

确认热是一种运动的过程中，科学史上有两个著名的实验起着关键作用，

其一是：1798年伦福特钻炮筒大量发热实验；其二是：1799年戴维两块冰块摩擦

生热化成水的实验。

19世纪初，兰贝特、毕渥、傅里叶等都从固体一维导热的试验入手研究，1804年毕

渥根据试验提出：单位时间通过单位面积的导热量正比于两侧表面温差，反比于壁厚,

比例系数是材料的物理性质。

作用：这一规律提高对导热规律的认识，只是粗糙些。

1807年傅里叶：特别重视数学工具的运用，把实验与理论结合起来，提出求解微分方

程的分离变量法和可以将解表示成一系列任意函数的概念，得到学述界的重视。特别

是：1822年论著《热的解析理论》完成了导热理论的任务，提出的导热基本定律“傅

里叶定律”，导热微分方程，傅里叶级数正确地概括了导热实验的结果。使他成为导热

理论的奠基人。

二、对流

流体流动理论是对流体换热理论必要的前提。1823年纳维：提出不可压缩流体流动方

程。1845年，英国斯托克斯，将其修改为纳维一斯托克斯方程，形成流体流动基本方

程。

其特点：复杂，适用范围小，只适于简单流动，发展困难。

1880年，雷诺提出一个对流动有决定性影响的无量纲物理量雷诺数。通过实验发现：

管内层流一湍流转变时，雷诺数在1800-2000之间。在雷诺的基础上，1881年洛

仑兹自然对流解。

1885年格雷茨和1910年努塞尔获得管内换热的理论解。1916年努塞尔凝结换热理

论解又获得。

分别对其对应的理论有所贡献,但进展不大。特别是1909年和1915年努塞尔的论文

对强制对流和自然对流的基本微分方程及边界条件进行量纲分析获得「有关无量纲数

之间的准则关系。促进行了对流换热研究的发展，他的成果具有.独创性，于是，他成为

发展对流换热理论的杰出先驱。

在微分方程的理论求解上，以下两方面发挥了作用

其一：普朗特于1904年提出的边界层概念。

观点：低粘性流体只有在横向速度梯度很大的区域内才显示粘性的影响。该范围主要处

在与流体接触的壁面附近，而其它区域则“J■以当作无粘性流体处理。

在流动边界层概念的启发下，1921年波尔豪森又引进了热边界层的概念。1930年波

尔豪森与数学家施密特，贝克曼合作，成功地求解了坚壁附近空气的自然对流换热。

其二：湍流计算模型的发展，有力地推动了传热学理论求解向纵深方向发展。近代发展

中，麦克亚当、贝尔特和埃克特先后作出了重要贡献。

三、热辐射

在其早期研究中，认识黑体辐射的重要性并用人工黑体进行实验研究对于建立热辐射

理论具有重要作用。

19世纪斯忒藩通过实验确立了黑体的辐射能力正比于它的绝对温度的四次方的规律。

后来该定律在理论上被波耳兹曼证实，从而形成斯忒藩--波耳兹哽定律。

后在物体之间辐射热量交换方面有两个重要的理论问题：

一是：物体的发射率H吸收比之间的关系问题。

1859年，1860年基尔霍夫的两篇论文作了解答。

二是：物体间辐射换热的计算方法。

由于物体间辐射换热是一个无穷反射逐次减弱的复杂物理过程，计算方法的研究有其

特殊性，先后出现了以下几种：

①1935年波略克的净辐射法

②1954年，1967年霍尔特的交换因子法；

③1956年奥本亥姆的模拟网络法。

这三种方法对完善热辐射换热的复杂计算作出了贡献。

随着科学技术的发展，测量新技术、计算机、激光技术对传热学的发展起了重要作用,

特别是计算机的发展用数值方法解决传热问题取得重大突破。20世纪70年代形成

一个新兴分支——数值传热学。

热辐射基础理论研究中的难点是如何确定黑体辐射的光谱能量分布，在该问题中普朗

克、维恩做出了一定的贡献。

①1896年维恩：半理论半经验方法一公式，计算结果是短波与实验符合，但长波段

与实验不符；

②瑞利从理论上推出一个公式，经金斯改进形成瑞利一金斯公式；计算结果是长波与

实验相符，但短波与实验不符，而且随着频率的升高，辐射能无穷大，显然不合理

③1900年普朗克提出一个公式，在整个光谱段计算结果与实验符合。

其观点：提出与经典物理学的连续性概念根本不同的新假说：能量子假说。认为物体

在发出辐射和吸收辐射时，能量不是连续的，而是跳跃地变化的，即能量是一份一份地

发射和一份一份地吸收，每一份能量都有一定数值，这些能量单元称为量子，按照量子

理论确立的普朗克定律，正确地揭示了黑体辐射能量按光谱分布的规律一一从而奠定

了热辐射理论的基础。

第二章导热基本定律及稳态导热

本章内容要求：

1、重点内容：①傅立叶定律及其应用；

②导热系数及其影响因素；

③导热问题的数学模型。

2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法

3、了解内容：多维导热问题

第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。根据这三个基本

方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以

下工程应用上目的：

1.基本概念、基本定律：傅立叶定律，牛顿冷却定律，斯忒藩一玻耳兹曼定律。

①能准确的计算研究传热问题中传递的热流量

②能准确的预测研究系统中的温度分布

2.导热是一种比较简单的热量传递方式，对传热学的深入学习必须从导热开始，着重

讨论稳态导热。

首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程；

其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的

热流量及物体内温度分布的计算方法。

最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。

§2-1导热基本定律

一、温度场

1、概念：温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。

由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物

体的温度分布。一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。

即：

其中为空间坐标，为时间坐标。

2、温度场分类

1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改

变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式。

2）稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布第

时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式。

若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。

3、等温面及等温线

1）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。

2）等温线

（1）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。

一般情况下，温度场用等温面图和等温线图表示。

（2）等温线的特点：物体中的任何•条等温线要么形成•个

封闭的曲线，要么终止在物体表面上，它不会与另一条等温线相交。

（3）等温线图的物理意义：若每条等温线间的温度间隔相等时，等

温线的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大小。若相等，且

等温线越疏，则该区域热流密度越小；反之，越大。

二、导热基本定律

傅立叶定律表达式（第一章中给出的）

..dt

①=-AAA—

dx

(1—I)

q=2-也

Adx

（1—2）

适用条件•：（1）一维导热（2）一块平板两侧表面温度分别维持各自均匀的温度。这有

一定的局限性。

1、导热基本定律（傅立叶定律）

I）定义：在导热现象中，单位时间内通过给定概面所传递的热量，正比例广垂直于该

截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向与温度升高的方向相反，即〜。

2）数学表达式:（负号表示热量传递方向与温度升高方向相

反）

_2a（负号表示热量传递方向与温度

升高方向相反）

其中一一一热流密度Z’（单位时间内通过单位面积的热流量）

史——物体温度沿X轴方向的变化率

dx

若物体温度分布满足：时，则三个方向上单位矢量与该方向上的热流密度分量乘

积合成一个热流密度矢量。则傅立叶定律的一般数学表达式是对热流密度矢量写出的,

其形式为

q=一九gradt=-^—n

dn

其中gM—空间某点的温度梯度；

-通过该点的等温线上的法向单位矢量，并指向温度升高的方向；

）一为该点的热量密发矢量

2、温度梯度与热流密度矢量的关系

如图2-2（a）所示.表示了微元面积dA附

近的温度分布及垂直于该微元面积的热流密度

矢量的关系。

1）热流线

定义：热流线是一组与等温线处处垂直的曲线，

通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度

矢量相切。

2）热流密度矢量与热流线的关系：在整个物体中，热流密度矢量的走向可用热流线表

示。如图2-2（b）所示，其特点是相邻两个热流线之间所传递的热流密度矢量处处

相等，构成一热流通道，

三、导热系数1（导热率、比例系数）

I、导热系数的含义：导热系数数值上等于在单位温度梯度作用下物体内所产生的热流

密度矢量的模。

2=-^/—n

cn

2、特点：其大小取决于：（1）物质种类（金>液>气）；

（2）物质的与t的关系，如图教材2-3所示。

其中t——温度b——常数4——该直线延长与纵坐标的截距

3、保温材料（隔热、绝热材料）

把导热系数小的材料称保温材料。我国规定：平均温度不高于350℃时的导热系数不

大于0.12的材料称为保温材料。保温材料导热系数界定值的大小反映了一个国家保

温材料的生产及节能的水平。越小，生产及节能的水平越高（我国50年代0.23/mk,30

年代GB4272-84为0.14w/mkGB427-920.12w/mk）

4、保温材料热量转移机理（高效保温材料）

高温时：（1）蜂窝固体结构的导热

（2）穿过微小气孔的导热

更高温度时：（1）蜂窝固体结构的导热

（2）穿过微小气孔的导热和辐射

5、超级保温材料

采取的方法：（1）夹层中抽真空（减少通过导热而造成热损失）

（2）采用多层间隔结构（1cm达十几层）

特点：间隔材料的反射率很高，减少辐射换热，垂直于隔热板上的导热系数可达:

10一4w/mk

6、各向异性材料

指有些材料（木材，石墨）各向结构不同，各方向上的也有较大差别，这些材料称

各向异性材料•,此类材料必须注明方向。相反，称各向同性材料。

§2-2导热微分方程式及定解条件

由前可知：

（1）对于一维导热问题，根据傅立叶定律积分，可获得用两侧温差表示的导热量。

（2）对于多维导热问题，首先获得温度场的分布函数，然后根据傅立叶定律求

得空间各点的热流密度矢量。

一、导热微分方程

1、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学

表达式，称为导热微分方程。

2、导热微分方程的数学表达式（导热微分方程的推导方法，假定导热物体是各向同

性的。）

1）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体

由前可知，空间任一点的热流密度矢量可以分解为三个

坐标方向的矢量。

同理，通过空间任一点任一方向的热流量也可分解为

x、y、z坐标方向的分热流量，如图2-4所示。

①通过x=x、y=y、z=z,三个微元表面而导入

微元体的热流量：小x、小y、。z的计算。

根据傅立叶定律得

2

-

①X&

初

^

ar

①一=—A,-

az

②通过x=x+dx、y=y+dy、z=z+dz三个微元表面而导出微元体的热流量(t)

x+dx、巾y+dy、(1)z+dz的计算。

根据傅立叶定律得：

«-血..d..dt....

①x+小=①x+F-dx=+—(-2—dydz)dx

exoxox

①md'=①、，+k"y=①'+丁(一4—dxdz)dy

oycyoy

(b)

①二+壮-①z+^~dz=①z+（~A~z~dxdy^）dz

dzdzdz

③对于任•微元体根据能量守恒定律，在任•时间间隔内有以下热平衡关系：

导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=导出微元体的总热流量+微元体热力

学能（内能）的增量(c)

pc^-dxdydz

其中微元体内能的竭量

(d)

微元体内热源生成热

(e)

其中夕、c、金、r——微元体的密度、比热容、单位时间内单位体积

内热源的生成热及时间

导入微元体的总热流量@入=巾x+巾y+巾z

（f）

导出微元体的总热流量

..

—w*x+G*,+dyz-¥dx

（g）

将以上各式代入热平衡关系式，并整理得：

dt

pc——

dr=3碟)

这是笛卡尔磁标系中三维非稳态导热微分方程的一般表达式。

其物理意义：反映了物体的温度随时间和空间的变化关系。

讨论：

①Q■const时

其中a=/h----称才

oTpcoxcyoz

②物体内无内热源，即=0,且时

③若时，且属稳态，即：=0

（孰新骰+5=。

即数学上的治桑方程。该微分方程属常物性、稳态、三维、有内热源问题的

温度场控制方程式。

④常物性、稳态、无内热源

犯d^tdh八

-r+-r+-T=0

dx2dydz2

即数学上的拉普拉斯方程。

5）一维，常物性，稳态，无内热源即：

2）圆柱坐标系中的导热微分方程

&13,dt.,ia八加、,a八旗、A

H一—二z（"二）十丁丁（'丁）+三7（'工）+夕

丸=rdrdrr*dtpd（pazc£

3）球坐标系中的导热微分方程

3

1a/42Kia八金1___dOr

(4sin9—)+少

知888

综上说明：

（1）导热问题仍然服从能量守恒定律；

（2）等号左边是单位时间内微元体热力学能的增量（非稳态项）；

（3）等号右边前三项之和是通过界面的导热使微分元体在单位时间内增加的能量

（扩散项）；

（4）等号右边最后项是源项；

（5）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导热量为零，则相应的扩散项即从导热

微分方程中消失。

通过导热微分方程可知，求解导热问题，实际上就是对导热微分方程式的求

解。预知某一导热问题的温度分布，必须给出表征该问题的附加条件。

二、定解条件

1、定义：是指使导热微分方程获得适合某•特定导热问题的求解的附加条件。

2、分类：1）初始条件：初始时间温度分布的初始条件；

2）边界条件：导热物体边界上温度或换热情况的边界条件。

说明：①非稳态导热定解条件有两个；

②稳态导热定解条件只有边界条件，无初始条件。

3、导热问题的常见边界条件可归纳为以下三类

1）规定了边界上的温度值，称第一类边界条件，即tw=C。对于非稳态导热这类

边界条件要求给出以下关系，T>0时，tw=fl（T）；

2）规定了边界.上的热流密度值，称为第二类边界条件：

对于非稳态导热这类边界条件要求给出以下关系式：

当T>0时，

式中n----为表面A的法线方向

3）规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数h以及周围流体的温度，称

为第三类边界条件。

以物体被冷却为例：

对于非稳态导热，式中h、均是T的函数。

三、有关说明

1、热扩散率的物埋意义

由热扩散率的定义：可知：

1）是物体的导热系数，越大，在相同温度梯度下，可以传导更多的热量。

2）是单位体积的物体温度升高1C所需的热量。越小，温度升高1C所吸

收的热量越少，可以剩下更多的热量向物体内部传递，使物体内温度更快的随界面温

度升高而升高。由此可见a物理意义：

①a越大，表示物体受热时，其内部各点温度扯平的能力越大。

②a越大，表示物体中温度变化传播的越快。所以，。也是材料传播温度变化能力大小

的指标，亦称导温系数。

2、导热微分方程的适用范围

1）适用于q不很高，而作用时间长。同时傅立叶定律也适用该条件。

2）若时间极短，而且热流密度极大时，则不适用。

3）若属极低温度（-273c）时的导热不适用。

§2-3通过平壁、圆筒壁、球壳和其他变截面物体的导热

一、通过平壁的导热

1、单层平壁

已知：单层平壁两侧恒温且为tl、12,壁厚"如图2-6所示，

建立坐标系，边界条件为：x=0时t=t1:x=8时日2。温度只

在x方向变化属一维温度场。

试求：温度分布并确定q=f（tl,t2,X,5）。

1）温度分布

当X=const时，无内热源的一维稳态导热微分方程：

曲

dx

<x=0,t=t]

x=5,tF=t2

对此方程积分求其通解（连续积分两次）：

t=C|X+C2

其中cl、c2为常数，并且由边界条件确定

当X=0时t=t|/.C2=t|

当x=6时t=t2:.Cl=（t2-tl）/6

，该条件下其温度分布为：

又•・•6、t1、、t2均属定值

・•・温度成线性关系，却温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度）

2）热流密度q

把温度分布dt/dx代入傅立叶定律q=-X（dt/dx）得：“=&L_2=4。

（2-18）

若表面积为A,在此条件下，通过平壁的导热热流量则为：①二人^^

6

（2-19）

此两式是通过平壁导热的计算公式，它们揭示了q、①与入、6和At之间的

关系

2、热阻的含义

热量传递是自然界的一种转换过程，与自然界的其他转换过程类同，如：电量的

转换，动量、质量等的转换。其共同规律可表示为：过程中的转换量=过程中的动

力/过程中的阻力。

由前可知：1）在平板导热中导热热流量：，即

（2-1）

2）在一个传热过程中，根据传热方程式，得（2-2）

遢度为导热过程的动力;....8/（A入）….为导热过程的阻力

（2-2）式中中——传热过程中的热流量为传热过程的转移量；△I——温

1

压为传热过程的动力；丽…….传热过程的阻力

由此引出热阻的概念：

I）热阻定义：热转移过程的阻力称为热阻。

2）热阻分类：不同的热量转移有不同的热阻，其分类较多，如：导热阻、辐

射热阻、对流热阻等。对平板导热而言又分：

面积热阻RA:单位面枳的导热热阻称面积热阻。

热阻R:整个平板导热热阻称热阻。

3）热阻的特点：

串联热阻叠加原则：在一个串联的热量传递过程中，若通过各串联环节的

热流量相同，则串联过程的总热阻等于各串联环节的分热阻之和。

因此，稳态传热过程热阻的组成是由各个构成环节的热阻组成，且符合热阻

叠加原则。

3、爱合壁的导热情况

复合壁（多层壁）：就是由几层不同材料叠加在一起组成的复合壁。

以下讨论三层复合壁的导热问题，如图2-7所示：

假设条件：层与层间接触良好，没有引起附加热阻（亦称为接触热阻）也就是说

通过层间分界面时不会发生温度降。

已知各层材料厚度为51、62、63的导热系数为AlX2入3,多层壁内外

表面温度为tI.t4,其中间温度12、（3未知，卜=const<.

试求：通过多层壁的热流密度q

解：根据平壁导热公式可知各层热阻为

51/।=（t।-t2）/q;32/入2=（t2-13）/q;63/入3=（乜-t4）/q

根据串联热阻叠加原理得多层壁的总热阻为（适用条件：无内热源，一维稳态导热）

（t।-t4）/q=§1/入i+S2/入2+63/3

则多层壁热流密度计算公式q=（ll81/X1+82/入2+63/X3]

将q代入各层热阻公式，得层间分界面上未知温度t2；t3

t2=lI-q（61/X]）；t3=t2-q（62/X2）

说明：当导热系数X对温度t有依变关系时，即入是t的线性函数时X=

入O（l+bt）时，只需求得该区域平均温度下的人值，代入以上公式（X=const）

即可求出正确结果。

二、通过圆筒壁的导热

1、单层圆筒壁

已知圆筒内、外半径分别为rl、r2,内外表面温度均匀恒定分布且

分别为tl、t2,若采用圆柱坐标系（r,0，z）求解则成为沿半径

方向的一维导热问题，如图2-8所示假设：X=const0

1）圆筒壁的温度分布

根据圆柱坐标系中的导热微分方程：

dt八次、18八次、..

3—=--z-（）■,r^?（4"^）十^7（4^7）十»

drydydyy，JOgdZdZ

得常物性、稳态、一维、无内热源圆筒壁的导热微分方程为：

如图建立坐标系，圆筒边界条件为：

当r=r1时l=tI；r=r2时l=t2

对此方程积分得其通解（连续积分两次）：

其中c1c2均为常数，且由边界条件确定。

当r=r1时，1=11；r=r2时1=12

代入上式得

C=11_c2=q_1n.

1ln（X）皿%）

将CIC2代入导热微分方程的通解中得圆筒壁的温度分布为：

由此可见，圆筒壁中的温度分布呈对数曲线，而平壁中的温度分布呈线性分布。

2）圆筒壁导热的热流密度

对圆筒壁温度分布求导得：

代入傅立叶定律得通过圆筒壁的热流密度：

由此可见，通过圆筒壁导热时，不同半径处的热流密度与半径成反比。

3)圆筒壁面的热流量中

<D=Aq=2nrlq=[2兀X1(t1-t2)J/In(r2/rI)

由此可见，通过整个圆筒壁面的热流量不随半径的变化而变化。

•多层圆筒壁

据热阻的定义，通过圆通壁的导热热阻为R=At/中=[In(r2/r1)]/2JiXL

同理：对于多层圆通壁的导热问题，可根据热阻叠加原理，求：通过多层圆通壁的导

热热流量：

三、其他变截面或变导热系数的导热问题

前三种情况的求解方法：1)求解导热微分方程得其温度分布；

2)据傅立叶定律获得导热热流量。

1、变导热系数

根据傅立叶定律求解而导热系数为变数或沿导热热流密度矢量方向导热截面积为变

量时，此方法有效。

•・•导热系数为温度的函数、⑴，根据傅立叶定律得：①二-A入⑴(dt/dx)

分离变数积分，而力与X无关系，则得：

方程右边乘以(t2-t1)/(t2-t1-)得：

显然式中项是在I至t2范闱内，由入⑴积分平均值，可用表示

则：

-J：MQ4

・・・.I代替不受到A与X关系的制约

力.3-、[

・・・/A适于任何的A,X

在方程中若x=X(t),贝lj：X=X()(l+bt)或X=x()+at

由此可见：是算术平均温度下t=(t1+t2)/2的值只需把前述公式的X取平均温

度下的值即可。

综上所述四种情况的共同特点：通过热量传递的方向上中保持不变。

,变截面导热

沿热量传递方向截面变化时可表示为：A=A(x)

则：ct)=-A(x)X(dt/dx)

通过助片的导热(变截面)属变截面导热问题，详见§2-4

§2-4通过肋片的导热

一基本概念

1、肋片：指依附于基础表面上的扩展表面

2、常见肋片的结构：针肋直肋环肋大套片

3、肋片导热的作用及特点

1）作用：增大对流换热面积及辐射散热面，以强化换热

2）特点：在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射散热，肋片中沿导热热流传

递的方向上热流量是不断变化的。即：①Wconsl。

4、分析肋片导热解决的问题

一是：确定肋片的温度沿导热热流传递的方向是如何变化的？

二是：确定通过肋片的散热热流量有多少？

二、通过等截面直肋的导热

图271通过肋片的热敏传递

如图2-11所示，已知助根温度为tO,周围流体温度为t8,且tO>t,为复合换

热的表面传热系数h。试确定：肋片中的温度分布及通过肋片的散热量

解：假设1）肋片在垂直于纸面方向（即深度方向）很长，不考虑温度沿该方向的变

化，因此取单位长度分析；

2）材料导热系数X及表面传热系数h均为常数，沿肋高方向肋片横截面积

Ac不变；

3）表面上的换热热阻1/h,远大于肋片的导热热阻6/人，即肋片上任意截面

上的温度均匀不变；

4）肋片顶端视为绝热，即dt/dx=O；

在上述假设条件下，把复杂的肋片导热问题转化为一维稳态导热如图2-11（b）。

若肋片各截面的温度沿高度方向是逐渐降低的如图2-11(c),则导热微分方程:

(1)

计算区域的边界条件是：x=0,1=10-18；

x=h,dt/dx=0

肋片的两个侧面不是区域边界，但通过两表面有热量的传递。.若把通过两侧面所交

换的热量视为整个截面上的体积热源，那么针对长度为dx的微元体，参与换热的截

面周长为P,微元体则表面的总散热量为：

①s=(pdx)h(t-t8)

(2)

微元体的体积为：Acdx,那么，微元体的折算源项为：(3)

负号表示肋片向环境散热，所以源项取负。

由(1)(3)式得：d2t/dx2=hp(t-t00)/(入Ac)

(4)

由此可见，该式为温责t的二阶非齐次方程。

引入过余温度8,使(4)式变形成为二阶齐次方程；d29/dx2=m2G

边界条件当x=O时，0=0o=to—too；当x=H时，d。/dx=0

对二阶线性齐次常微分方程求解得其通解：

其中，为积分常数，由边界条件确定之。将边界条件代入得：

勺■稣勺/^一勺***1r■o

将其代入通解中得肋片中的温度分布为：

。=80(cmx+c2mHc-mx)/(1+c2mH)=00ch[m(x-H)]/ch(mH)

令：x=H,则得肋端温度的计算式：0H=00/ch(mH)

据能量守恒定律知，助片散入外界的全部热流量都必须通过x=0处的肋根截面。

据傅里叶定律得知通过肋片散入外界的热流量为

①x=0=-XAc(d0/dx)x=0

=-XAc00(-m).sh(mH)/ch(mH)

=AAc00m.lh(mH)

=(hp/m)00th(mH)

说明：1)上述结论是假当在x=H时，d0/dx=0o若x=H时，不适用；

2)计算①时比较简便的方法。若肋片的厚度8,引入假想高度H',

三、肋效率

•定义：实际散热量/假设整个肋表面处于肋基温度下的散热量。

•物理意义：表征肋片散热有效程度的指标。

第三章非稳态导热分析解法

本章主要要求:

1、重点内容：①非稳态导热的基本概念及特点；

②集总参数法的基本原理及应用；

③一维及二维非稳态导热问题。

2、掌握内容：①确定瞬时温度场的方法：

②确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算

方法。

3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。

许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度

达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因

热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的

非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金

属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。

§3-1非稳态导热的基本概念

一、非稳态导热

1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。

2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：

1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：

2）物体的温度随时间而作周期性变化

如图3-1所示，设一平壁，初值温度t0,令其左测的表面温

度突然升高到并保持不变，而右侧仍与温度为的空气接触，试分

析物体的温度场的变化过程。

首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍

保持原来的t0O

如图中曲线IIBD,随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范

闹扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD、

HE、HF。

最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG

（若X=const,则HG是直线）。阳3T

由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参过程中的11度分金

与换热的两个不同阶段。

（1）第一阶段（右侧面不参与换热）

温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分

布，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。

（2）第二阶段，（右侧面参与换热）

当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受to影响，主要取决于边界

条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。止规状况阶段的温度变化