化归思想在二次函数中的应用

化归思想在二次函数中的应用摘要：本文探讨化归思想在二次函数中的应用并且给出教学建议。首先，简要介绍化归思想在数学领域中的意义和作用，然后详细阐述化归思想和二次函数相关概念。最后，通过研究相关书籍和论文，了解众多学者们如何运用化归思想解决二次函数相关问题，以及举出运用的实例，其中的方法就包括将复杂问题简单化、将抽象问题具体化等方面。本文重点介绍学生教材中包含的化归思想以及如何运用，给出化归思想在二次函数教学的应用，包含教学策略的设计、一份教学设计和每个教学阶段的建议。最后，总结化归思想在二次函数教学中的价值。关键词：化归思想；二次函数；中学数学教学

目录TOC\o"1-3"\h\u252111引言 引言研究背景早在原始社会时，人类通过使用工具，逐渐解放思想，化归思想便是其一。人们即使在不懂得文字的时候，也会用化归思想帮助自己生存。《易九家言》中描述，当事情很大，就要紧紧绑住它的绳子；而事情小，就要将它的绳子稍微压小，根据事件的规模、规模或涉及的数量来调整绳子，这正展现了简化复杂的重要性。公元一世纪时，刘徽完成著作《九章算术》，记录了两百多个与生产生活有关的问题，每题都有解答。大多数题目的解答中，化归被普遍运用。例如其中将求圆的面积转化为求多边形的面积，进而用极限求出圆的面积REF_Ref10181\r\h[1]。世界在发展，在人类深入认识世界的过程中，数学与物理、化学等学科之间的联系也在不断地深入。数学与其他学科之间相互渗透，这表明数学的应用范围正在越来越广泛，例如航天工业、日常的销售问题。数学中的理论和其基本应用已经在现代社会的发展中占据举足轻重的位置。数学中最核心的是数学思想，化归思想便是其中之一。航天工业的轨道计算、轨道控制以及航天器性能评估等方面，就是将实际的物理情景转化为人类能计算的二次函数，化归思想为航天工程师提高了重要的工具和方法。桥梁问题，将数转化为形，结合二次函数，求出最优解，都是化归思想在生活中的应用。再细化到了课堂，《义务教育数学课程标准（2022版）》已经明确地阐述了需要集中关注中国学生的核心成长能力，并培养他们具备为未来进步所需的正确的价值观、关键品格和主要技术。同时，该标准还将“核心概念”重新描述为“核心素养”，并详细描述了义务教育时期数学核心素养的含义，每个具体阶段应该拥有的核心素养，从宏观层面反映了培养学生数学能力的重要性。以往的数学学科及其上课模式、上课目的、内容、教学手段等在一定程度上都受到了冲击。面对这种情况，很多地区都在不断地进行着数学教育的改革。其中化归思想在课堂上的应用有很多，许多学者对此进行研究。研究的问题和意义“化归思想”作为中学数学中最基本的一种思想方法，在教学中起着至关重要的作用。对于刚刚步入初中接触代数、几何等知识的初中生来说，化归思想方法更是意义重大。它可以帮助学生将抽象的数学概念、定理等知识转化为具体的实物模型，或是将繁琐未知的问题转化为简单已知的问题，在实践中使学生体会到数学知识的应用价值，更是使得学生拥有解决普通问题的能力，有利于培养学生不畏困难的态度，勇于推陈出新的精神。对于前线的教育工作者而言，这对于他们的数学思维方式的塑造具有深远的指导作用。同时，将化归思想与初中数学课程相联系，有利于学生掌握基本的数学方法，并能够灵活运用这些方法解决问题。本文的核心研究内容是利用文献资料和教学书籍来探讨化归思想方法在二次函数中的应用情况（以北师大版九年级下册作为教学材料），并为教学提供了一些建议。研究方法本文运用文献综述法，主要是对文献进行搜集、整理和鉴别，在对文献进行研究的基础上，对事物进行科学的理解。本文从中国知网检索了50余篇论文，截止日期为2024年4月。本文通过阅读大量的文献资料，研究了“化归”思想在中学数学教学中的应用。化归思想和二次函数概述化归思想的内涵化归思想起源于原始社会，在现代数学化归思想教育研究中，主要有徐利治、史久一、杨世明、曾铮、徐艳斌、赵小云、叶立军等人作了深入研究REF_Ref11141\r\h[2]，主要的研究成果有：时间作者研究成果1983年徐利治《数学方法论选讲》（专著）1988年史九一、朱梧槚《化归与归纳、类比、联想》（专著）1996年张奠宙《数学方法论稿》（专著）2000年杨世明《转化与化归》（专著）2001年曾峥、杨之《“化归”刍论》（论文）2001年顾越岭《数学教学中化归方法的难点及其突破》（论文）2003年徐艳斌《数学课程与教学论》（专著）2005年赵小云、叶立军《数学化归思维论》（专著）2007年徐青林《中学数学化归思想及其应用》（专著）2008年钱佩玲、邵光华《数学思想方法与中学数学》（专著）2009年马艳《中学数学教学中化归思想方法的应用研究》（论文）2010年李天刚《论化归思想与中学数学教学》（论文）2013年周艳《初中数学教学中基本思想方法的培养》（论文）2015年王志惠《化归思想在高中数学教学中的应用研究》（论文）2019年姬梁飞《化归思想方法探微_内涵、特征及应用》（期刊）其中，史九一在《化归与归纳、类比、联想》一书中引用匈牙利著名数学家路莎·彼得(RózsaPéter)的一个比拟，《无穷的玩艺》书中说明化归是一种通过转化待解决问题为已经能够解决或者比较容易解决的问题的手段。史九一也在书上描述了归纳、类比和联想在化归的作用。张奠宙在他的著作《数学方法论稿》（由上海教育出版社于1996年出版）中，对化归的思维方式进行了深入的探讨。所谓化归方法，就是将一个问题A进行变形，使其归结为另一己解决的问题B，既然B已解决，那么A也就解决了REF_Ref10390\r\h[3]，还得出了一般化归思想的运用模式，如下图2.1：图STYLEREF2\s2.1化归思想的运用模式曾峥在其《化归刍论》中提出：一是“以旧迎新”的思维模式，二是利用已有的知识来定义、证明新的问题，也就是把各种各样的新的和未知的问题转化为已经存在的概念和结论，试图解决一个问题，这就是化归。李天刚在《论化归思想与中学数学教学》中提出：化归的思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化REF_Ref13832\r\h[4]，以便应用已知的理论、方法和技巧解决未知的问题。姬梁飞在《化归思想方法探微:内涵、特征及应用》中运用道家对立统一、相互转化的思想，说明可以采用相关领域的迁移理论来解决现有领域的问题REF_Ref10413\r\h[5]，也就是通过迁移知识，转化问题。许多学者、教授、一线的老师，都对化归思想有了自己的见解，从而使它的内涵更加丰富。简而言之，化归是一种转换与归纳的过程，将困难变成容易，将繁琐化为简易，将陌生化为熟悉，将抽象化为具体。只有明白了化归思想真正的内涵，才能更好地应用于教学。二次函数的基本特性在北师大版九年级下册教材中，定义二次函数：一般地，若两个变量x，y之前的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式，则称y是x的二次函数。例如：函数与图象一一对应，学生根据五点法描绘出二次函数的图象，深入研究二次函数的各种特性。通过绘图分析，我们发现二次函数的图像表现为一条向上开口的抛物线，并且在y轴上具有对称性。该对称轴与抛物线相交的点既是抛物线的顶点，也是图像的最低点。再次，学生利用同样的方法探索的图象，得到如下性质：它的图像是一条抛物线且开口向下，关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，也是图像的最高点。为了方便观察与两者图象区别，采用列表法表示，得到与的的图象与性质，如下表2.2.1：函数a的取值图象开口向上向下对称轴y轴y轴顶点（0,0）（0,0）最大（小）值y=0y=0增减性当x＜0时，y随x增大而减小；当x＞0时，y随x增大而增大。当x＜0时，y随x增大而增大；当x＞0时，y随x增大而减小。表STYLEREF2\s2.2.SEQ表\*ARABIC\s21的图象与性质接下来，在的基础上，利用五点法研究和的图象与性质，再由图象的平移解释其变化规律，最后结合一起，探讨二次函数顶点式的图象与性质，如下表2.2.2所示：开口向上向下对称轴直线x=h直线x=h顶点（h，k）（h，k）最大（小）值y=ky=k增减性当x＜h时，y随x增大而减小；当x＞h时，y随x增大而增大。当x＜h时，y随x增大而减小；当x＞h时，y随x增大而增大。表STYLEREF2\s2.2.SEQ表\*ARABIC\s22的图象与性质学习顶点式的图象与性质后，探索一般式的图象与性质，将一般式化为顶点式，得到.对照顶点式得知，一般式的对称轴为，顶点为，最大（小）值为.化归思想在二次函数中的研究曾英格在《化归思想与数形结合思想在求解二次函数的系数问题中的运用》中运用化归思想，将关于二次函数的系数的问题转化为关于a，b，c的代数式与0比较大小的问题，再结合图象由形转化为数，能较好地解决上述问题REF_Ref10723\r\h[6]。李伟在其著作《用化归思想解决二次函数恒成立问题》中，对二次函数的成立问题进行了深入的探讨：利用函数和方程之间的互相变换，将恒成立问题化为二次函数轴变区间的定问题，将恰成立问题化为一元二次不等式解集的求解；利用分离参数的方法将恒成立的问题转化为函数的最值问题；能成立问题转化为函数有解问题REF_Ref10755\r\h[7]。杨崇明在《用转化思想求二次函数解析式》一书中，将求二次函数的解析问题转变为“过已知三点求二次函数解析式”，把未知的问题转换为已知的问题来解决，对求解的形式进行规范化，用“活”这种思想REF_Ref16614\r\h[8]，这种方法并不是最快的，但却能为学生们提供解决问题的途径和方向。化归思想在二次函数中的应用实例二次函数中常见的实际应用有利润问题、利息问题、面积问题等，在这以利润问题为例，分析化归思想在其中的应用。某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台REF_Ref12094\r\h[9]。(1)假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式(不要求写自变量的取值范围)。(2)商场既想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？利用利润公式“总利润=单件利润×总件数”和“单件利润=售价-进价”解答是本题的关键。第（1）问中，分析：售价为(2400-x)元，单件利润为[(2400-x)-2000]元，售出总件数为(8+4×(x÷50))台，所以总利润，此题为用公式列式。第（2）问中，由第（1）问得知总利润，第（2）问即是令y=4800，解方程，此题难度在于化简求解。第（3）问中，要想求得利润最高时的降价，应该让学生理解就是求二次函数的最大值，二次函数的最大（小）值就是函数的顶点的纵坐标。对于，应该先去括号，得到，学生学习过一般式顶点的求法，即是，将a、b、c分别代入即可得到顶点，最大值为其纵坐标，可以得到最大值y=5000，再解方程，算出此题的根，即可得到降价。第（1）、（2）问涉及到根据公式列式，以及解方程，为二次函数中的基本应用题型。第（3）问涉及到“利润最高”，求二次函数的最大值，从而联系二次函数的性质中，顶点的纵坐标为最大（小）值。因此，涉及到“最高”“最小”时，此时将题目转化为求顶点坐标的纵坐标。将二次函数化为一般式，求，可得到其最值。化归思想在二次函数教材中的渗透教材内容分析以北师大版九年级下册第二章为分析教材，探索化归思想在其中的渗透，本章书内容安排为1.二次函数第2节二次函数的图象与性质中，教材通过探究具体函数的图象与性质，依次呈现、、的图象与性质，以及分别和之间的关系，从而得到二次函数顶点式的图象与性质。从而在接下来探究一般式中，只需将一般式化为顶点式，对照顶点式的性质，即可得到一般式的性质。在探究第2节二次函数的图象与性质中，涉及到的化归思想有：一、完成平方：通过将二次函数的平方项进行配方，将二次函数表示为完全平方的形式，从而得到该函数的顶点和其他重要信息。这种化归思想可以简化二次函数的计算和分析，并且有助于了解函数的图象及性质。二、顶点式与一般式之间的转化：二次函数可以表示为顶点式或一般式，通过化归思想可以相互转化。顶点式为，一般式为，通过配方、展开或合并项的操作，可以将一个形式的二次函数转化为另一个形式，从而方便求解问题。第3节确定二次函数的表达式中，讨论确定二次函数的表达式需要几个条件，得出了以下结果：一、二次函数可化成，顶点是ℎ,k.如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式。二、已知二次函数中一项系数，再知道图象上的两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式。三、已知二次函数图象上的三个点，用待定系数法可以确定三个系数的值。这一节涉及到的化归思想有：给定的条件无法直接写出其一般式的表达式的时候，将问题给出的条件转化为顶点式或交点式，然后再将这些形式展开为一般式，从而求得二次函数的表达式。第4节二次函数的应用中，展示了两道例题，引入和例1是关于求解面积问题，例2是销售问题。面积问题常常与几何图形（如三角形、矩形等）的面积相关，往往通过设定变量并建立二次函数关系求解。销售问题，通过降价或升价完成销售量的增加或减少，会使用公式“利润=（售价-进价）×销售总量”建立二次函数关系，这类题通常要求解“最高利润”“最大收入”。这一节涉及到的化归思想有：将问题转化为求解二次函数的性质，比如求解最值。无论是“最大面积”，还是“最大利润”，都可以归结为求解二次函数的最值问题。除此之外，练习题中出现图形问题（隧道、拱桥），需要将给出的条件转化为直角坐标系图象上的条件，从而得到图象上的已知点，代入已知点求解函数表达式。这涉及到的化归思想为：将图形转化为数，将抽象问题直观化、简单化。第5节二次函数与一元二次方程中，探究二次函数因变量y等于某值时，x的取值，衍生了一元二次方程的求解。在引入时，可以根据二次函数图象观察小球落地，即是h=0时，t的取值有两个，t=0或t=8，激发学生解一元二次方程的兴趣，并能探求二次函数图象的解法。再就是探索二次函数图象和x轴相交的条件，并利用判别式证实一元二次方程存在若干实数根，发出提问：二次函数的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程的根有什么关系？从而建立起关系：二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，并且用判别式∆＞0、∆=0、∆＜0分别求出方程有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根REF_Ref6831\r\h[10]。观察图象得知一元二次方程与x轴的两个交点，当交点的横坐标不是整数和0时，教材让学生写出近似解。这一节涉及到的化归思想有：一、二次函数与一元二次方程的等价性。对于形式为的二次函数，当y=0时，它就转化为一元二次方程.这种等价性使得可以通过研究二次函数来理解一元二次方程，反之亦然。二、化归方法在解决一元二次方程中起到了重要作用。一般来说，解决一元二次方程有三种主要方法：配方法、公式法以及因式分解法。这三种方法均遵循化归原则，即把复杂问题简化为简单问题。例如，配方法会把一元二次方程转化为完全平方的形式，这样一来，解决问题就变得相对容易；公式法则是通过计算一元二次方程的解公式来找到方程的解；而因式分解法则把一元二次方程转化为两个一元一次方程的乘积，进而简化问题的解决过程。总之，这三种方法都是通过化归思想，将一元二次方程转化为更简单的形式，以便更容易找到解。这就是化归方法在一元二次方程求解中的重要作用。三、二次函数图象与性质的化归。化归在二次函数图象与性质的研究中起着关键作用。通过探究二次函数的图象和特性，学生能更深入地理解一元二次方程并找到解决方案。例如，了解二次函数的顶点坐标与一元二次方程的根之间的联系，有助于寻找一元二次方程的解；利用二次函数的对称轴能判断一元二次方程的根的情况；而研究二次函数的开口方向和宽度则有助于判断一元二次方程的解的个数及大小。二次函数教材从基本概念出发，通过逐步引入相关知识点，构建起完整的知识体系。这种系统化的呈现方式，有助于学生从整体上把握二次函数的知识结构，形成清晰的认知框架。化归思想在教材中的具体应用课本第29页例1求二次函数y=2解：y将一般式转化为顶点式，由顶点式的性质可知，对称轴为x=h，坐标为ℎ,k，因此，二次函数图象的对称轴是x=2，顶点坐标为2,−1课本第46页例1某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m）此时，窗户的面积是多少？（精确到0.01m2）解：因为7x+4y+πx=15，所以y=因为0所以0<x设窗户的面积是Sm2，则S=所以，当x=1514≈因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户面积约为4.02m2.化归思想在二次函数教学中的应用教学策略的设计1.知识联系与类比在二次函数的教学过程中，老师可以对一次函数等有关内容进行复习，并将其与其他有关的内容进行联系，从而加深对二次函数的认识。运用类推法，使学生能把原有的知识与经验运用于二次函数的学习，减轻了学习的困难。2.解题方法与技巧在解决问题时，要指导学生利用化归的思想进行分析和解决。如解二次方程，可用公式法、因式分解法、公式法等方法使其变得更为简单。并在此基础上，归纳出几个具有代表性的问题解决方案，以供同学们借鉴。3.结构调整与优化为使“化归观”更好地渗透到教学中去，教师可根据实际情况对教材内容作相应的调整与优化。比如，在讲授二次函数的性质时，可由特殊向一般，首先引入几个简单的二次函数，再逐渐地将其归纳为一般的二次函数。另外，老师也可以针对学生的实际状况与要求，设计出有针对性的习题，使学生能够更好地掌握所学的知识，并提升其运用能力。4.善用变式为了使学生更容易接受化归思想，教师在做教学设计时，可以多采用变式训练。可以通过设置类比变式和知识推进式变式，通过类比，学生可以更容易地理解新知识的内涵和运用，加上层层深入地引导学生探究知识，帮助学生深入理解用化归思想解题的本质和规律，提高学生的应变能力和创造性思维能力。教学设计课题二次函数的应用——面积问题课型新授课教材分析在探索变量间关系的过程中，在八年级时学生深入学习了一次函数和反比例函数，从而构建了坚实的函数基础知识体系，并逐步掌握了探究函数性质的方法及用函数视角解决实际问题的技巧。在本章的学习中，学生进一步研究了二次函数及其图象和特性，同时，也学会了如何求出二次函数的最大或最小值。这些知识储备都为本节内容打下了坚实的基础。教学目标1.我们通过对不同背景下实际问题中的变量间二次函数关系进行深入的分析和表达，从而有助于学生的分析技巧提升；2.利用二次函数的原理来处理实际的数学问题，并进一步培养学生的数学使用技巧和能力；3.进一步深化对数学与人们社会之间密切联系的理解，认识到数学的重要作用，加强对数学的认知和自信，提高他们的创造性和实际应用技能；4.通过深入地分析和描述现实问题中的变量之间的二次函数的联系，更好地理解利用二次函数特性解决实际问题中的最值。教学重点1.通过对矩形最大面积问题的研究，收集了利用数学工具解决实际问题的知识，并深入理解了构建数学模型及运用这种方法的实际意义和价值；2.在不同背景中，能解析和表达实际问题里变量二次函数的相互关系。教学难点能对各种情况下的实际问题进行分析与表达，并能应用二次函数相关知识求解最大（小）面积问题。教学过程教学活动师生活动设计意图一、复习回顾求下列二次函数的顶点坐标，并说明y随x的变化情况：（1）y=x（2）y=−学生独立解题，教师点名回答问题，并且复习一般式和顶点式的顶点坐标表示。引导学生复习前面所学过的内容，由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此和同学们一起复习二次函数最值的求法，以及二次函数的增减性，为本节课的学习做好准备。二、探究应用1、情境引入(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大?例1如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积.变式1如下图所示，在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边，AN=4cm，AM=3cm.(1)设矩形的一边AB=acm，那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ycm2，当x取何值时，y的最大值是多少？变式2在上一个问题中，如果把矩形改为如下图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？变式3如下图所示，已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=10cm,BC=12cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG，使得EF在BC上点D、G分别在边AB、AC上，问矩形DEFG的最大面积是多少？学生分组讨论.教师提问学生，并且给出板书过程。学生独立思考，教师引导学生抽象出二次函数模型。在变式1基础上学生独立思考，教师引导学生抽象出二次函数模型。在变式2基础上学生独立思考，教师引导学生抽象出二次函数模型。通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路。基于前一个问题，我们对问题的背景进行了调整，提高了难度，并在黑板上展示了解题步骤，使学生能够清晰地理解规范的书写流程。通过让学生探讨如何使用直角三角形来裁剪一个最大面积的矩形，并鼓励他们亲自绘制两种不同的方法。与学生共同从这些问题中提炼出二次函数模型，并计算其最大值。通过对这两种情境的深入分析，我们旨在培养学生的发散思维技巧。关键在于教授学生正确的方法，这也是解决这类问题的核心难点，即如何定义未知数并将其转化为我们所熟知的数学问题。本题主要研究了变形式三与一元二次方程的关系。基于此，我们对变式三进行了深入的研究，并对这种题型进行了总结，从而提出了通用的问题解决策略。三、归纳总结解二次函数的应用——面积问题时，思路：1.理解问题；2.分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；3.用数学的方式表示出它们之间的关系；4.运用二次函数的性质——最大（小）值或顶点求解；5.检验结果的合理性，给出问题的解答.教师归纳解面积问题时的思路及步骤，注意强调此类题型要转化成求解函数的最值来解答。及时归纳方法，帮助学生理清思路，学会此种题型的作答。四、巩固提升1.某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球运动时间t(单位：秒)的函数关系式是h=9.8t−4.9t2，那么小球运动中的最大高度h最大2.如下图所示，在一个直角△MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为()A.mB.6mC.15mD.m3.一个住宅区要在一面墙（一面15米）旁边的空地上建造一座长方形的花园，这座花园的一面是一堵墙，另外三面由一道长40米的篱笆围成，如果宽为x（米），那么这座花园的面积就是y（米）．（1）求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值X范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？学生独立完成，点名回答问题，教师做补充。学生练习求解面积问题，加强理解用二次函数的性质解答面积最大值的方法。五、总结在本节课学习了哪些内容？教学建议1.引入阶段首先，选择合适的实例。教师应该选择与学生日常生活紧密相关的实例，以吸引他们的注意力。通过实例展示如何将大问题分解为小问题，使学生初步了解化归思想。其次，明确教学目标。在此阶段，教师应明确告诉学生他们将学习什么，以及这些知识如何有助于他们解决问题，确保学生对教学目标有清晰的认识。2.探索阶段第一，提出问题。教师应该设计具有层次性和引导性的问题，引导学生逐步深入思考。问题应具备挑战性，以激发学生的求知欲。第二，引导学生观察与分析。在这个阶段，教师应鼓励学生观察问题的特点，分析问题的结构，并尝试将大问题划分为若干小问题。3.实践阶段教师在这个阶段要提供范例。教师可以给出一些具体的范例，展示如何将复杂问题分解为简单问题，并逐步求解。这有助于学生更好地理解化归思想的应用。不仅如此，还要组织小组讨论。教师可以组织学生进行小组讨论，让他们分享自己的解题思路和方法。通过互相交流，学生可以拓宽视野，学习到其他同学的优秀思路。4.应用与拓展阶段巧妙设计综合性练习。教师应设计一些综合性练习，让学生在实践中运用划归思想解决问题。练习的难度应逐步提高，以挑战学生的能力。并且鼓励创新思维。在解决问题的过程中，教师应鼓励学生尝试不同的方法，培养他们的创新思维能力。同时，教师应对学生的创新尝试给予积极的反馈和支持。5.总结与反思阶段练习固然重要，也不可缺少总结化归思想的应用。在这个阶段，教师应引导学生回顾整个学习过程，总结化归思想的应用方法和效果。通过总结，学生可以更好地理解化归思想的本质和价值。课下要做到的是反思与改进。教师应鼓励学生反思自己的学习过程，找出存在的问题和不足，并提出改进措施。同时，教师也应对