2023-2024学年浙江省台州市高一上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省台州市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若幂函数的图象过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由幂函数的图象过点，所以，解得，故，所以.故选：D2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，在中，即，所以的定义域为.故选：A.3.下列函数在其定义域上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】反比例函数在和上单调递增，在定义域上不单调，A选项不满足条件；指数函数在定义域上单调递减，B选项不满足条件；对数函数在其定义域上单调递增，C选项满足条件；正切函数在定义域上不单调，D选项不满足条件.故选：C.4.若，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】若，，，当且仅当等号成立，A选项错误；，当且仅当等号成立，B选项正确；，得，当且仅当等号成立，C选项错误；，得，当且仅当等号成立，D选项错误.故选：B.5.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】A选项中，函数与，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；B选项中，函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数；C选项中，函数定义域为，函数定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D选项中，函数与函数，对应关系不同，不是同一函数.故选：A.6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，，则.故选：A.7.已知，若是10位数，则的最小值是（）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】B【解析】若是10位数，则取最小值时，应满足，则有，，由，则的最小值是30.故选：B.8.已知函数部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函数，令，由二次函数性质可知：图象关于对称，时，单调递增，时，单调递减，在处达到最大值，由图象得：，则，根据复合函数的性质可得：图象关于对称，时，单调递增，时，单调递减，在处达到最大值，则，且最大值为，结合图象可知，所以.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由，得，，AB正确；显然，即，C正确；函数在上单调递增，则，D错误.故选：ABC.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.点是函数图象的一个对称中心C.函数在区间上单调递减D.函数的最大值为1【答案】BC【解析】结合题意：，即，对于选项A:由可得，所以，故选项A错误；对于选项B:将代入得：，所以点是函数图象的一个对称中心，故选项B正确；对于选项C:对于，令，则，因为，所以，而在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项C正确；对于选项D:对于，当，即，，故选项D错误.故选：BC11.定义域均为的奇函数和偶函数，满足，则（）A.，使得B.，使得C.，都有D.，都有【答案】ACD【解析】因为，则，因为为奇函数和为偶函数，所以，所以，联立，可得，，对于选项A:由，易判断函数在上单调递增，且值域为，故，使得，故选项A正确；对于选项B:由，因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值，而，当且仅当时取到，故（不能同时取等），故不存在，使得，故选项B错误；对于选项C:由，，可得，而，，所以，故，都有，故选项C正确；对于选项D：因为为奇函数和为偶函数，所以，，故，都有，故选项D正确.故选：ACD.12.设是正整数，集合对于集合中任意元素和，记，.则（）A.当时，若，则B.当时，的最小值为C.当时，恒成立D.当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合中元素至多7个【答案】BD【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B，，而，故当时，此时取最小值，比如时，，故B正确；对于C，时，，，，不符合，故C错误；对于D，不妨设中一个元素，，由于，则中相同位置上的数字最多有两对互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，不妨设此时，那么与相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同的元素有此时，其中，，而，与中相同位置上的数字有两对是不相同的，此时，满足，若与相同位置中有2对的数字互为相反数，那么就与有3对相同位置上的元素互为相反数，不符合，因此此时中满足条件的元素有7个，若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，不妨设，此时与元素重复，综上可知中元素最多7个，D正确.故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.角是第_____________象限角.【答案】二【解析】由象限角的定义可知，的角是第二象限角．故答案为：二.14.已知函数（，且）的图象过定点，则该定点的坐标是_________.【答案】【解析】在函数（，且）中，令，则，所以该定点的坐标是.故答案为：.15.已知，的值为_________.【答案】2【解析】因为，所以.故答案为：2.16.若函数在上的最小值为1，则正实数的值为_________.【答案】【解析】由题可得，因为函数在上的最小值为1，当时，在上，在单调递减，单调递增，所以，解得（舍）；当时，在上在单调递减，单调递增，所以，解得（舍）；当时，在上，在单调递减，单调递增，所以，解得.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知，.（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）若，则，，所以.（2）若是的充分不必要条件，则，得，故的取值范围是.19.已知函数的最大值为2.（1）求常数的值；（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的取值范围.解：（1），因为的最大值为2，所以，故.（2），函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得，由，得，所以，，故在区间上的取值范围是.20.从①；②函数为奇函数；③的值域是，这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题.问题：已知函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若对任意恒成立，求实数的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）若填①：由，可得，解得，所以.若填②：由函数，因为函数为奇函数，故，可得，解得，所以，即，经验证：，符合题意，所以.若填③：由，可得，则，即，又由的值域是，可得，故，所以.（2），且，则，所以函数在上单调递减，又因为，满足，所以为奇函数，由不等式，可得，则，所以，令，记，所以，所以，所以的最小值为.21.如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.（1）设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）；（2）在升降过程中，求铰点距离的最大值.解：（1）记轨道圆心为，则，设劣弧的长为，则，得，.（2）由已知，，，，则，又，所以，则，令，有，则，，因为，当且仅当时，取到等号，所以铰点距离的最大值为.22.已知函数.（1）用单调性定义证明：在上单调递增；（2）若函数有3个零点，满足，且.①求证：；②求的值（表示不超过的最大整数）.解：（1），且，有，由，得，所以，得，又由，得.于是，即，所以函数在上单调递增.（2）①要使有3个零点，由（1）知，函数在，上存在一个零点，在上存在两个零点，且，代入，得，于是，因为，所以②由，代入式，得，令，且，有，由于，所以，而，则，故，故函数在上单调递增，又因为，，所以，得.浙江省台州市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若幂函数的图象过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由幂函数的图象过点，所以，解得，故，所以.故选：D2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，在中，即，所以的定义域为.故选：A.3.下列函数在其定义域上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】反比例函数在和上单调递增，在定义域上不单调，A选项不满足条件；指数函数在定义域上单调递减，B选项不满足条件；对数函数在其定义域上单调递增，C选项满足条件；正切函数在定义域上不单调，D选项不满足条件.故选：C.4.若，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】若，，，当且仅当等号成立，A选项错误；，当且仅当等号成立，B选项正确；，得，当且仅当等号成立，C选项错误；，得，当且仅当等号成立，D选项错误.故选：B.5.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】A选项中，函数与，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；B选项中，函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数；C选项中，函数定义域为，函数定义域为R，定义域不同，不是同一函数；D选项中，函数与函数，对应关系不同，不是同一函数.故选：A.6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，，则.故选：A.7.已知，若是10位数，则的最小值是（）A.29 B.30 C.31 D.32【答案】B【解析】若是10位数，则取最小值时，应满足，则有，，由，则的最小值是30.故选：B.8.已知函数部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函数，令，由二次函数性质可知：图象关于对称，时，单调递增，时，单调递减，在处达到最大值，由图象得：，则，根据复合函数的性质可得：图象关于对称，时，单调递增，时，单调递减，在处达到最大值，则，且最大值为，结合图象可知，所以.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由，得，，AB正确；显然，即，C正确；函数在上单调递增，则，D错误.故选：ABC.10.已知函数，则（）A.函数的最小正周期为B.点是函数图象的一个对称中心C.函数在区间上单调递减D.函数的最大值为1【答案】BC【解析】结合题意：，即，对于选项A:由可得，所以，故选项A错误；对于选项B:将代入得：，所以点是函数图象的一个对称中心，故选项B正确；对于选项C:对于，令，则，因为，所以，而在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项C正确；对于选项D:对于，当，即，，故选项D错误.故选：BC11.定义域均为的奇函数和偶函数，满足，则（）A.，使得B.，使得C.，都有D.，都有【答案】ACD【解析】因为，则，因为为奇函数和为偶函数，所以，所以，联立，可得，，对于选项A:由，易判断函数在上单调递增，且值域为，故，使得，故选项A正确；对于选项B:由，因为，所以，当且仅当，即时，取得最小值，而，当且仅当时取到，故（不能同时取等），故不存在，使得，故选项B错误；对于选项C:由，，可得，而，，所以，故，都有，故选项C正确；对于选项D：因为为奇函数和为偶函数，所以，，故，都有，故选项D正确.故选：ACD.12.设是正整数，集合对于集合中任意元素和，记，.则（）A.当时，若，则B.当时，的最小值为C.当时，恒成立D.当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合中元素至多7个【答案】BD【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B，，而，故当时，此时取最小值，比如时，，故B正确；对于C，时，，，，不符合，故C错误；对于D，不妨设中一个元素，，由于，则中相同位置上的数字最多有两对互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，不妨设此时，那么与相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同的元素有此时，其中，，而，与中相同位置上的数字有两对是不相同的，此时，满足，若与相同位置中有2对的数字互为相反数，那么就与有3对相同位置上的元素互为相反数，不符合，因此此时中满足条件的元素有7个，若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，不妨设，此时与元素重复，综上可知中元素最多7个，D正确.故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.角是第_____________象限角.【答案】二【解析】由象限角的定义可知，的角是第二象限角．故答案为：二.14.已知函数（，且）的图象过定点，则该定点的坐标是_________.【答案】【解析】在函数（，且）中，令，则，所以该定点的坐标是.故答案为：.15.已知，的值为_________.【答案】2【解析】因为，所以.故答案为：2.16.若函数在上的最小值为1，则正实数的值为_________.【答案】【解析】由题可得，因为函数在上的最小值为1，当时，在上，在单调递减，单调递增，所以，解得（舍）；当时，在上在单调递减，单调递增，所以，解得（舍）；当时，在上，在单调递减，单调递增，所以，解得.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知，.（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）若，则，，所以.（2）若是的充分不必要条件，则，得，故的取值范围是.19.已知函数的最大值为2.（1）求常数的值；（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的取值范围.解：（1），因为的最大值为2，所以，故.（2），函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得，由，得，所以，，故在区间上的取值范围是.20.从①；②函数为奇函数；③的值域是，这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题.问题：已知函数，且.（1）求函数的解析式；（2）若对任