2023-2024学年四川省成都市锦江区高一上学期期末练习数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市锦江区2023-2024学年高一上学期期末数学练习卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则集合()A. B.C. D.【答案】C【解析】全集，集合，则集合，且，所以集合.故选：C.2.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为角的终边经过点，所以.故选：C.3.若函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故排除BD，当时，，，所以，故排除A，而C满足题意.故选：C.4.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数在上单调递增，而，因此，而，所以.故选：B.5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据，满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以，，所以.故选：A.6.若，且是方程的两实根，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于是方程的两实根，所以，又，所以，故，由于，，所以，故，因此，所以.故选：D.7.已知函数的值域为，的值域为，则（）A.0 B.1 C.3 D.5【答案】A【解析】因为函数的值域为，所以函数的值域为，所以，解得，因为的值域为，，所以的最小值为9，所以，解得，所以．故选：A．8.若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为的“稳定区间”，若区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，，函数与在区间上的单调性相同，当时，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，，则函数在上单调递减，在上单调递增，①在上单调递增，则，解得，②在上单调递减，则，不等式组无解，综上所述：.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数的图象经过点，则（）A.函数为奇函数B.函数在定义域上为减函数C.函数的值域为D.当时，【答案】AD【解析】设幂函数为，将代入解析式得，故，所以，定义域为，因为，故函数为奇函数，故A正确；函数在上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；显然的值域为，故C错误；当时，，即满足，故D正确.故选：AD.10.已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（）A. B.若，则C.若，则 D.若.则【答案】ABD【解析】对于A：等价于，等价于，当且仅当时取等号，对于任意实数都成立，故A正确；对于B：由于，所以，当且仅当，即时取等号，对于任意实数都成立，故B正确；对于C：由于，实数的符号不确定，故的符号也不确定，故C错误；对于D：由于，则，又因为，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，下列四个结论中，正确的有（）A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称 D.函数在上单调递增【答案】AD【解析】函数，最小正周期，A选项正确；由，解得函数的图象的对称轴方程为，当时，得函数的图象关于直线对称，BC选项错误；时，，是正弦函数的单调递增区间，所以函数在上单调递增，D选项正确.故选：AD.12.已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）A.函数的零点的个数为2B.实数的取值范围为C.函数无最值D.函数在上单调递增【答案】ABC【解析】因为函数，可得函数图像如图：由图知函数有2个零点，故A选项正确；函数没有最值，故C选项正确；函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；由于方程有4个不同的实数根，令则有4个不同的实数根，因为恒成立，设两个不等的实根为，由韦达定理知：，则异号，由图可知：，所以，解得，故B选项正确.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】因为“，使得”是假命题，所以“，使得”是真命题，所以，解得.故答案为:.14.若，则的最小值为______．【答案】2【解析】因为，所以，所以，当且仅当时，即时，等号成立.故答案为：.15.若函数满足，则称函数为“类期函数”．已知函数为“－2类期函数”，且曲线恒过点，则点的坐标为__________．【答案】【解析】由题可知，，令得，，故，，所以曲线恒过点.故答案为：.16.已知函数，若函数有7个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】函数的图象如下图所示：令，函数可化为，函数有7个零点，等价于方程有7个不相等的实根，当时，可有三个不相等的实根，当时，可有四个不相等的实根，当时，可有三个不相等的实根，设的两根为，且，若，方程无零根，不符合题意，若，，由题意可知：，若，则有，此时，这时，显然不满足，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.1第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）因为，当时，，因为全集，则或，或，因此，或.（2）易知集合为非空集合，因为是的必要不充分条件，则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.18.已知.（1）化简；（2）若，求的值.解：（1）由题意可得：．（2）因为，则，且，则，所以．19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.解：（1）设，则，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，又因函数是定义在上的奇函数，可得，所以函数在上的解析式为.（2）作出函数的图象，如图所示：由函数图象可知，在上单调递增，要使函数在区间上单调递增，则满足，解得，所以实数的取值范围为.20.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果在前消除了10%的污染物，请解决下列问题：（1）后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到）？（参考数据：，）解：（1）由可知，当时，；当时，，于是有，解得，那么.所以，当时，，即10h后还剩下81%的污染物.（2）当时，有，解得，即污染减少50%大约需要花33h.21.给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定.已知二次函数满足，且______.（1）求的解析式；（2）若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.解：（1）因为二次函数满足，，所以，解得，所以，对称轴为，选①，因为函数的图象与直线只有一个交点，所以，解得，所以的解析式为.选②，设、是函数的两个零点，则，且，可得，由根与系数的关系可知，，所以，解得，所以的解析式为.（2）因为函数有且仅有一个零点，令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，因为，所以有且仅有一个正实根，当，即时，方程可化，解得，不符合题意；当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点，所以方程恒有一个正实根；当，即时，要使得有且仅有一个正实根，则有，解得，综上，实数的取值范围为.22.定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．解：（1）任意，，因为，，所以，所以，即是“1距”增函数．（2），因为是“距”增函数，所以恒成立，因为，所以在上恒成立，所以，解得，因为，所以.（3）因为，，且为“2距”增函数，所以时，恒成立，即时，恒成立，所以，当时，，即恒成立，所以，得；当时，，得恒成立，所以，得，综上所述，得，又，因为，所以，当时，若，取最小值为；当时，若，取最小值，因为在R上是单调递增函数，所以当，的最小值为；当时的最小值为，即.四川省成都市锦江区2023-2024学年高一上学期期末数学练习卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则集合()A. B.C. D.【答案】C【解析】全集，集合，则集合，且，所以集合.故选：C.2.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为角的终边经过点，所以.故选：C.3.若函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故排除BD，当时，，，所以，故排除A，而C满足题意.故选：C.4.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数在上单调递增，而，因此，而，所以.故选：B.5.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据，满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以，，所以.故选：A.6.若，且是方程的两实根，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于是方程的两实根，所以，又，所以，故，由于，，所以，故，因此，所以.故选：D.7.已知函数的值域为，的值域为，则（）A.0 B.1 C.3 D.5【答案】A【解析】因为函数的值域为，所以函数的值域为，所以，解得，因为的值域为，，所以的最小值为9，所以，解得，所以．故选：A．8.若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为的“稳定区间”，若区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，，函数与在区间上的单调性相同，当时，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意；当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，，则函数在上单调递减，在上单调递增，①在上单调递增，则，解得，②在上单调递减，则，不等式组无解，综上所述：.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数的图象经过点，则（）A.函数为奇函数B.函数在定义域上为减函数C.函数的值域为D.当时，【答案】AD【解析】设幂函数为，将代入解析式得，故，所以，定义域为，因为，故函数为奇函数，故A正确；函数在上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；显然的值域为，故C错误；当时，，即满足，故D正确.故选：AD.10.已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（）A. B.若，则C.若，则 D.若.则【答案】ABD【解析】对于A：等价于，等价于，当且仅当时取等号，对于任意实数都成立，故A正确；对于B：由于，所以，当且仅当，即时取等号，对于任意实数都成立，故B正确；对于C：由于，实数的符号不确定，故的符号也不确定，故C错误；对于D：由于，则，又因为，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知函数，下列四个结论中，正确的有（）A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于直线对称C.函数的图象关于点对称 D.函数在上单调递增【答案】AD【解析】函数，最小正周期，A选项正确；由，解得函数的图象的对称轴方程为，当时，得函数的图象关于直线对称，BC选项错误；时，，是正弦函数的单调递增区间，所以函数在上单调递增，D选项正确.故选：AD.12.已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（）A.函数的零点的个数为2B.实数的取值范围为C.函数无最值D.函数在上单调递增【答案】ABC【解析】因为函数，可得函数图像如图：由图知函数有2个零点，故A选项正确；函数没有最值，故C选项正确；函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；由于方程有4个不同的实数根，令则有4个不同的实数根，因为恒成立，设两个不等的实根为，由韦达定理知：，则异号，由图可知：，所以，解得，故B选项正确.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是__________．【答案】【解析】因为“，使得”是假命题，所以“，使得”是真命题，所以，解得.故答案为:.14.若，则的最小值为______．【答案】2【解析】因为，所以，所以，当且仅当时，即时，等号成立.故答案为：.15.若函数满足，则称函数为“类期函数”．已知函数为“－2类期函数”，且曲线恒过点，则点的坐标为__________．【答案】【解析】由题可知，，令得，，故，，所以曲线恒过点.故答案为：.16.已知函数，若函数有7个零点，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】函数的图象如下图所示：令，函数可化为，函数有7个零点，等价于方程有7个不相等的实根，当时，可有三个不相等的实根，当时，可有四个不相等的实根，当时，可有三个不相等的实根，设的两根为，且，若，方程无零根，不符合题意，若，，由题意可知：，若，则有，此时，这时，显然不满足，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.1第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17.已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）因为，当时，，因为全集，则或，或，因此，或.（2）易知集合为非空集合，因为是的必要不充分条件，则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是.18.已知.（1）化简；（2）若，求的值.解：（1）由题意可得：．（2）因为，则，且，则，所以．19.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.解：（1）设，则，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，又因函数是定义在上的奇函数，可得，所以函数在上的解析式为.（2）作出函数的图象，如图所示：由函数图象可知，在上单调递增，要使函数在区间上单调递增，则满足，解得，所以实数的取值范围为.20.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果在前消除了10%的污染物，请解决下列问题：（1）后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到）？（参考数据：，）解：（1）由可知，当时，；当时，，于是有，解得，那么.所以，当时，，即10h后还剩下81%的污染物.（2）当时，有，解得，即污染减少50%大约