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高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省西安市鄠邑区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】集合,所以.故选:C.2.已知集合,,若中恰有三个元素,则由a的取值组成的集合为()A. B. C. D.【答案】D【解析】因为中恰有三个元素,所以或或,结合集合中元素的互异性,解得或或(舍去)或.故选:D.3.若,则一定有()A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A,若,令,,则,,,故A不正确;对于B、C,令,,,但,,故B、C不正确;对于D,,则,,所以,故D正确.故选:D.4.已知命题,,若为假命题,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意可知,为真命题,由于时等号成立,所以.故选:D.5.已知函数,若,则实数的值为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得,故,所以.故选:A.6.下列函数中,既是偶函数又在上单调递减的函数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是奇函数,不符合题意;函数是偶函数,且在上单调递增,不符合题意;函数是偶函数又在上单调递减,符合题意.故选:D.7.函数,和的图象如图所示,则下列四个说法错误的是()A.如果,那么 B.如果,那么C.如果,那么 D.如果时,那么【答案】B【解析】,和的图象都过点,的图象都过点.A选项,如果,根据图象可知:,A选项正确;B选项,如果,根据图象可知:或,B选项错误;C选项,如果,根据图象可知:,C选项正确;D选项,如果时,根据图象可知:,D选项正确.故选:B.8.如图,点在边长为1的正方形边上运动,是的中点,当点沿运动时,点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】当点在上时,,当点在上时,,当点在上时,,其中A选项符合要求,B、C、D都不符合要求,故A正确.故选:A.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错或不选的得0分.9.下列叙述正确的是()A若,则B.C.,,则D.有个非空子集【答案】BD【解析】是个集合,所以,A错误;是的一个子集,所以,B正确;是点集,是数集,所以集合与集合没有关系,C错误;的非空子集有,与,共3个,D正确.故选:BD.10.对任意两个实数,定义若,,下列关于函数的说法正确的是()A.函数是偶函数B.方程有三个解C.函数在区间上单调递增D.函数有4个单调区间【答案】ABD【解析】根据函数与,画出函数的图象,如图:由图象可知,函数关于y轴对称,所以A项正确;函数的图象与x轴有三个交点,所以方程有三个解,所以B项正确;函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,所以C项错误,D项正确.故选:ABD.11.已知正数,满足,则()A.有最大值 B.有最小值8C.有最小值4 D.有最小值【答案】ACD【解析】A:,则当且仅当,时取等号,正确;B:,当且仅当时取等号,错误;C:,当且仅当时取等号,正确;D:,故最小值为,正确.故选:ACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设,,若是的充分不必要条件,则的取值范围是______.【答案】【解析】因为,所以,所以.又因为是的充分不必要条件,所以是的真子集,所以,所以.13.当时,不等式的解集为___________.【答案】【解析】依题意,,且函数的开口向下,两个零点为和,所以不等式的解集为.14.设,则________.【答案】7【解析】,其中,.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.集合,,.(1)求(2)现有两个条件:①,②条件,,若是的充分不必要条件;在这两个条件中任选一个填到横线上,并解答本题,选择多个条件作答时,按第一选择给分.已知___________,求实数的取值范围.解:(1),,或,或.(2)选①,由可得,当时,解得,当时,解得综上所述,.选②,由是的充分不必要条件,可得且即,当时,解得,当时,且两等号不能同时取得,解得,综上所述,.16.已知函数.(1)当时,解不等式;(2)若,的解集为,求最小值.解:(1)当时,,则,即,解得或,所以不等式的解集为.(2)因为的解集为,所以方程的解为,且,则,因为,所以,则,当且仅当,即时,取等号,所以最小值为.17.已知函数是定义在上的奇函数,且.(1)求函数的解析式;(2)判断在上的单调性,并用单调性定义证明.解:(1)由得,由函数是定义在上的奇函数得即,联立解得,,,经过检验,满足题意.故.(2)在上单调递减.,,且,,,,又,,,,,,即,在上单调递减.18.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为,已知此生产线的年产量最小为60吨,最大为110吨.(1)年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;(2)若每吨产品的平均出厂价为24万元,且产品能全部售出,则年产量为多少吨时,可以获得最大利润?并求最大利润.解:(1),,当且仅当时,即取“=”,符合题意,∴年产量为100吨时,平均成本最低为16万元.(2),又,∴当时,.答:年产量为110吨时,最大利润为860万元.19.已知函数的定义域为,若存在区间,使得,则称区间为函数的“和谐区间”.如:函数在区间上的值域为,则为函数的“和谐区间”.(1)请直接写出函数的所有的“和谐区间”;(2)在直角坐标系中画出函数的图象;(3)若为函数的一个“和谐区间”,求的值.解:(1)设函数一个“和谐区间”为,所以在上的值域为,由于函数在上单调递增,所以有即a,b是的根,方程的根为,,,所以函数的所有的“和谐区间”为、、.(2)函数的图象如下.(3)是函数的一个“和谐区间”,所以在上的值域为,由的图象可知:,令,解得,或;当时,值域为,则;当时,值域为,所以,综上所述,的值为1或2.陕西省西安市鄠邑区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则()A. B.C. D.【答案】C【解析】集合,所以.故选:C.2.已知集合,,若中恰有三个元素,则由a的取值组成的集合为()A. B. C. D.【答案】D【解析】因为中恰有三个元素,所以或或,结合集合中元素的互异性,解得或或(舍去)或.故选:D.3.若,则一定有()A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A,若,令,,则,,,故A不正确;对于B、C,令,,,但,,故B、C不正确;对于D,,则,,所以,故D正确.故选:D.4.已知命题,,若为假命题,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意可知,为真命题,由于时等号成立,所以.故选:D.5.已知函数,若,则实数的值为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得,故,所以.故选:A.6.下列函数中,既是偶函数又在上单调递减的函数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是奇函数,不符合题意;函数是偶函数,且在上单调递增,不符合题意;函数是偶函数又在上单调递减,符合题意.故选:D.7.函数,和的图象如图所示,则下列四个说法错误的是()A.如果,那么 B.如果,那么C.如果,那么 D.如果时,那么【答案】B【解析】,和的图象都过点,的图象都过点.A选项,如果,根据图象可知:,A选项正确;B选项,如果,根据图象可知:或,B选项错误;C选项,如果,根据图象可知:,C选项正确;D选项,如果时,根据图象可知:,D选项正确.故选:B.8.如图,点在边长为1的正方形边上运动,是的中点,当点沿运动时,点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】当点在上时,,当点在上时,,当点在上时,,其中A选项符合要求,B、C、D都不符合要求,故A正确.故选:A.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错或不选的得0分.9.下列叙述正确的是()A若,则B.C.,,则D.有个非空子集【答案】BD【解析】是个集合,所以,A错误;是的一个子集,所以,B正确;是点集,是数集,所以集合与集合没有关系,C错误;的非空子集有,与,共3个,D正确.故选:BD.10.对任意两个实数,定义若,,下列关于函数的说法正确的是()A.函数是偶函数B.方程有三个解C.函数在区间上单调递增D.函数有4个单调区间【答案】ABD【解析】根据函数与,画出函数的图象,如图:由图象可知,函数关于y轴对称,所以A项正确;函数的图象与x轴有三个交点,所以方程有三个解,所以B项正确;函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,所以C项错误,D项正确.故选:ABD.11.已知正数,满足,则()A.有最大值 B.有最小值8C.有最小值4 D.有最小值【答案】ACD【解析】A:,则当且仅当,时取等号,正确;B:,当且仅当时取等号,错误;C:,当且仅当时取等号,正确;D:,故最小值为,正确.故选:ACD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设,,若是的充分不必要条件,则的取值范围是______.【答案】【解析】因为,所以,所以.又因为是的充分不必要条件,所以是的真子集,所以,所以.13.当时,不等式的解集为___________.【答案】【解析】依题意,,且函数的开口向下,两个零点为和,所以不等式的解集为.14.设,则________.【答案】7【解析】,其中,.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.集合,,.(1)求(2)现有两个条件:①,②条件,,若是的充分不必要条件;在这两个条件中任选一个填到横线上,并解答本题,选择多个条件作答时,按第一选择给分.已知___________,求实数的取值范围.解:(1),,或,或.(2)选①,由可得,当时,解得,当时,解得综上所述,.选②,由是的充分不必要条件,可得且即,当时,解得,当时,且两等号不能同时取得,解得,综上所述,.16.已知函数.(1)当时,解不等式;(2)若,的解集为,求最小值.解:(1)当时,,则,即,解得或,所以不等式的解集为.(2)因为的解集为,所以方程的解为,且,则,因为,所以,则,当且仅当,即时,取等号,所以最小值为.17.已知函数是定义在上的奇函数,且.(1)求函数的解析式;(2)判断在上的单调性,并用单调性定义证明.解:(1)由得,由函数是定义在上的奇函数得即,联立解得,,,经过检验,满足题意.故.(2)在上单调递减.,,且,,,,又,,,,,,即,在上单调递减.18.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为,已知此生产线的年产量最小为60吨,最大为110吨.(1)年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;(2)若每吨产品的平均出厂价为24万元,且产品能全部售出,则年产量为多少吨时,可以获得最大利润?并求最大利润.解:(1),,当且仅当时,即取“=”,符合题意,∴年产量为100吨时,平均成本最低为16万元.(2),又,∴当时,.答:年产量为110吨时,最大利润为860万元.19.已知函数的定义域为,若
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