2023-2024学年山西省大同市高一上学期期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省大同市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.的值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意.故选：D.2.已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】当，此时满足，，但，充分性不成立，当，时，相加得，即，必要性成立，故是的必要不充分条件.故选：B.3.已知函数定义域是，则函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是.故选：C.4.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得，故函数的定义域为，令，其在上单调递增，在上单调递减，又因为函数为减函数，所以函数的单调递减区间为.故选：A.5.已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的图象，利用函数图象的平移和翻折，作出函数的大致图象，如图所示：可知，，于是，所以，，即，所以，于是，，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围为.故选：C．6.已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，.故选：D.7.已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，若，因为，所以，因为在区间内没有零点，所以，解得；若，因为，所以，因在区间内没有零点，所以，解得；综上，.故选：D.8.不等式对于，恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为不等式对于，恒成立，所以不等式对于，恒成立，令，由对勾函数的性质，函数在上单调递减，所以，所以，.故选：A.二、多项选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，在多项符合题目要求全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知，，则下列结论正确的是（）A.为第二象限角 B.C. D.【答案】ABD【解析】由同角三角函数平分关系可得，因为，所以，解得，，因为，所以是第二象限角，故选项，正确；有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误；因为，故选项正确.故选：.10.下列表达式正确的是（）A.若，则B.在锐角中，恒成立C.D.，，【答案】BCD【解析】A：由题设，又，故，错；B：由题意且，则，所以，对；C：，对；D：由，又，，故，故，所以，对.故选：BCD.11.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象B.函数为偶函数C.函数在上单调递增D.若，则的最小值为【答案】BCD【解析】函数的图象关于直线对称，，；，，，对于A，函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故错误；对于B，函数，根据余弦函数的奇偶性，可得，可得函数是偶函数，故正确；对于C，由于，，函数在上单调递增，故正确；对于D，因为，，又因为，的周期为，所以则的最小值为，故正确.故选：BCD.12.已知，，则（）A.的最小值为4 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，，，当且仅当，即取等号，故A错误；，当且仅当，即取等号，故B正确；，故当时，取到最小值，此时，满足题意，故C正确；，当且仅当，即时等号成立，所以D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案写在题中横线上.）13.若为偶函数，则实数__________．【答案】3【解析】若是偶函数，则，即，所以，所以，所以，所以，当时，，定义域为，关于原点不对称，不符合，舍去，当时，，定义域为，关于原点对称，符合题意，综上所述，.故答案为：.14.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，且d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为：_______；则d与时间t之间的关系是_________．【答案】且，且【解析】由题设，d与时间t之间的关系式为且，筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，则，可得，筒车半径为3米，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米，则，，又盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，在水面下则d为负数，所以，可得，故，所以，且.故答案为：且，且.15.已知函数，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则的取值范围是______.【答案】【解析】由函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，得，若函数在区间上的值域为，因为，，再由的单调性可知.故答案为：.16.关于函数有下述结论：①是偶函数；②函数是周期函数，且最小正周期为；③函数在区间上单调递减；④函数在有3个零点；⑤函数的最大值为2．其中所有正确结论的编号是__________．【答案】①③④⑤【解析】①函数的定义域为R，又，∴函数是偶函数，故①正确；②当时，，时，，故最小正周期不为，故②错误；③当时，，在上单调递减，故③正确；④∵函数是偶函数，∴只需要考虑上的零点个数，此时，在上有2个零点，为，∴在有3个零点，为，故④正确；⑤∵函数是偶函数，∴考虑的情况即可，当时，，∴的最大值为2，故⑤正确．故答案为：①③④⑤.四、解答题（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.计算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）因为，所以，即，所以.（2）.18.设函数.（1）求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；（2）求在上的最值.解：（1）因为，令，解得，所以的对称轴方程为，令，得，可得函数图象的对称中心的坐标为.（2）因为，所以，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，，，故.19.定义域为R的函数是奇函数.（1）求实数a的值；（2）若存在，使得成立，求实数k的取值范围.解：（1）法一：因为是奇函数，所以，即，解得此时，故是奇函数，故.法二：因为是奇函数，所以，即对恒成立，所以.（2）由（1）知，则在上为减函数，又是奇函数，由得：，所以，即在上有解，记，则，因为，则，所以，所以，所以，即.20.如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.（1）设，求三角形木块面积；（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.解：（1）过点作交于点，设交于点，所以，，所以.（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以可只分析时的情况，，，所以，令，，故，，，，，，，函数在单调递增，所以当时，的面积最大，最大值为.21.函数.（1）若，求的值域；（2）最小值为，若，求及此时的最大值.解：（1）若，则，即，因为，所以，则，所以的值域为.（2），因为，所以：若，即，，若，即，，若，即，，由题若，则时，，无解；时，，无解；时，，即，解得或舍去；综上：，此时，，所以的最大值为.山西省大同市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.的值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意.故选：D.2.已知a，b，c，d为实数，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】当，此时满足，，但，充分性不成立，当，时，相加得，即，必要性成立，故是的必要不充分条件.故选：B.3.已知函数定义域是，则函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是.故选：C.4.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得，故函数的定义域为，令，其在上单调递增，在上单调递减，又因为函数为减函数，所以函数的单调递减区间为.故选：A.5.已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的图象，利用函数图象的平移和翻折，作出函数的大致图象，如图所示：可知，，于是，所以，，即，所以，于是，，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围为.故选：C．6.已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以，.故选：D.7.已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，若，因为，所以，因为在区间内没有零点，所以，解得；若，因为，所以，因在区间内没有零点，所以，解得；综上，.故选：D.8.不等式对于，恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为不等式对于，恒成立，所以不等式对于，恒成立，令，由对勾函数的性质，函数在上单调递减，所以，所以，.故选：A.二、多项选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，在多项符合题目要求全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知，，则下列结论正确的是（）A.为第二象限角 B.C. D.【答案】ABD【解析】由同角三角函数平分关系可得，因为，所以，解得，，因为，所以是第二象限角，故选项，正确；有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误；因为，故选项正确.故选：.10.下列表达式正确的是（）A.若，则B.在锐角中，恒成立C.D.，，【答案】BCD【解析】A：由题设，又，故，错；B：由题意且，则，所以，对；C：，对；D：由，又，，故，故，所以，对.故选：BCD.11.已知函数的图象关于直线对称，则（）A.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象B.函数为偶函数C.函数在上单调递增D.若，则的最小值为【答案】BCD【解析】函数的图象关于直线对称，，；，，，对于A，函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故错误；对于B，函数，根据余弦函数的奇偶性，可得，可得函数是偶函数，故正确；对于C，由于，，函数在上单调递增，故正确；对于D，因为，，又因为，的周期为，所以则的最小值为，故正确.故选：BCD.12.已知，，则（）A.的最小值为4 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最小值为【答案】BCD【解析】对于A，，，当且仅当，即取等号，故A错误；，当且仅当，即取等号，故B正确；，故当时，取到最小值，此时，满足题意，故C正确；，当且仅当，即时等号成立，所以D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．把答案写在题中横线上.）13.若为偶函数，则实数__________．【答案】3【解析】若是偶函数，则，即，所以，所以，所以，所以，当时，，定义域为，关于原点不对称，不符合，舍去，当时，，定义域为，关于原点对称，符合题意，综上所述，.故答案为：.14.如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，且d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为：_______；则d与时间t之间的关系是_________．【答案】且，且【解析】由题设，d与时间t之间的关系式为且，筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，则，可得，筒车半径为3米，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米，则，，又盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，在水面下则d为负数，所以，可得，故，所以，且.故答案为：且，且.15.已知函数，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则的取值范围是______.【答案】【解析】由函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，得，若函数在区间上的值域为，因为，，再由的单调性可知.故答案为：.16.关于函数有下述结论：①是偶函数；②函数是周期函数，且最小正周期为；③函数在区间上单调递减；④函数在有3个零点；⑤函数的最大值为2．其中所有正确结论的编号是__________．【答案】①③④⑤【解析】①函数的定义域为R，又，∴函数是偶函数，故①正确；②当时，，时，，故最小正周期不为，故②错误；③当时，，在上单调递减，故③正确；④∵函数是偶函数，∴只需要考虑上的零点个数，此时，在上有2个零点，为，∴在有3个零点，为，故④正确；⑤∵函数是偶函数，∴考虑的情况即可，当时，，∴的最大值为2，故⑤正确．故答案为：①③④⑤.四、解答题（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.计算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）因为，所以，即，所以.（2）