2024年第十五届学而思高中数学数学竞赛联考试题

第十五届学而思数学竞赛联考试题第一试一、填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)1.设函数fi(x)=√5x²-8,对任意正整数n,定义函数fn+1(x)=fi(fn(x)),则方程f²024(x)=x的实数解为3.在△ABC中，并且∠BAC的内角平则当△ABC的面积最小时，该三角形的周长为A;作抛物线C:y²=4x的切线，且满足切点B;与原点不重合，设B;和抛物线C的焦点F的连线与C交于另一点C;,记C;的坐标为(a;,b;),则的正整数k的个数为所以满足题意的正整数k的个数为4×2×2=16.6.给定实数t,若实数a,b满足t≤a≤t+2,方程z²-az+b=0的两复根之试求出最大的实数S₁以及最小的实数S₂使得不等式S₁≤S≤S₂恒成立.第二试点，且满足EC=CA.过E作直线直线AD于点G.设X,Y分别是线段AF,AG的中点，Z,W分别是线段BE,DE的中点.证明：△WBX的外接圆与△ZDY的外接圆相切.Ak4.设质数p和正整数k满足p|2k-1.证明：存在正整数m及正整数1≤a₁<a₂<…<am≤p-1,第十五届学而思数学竞赛联考试题第一试一、填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)f₃(x)=√5(52·x²-6·8)-8=√53·x²-31·f4(x)=√5(5³·x²-31·8)-8=√5⁴·x²-156·易知f2024=√52024.x²-2(52024-1设AB=c,AC=b,则A;作抛物线C:y²=4x的切线，且满足切点B;与原点不重合，设B;和抛介令x=0→y=t=i,介所以满足题意的正整数k的个数为4×2×2=16.6.给定实数t,若实数a,b满足t≤a≤t+2,方程z²-az+b=0的两复根之若方程z²-az+b=0有两个虚根所以点P(a,b)在平面上构成的区域的面积为7.称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球，如果四面体ABCD存在棱切球，且AB=AD=6,AC=CD=8,径的乘积为解答如图，设L,E,F,H,J,K分别为棱则该四面体的体积与棱切球半则△ABD是边长为6的正三角形，CA=CB=CD=8→点C在面ABD设棱切球半径为r,OG=v,则8.称S={1,2,…,9}的非空子集A是“好的”,当且仅当将A中的数从小到大排列后，不存在连续的三个偶数，则S的好子集的个数为_集合A有4个，此时集合A共有12个；若三数为2,4,8,由于1,9可任意抽取，此时集合A共有4个；同理若三数为2,6,8,此时集合A共有4个；同理若三数为4,6,8,此时集合A共有12个；的集合A共有36个.所以好子集共有511-36=475个.二、解答题(本大题共3小题，第9题16分，第10,11题各20分，共56分)的复数z,使得不等式|f(z)|≥m成立.若u≠v,且f(u)=f(v)⇔u²+bu+b-2=v²+解答如图，设P(xo,yo),Q(x₁,y₁),R(x₂,y2),则PQ和PR的方程分别为,P(xo,yo)得QR:联立→(3x?-y?)x²-6xox+yB+3=0.点P到直线QR的距离设t=yh-3x²+3>0,则所以点P运动的轨迹方程为3x²-y²=2.11.设正实数a,b,c,d满足：a+b+c+d=abc+bcd+cda+dab,试求出最大的实数S₁以及最小的实数S₂使得不等式S₁≤S≤S₂恒成立.解答等号成立时A=C=arctan2,则S=cosA+2cosB+cosC+2cosD>cosA+cosB+cosC+cosD第二试AD⊥DC,设E是直线BD上的段AF,AG的中点，Z,W分别是线段BE,DE的中点.证明：△WBX的外接圆与△ZDY的外接圆相切.解答如图，设AE的中点为M,连接MX,MB,MC,MZ,MD,MW.注意到A,B,C,D四点共圆且今∠XMZ=∠AFE=∠YDZ→Z,D,M,Y四点共圆.又MZ//AB,MW//AD→∠MWB=∠ADB=∠AFE=∠AXM,则W,B,X,M四点共圆.→A,B,C,D,M五点共圆，于是∠MWB=∠ADB=∠AMB→AE是◎WBX的切线；另一方面，∠ZDM=∠BDM=180°-∠BAM=∠AMZ综上，△WBX的外接圆与△ZDY的外接圆均与直线AE相切于点M.2.已知n为正整数(n≥2).若实数a₁,a₂,…,an∈[-1,1],且a₁+a₂+…+an=0,求的最大值.解答先证明引理：对固定的k,有若r-1>n-r,易知此时n-2r+1<0→n-2r+1≤-1,≤-a²-a₁+n-2=-(a₁+1)²+a₁+na1=a2=…=an=-1,an=…=an-1=1,an=0.3.k为正整数，已知存在一种将正2024边形三角剖分并将其2024个顶点染成k(1)每种颜色至少使用一次；(2)剖分得到的每个小三角形的三个顶点中，均有至少两个顶点颜色相同.求k的最大可能值.解答构造：设所有顶点依次为A₁,A₂,…,A₂024,连接A;A₂染色C,对A₁013染色C1013,容易验证此时所有三角形均有两个顶点颜色相同，且共需1013种颜色.我们证明：若正n边形的n.条边中两端点同色的边有r条，则满足题意的对n使用归纳法.当n=3时，可能有1条或3条同色边，若r=1,则k=2;设n=m时结论成立，当n=m+1时，由于m+1边形剖分共m-1个三角形，从而至少有一个三角形的两条边为正m+1边形的相邻两边，不妨设该若若而设t=mx(modp),t∈{1,2,…,p-1}.nS={x∈{1,2,…,p-1}|