【八年级上册数学浙教版】2.3.2 等腰三角形的性质定理2 同步练习

第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性质定理第2课时等腰三角形的性质定理2基础过关全练知识点等腰三角形的三线合一1.（2022浙江义乌绣湖中学月考）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（）A.4B.3C.2D.12.（2022浙江宁波鄞州期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高线，E是AB的中点，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（）A.1B.2C.3D.43.（2022浙江温州第十四中学期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，∠ABD的平分线BE交AD于点E，若∠BAC=36°，则∠AEB等于（）A.108°B.126°C.130°D.144°4.A.0.5cm2B.1cm2C.1.5cm2D.2cm25.（2022浙江温州期末）如图，等边三角形ABC的角平分线AD，BE交于点O，则∠BOD=度.

6.（教材P61变式题）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE∥AB交AC于点E.若∠ADE=25°，则∠BAC的度数为.

7.已知∠α和线段b，求作一个等腰三角形ABC，使其底角∠A=∠α，腰长AB=b（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）.能力提升全练8.（2020浙江杭州上城模拟）如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（）A.15°B.17.5°C.20°D.22.5°9.如图，在△ABC中，AB=AC，用尺规作图的方法作出射线AD和直线EF，AD与BC交于点D，EF交AC于E，交AB于F，设AD交EF于点O，连结BE，OC，则下列结论中不一定成立的是（）A.AE⊥BEB.EF平分∠AEBC.OA=OCD.AB=BE+EC10.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=2.5，则BF=.

11.在△ABC中，AB=AC，点F是AC上的一个动点，过点F的直线交BA的延长线于点E，交BC于点G.（1）如图1，当AD是BC边上的中线，△AEF是以EF为底的等腰三角形时，EF与BC的位置关系是；

（2）如图2，EG⊥BC，△AEF是以AE为底的等腰三角形时，∠BAC的度数为.

图1图212.（2022浙江宁波七中期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是.

13.（2021浙江杭州萧山月考）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC=8，∠BAC=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，AD=4，点E是AB的中点，连结DE.（1）求∠B的度数；（2）求三角形BDE的面积.14.如图所示，在△ABC中，AB=BC，D为BC上的一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于点F.（1）若∠AFD=155°，求∠A的度数；（2）若F是AC的中点，求证:∠CFD=12∠15.（2020浙江杭州余杭模拟）如图，在△ABC中，AB<AC<BC，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点D，连结AD，过点D作DE⊥AD，交AC于点E.（1）若∠ABC=50°，∠C=28°，求∠AED的度数；（2）若点F是BD的中点，连结AF，求证:∠BAF=∠EDC.素养探究全练16.[逻辑推理]在△ABC中，AB=AC.（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC边上的高，AD=AE，则∠EDC=；

（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC边上的高，AD=AE，则∠EDC=；

（3）思考:通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:；

（4）如图3，如果AD不是BC边上的高，AD=AE，∠BAD与∠EDC是否仍有上述关系?如有，请你写出来，并说明理由.图1图2图3

第2章特殊三角形2.3等腰三角形的性质定理第2课时等腰三角形的性质定理2答案全解全析基础过关全练1.A∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，BD=DC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∴结论正确的是①②③④，共4个，故选A.2.B∵AB=AC，AD是高线，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC=4，∵E是AB的中点，∴AE=BE，∴S△ADE=S△BDE=12S△ABD=2.3.B∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∠BAD=12∠∴∠ABD=180°-90°-18°=72°，∵BE平分∠ABD，∴∠EBD=12∠∴∠AEB=∠EBD+∠ADB=36°+90°=126°.故选B.4.B∵BD=BA，BP平分∠ABC，∴AP=PD，∴S△APB=S△DPB，S△APC=S△DPC，∴S△BPC=12S△ABC=1cm2.故选5.60解析∵△ABC是等边三角形，AD为△ABC的角平分线，∴∠ABC=60°，∠ADB=90°，∵BE为等边三角形ABC的角平分线，∴∠EBC=12∠ABC=30°，∴∠6.50°解析∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE=25°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAC=2∠BAD=50°.7.解析如图所示，等腰三角形ABC即为所求.能力提升全练8.A如图，设AP与BC相交于点O，∵AB=AC，∠ABC=70°，∴∠ACB=∠ABC=70°，∴∠CAB=40°，∵BP是∠CBD的平分线，∴∠PBD=12∠CBD=1∵AP是∠CAB的平分线，∴∠BAP=∠CAP=20°，∴∠APB=∠PBD-∠BAP=55°-20°=35°，∵AB=AC，AP是∠BAC的平分线，∴AP⊥BC，OB=OC，∴∠POC=∠POB=90°，又∵OP=OP，∴△POC≌△POB，∴∠APC=∠APB=35°，∴∠BPC=70°，∴∠D=∠BPC-∠PBD=70°-55°=15°.故选A.9.A连结OB，由作图可知AD平分∠BAC，EF垂直平分AB，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴OB=OC，∵EF垂直平分AB，∴OA=OB，BE=AE，∴OA=OC，故C中结论一定成立；∵BE=AE，EF垂直平分AB，∴EF平分∠AEB，故B中结论一定成立；∵BE=AE，AB=AC，∴AB=AC=AE+EC=BE+EC，故D中结论一定成立；当∠BAC=45°时，AE⊥BE，当∠BAC≠45°时，AE与BE不垂直，故A中结论不一定成立.故选A.10.5解析∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线∴S△ABC=2S△ABD=2×12AB·DE=AB·∵BF⊥AC，∴S△ABC=12AC·BF，∴12AC·BF=2.5AB，又∵AC=AB，∴11.（1）EF⊥BC（2）120°解析（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴∠BAC=2∠BAD，AD⊥BC，当△AEF是以EF为底的等腰三角形时，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BAC=∠AEF+∠AFE=2∠AEF，∴∠AEF=∠BAD，∴AD∥EF，∵AD⊥BC，∴EF⊥BC.（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B+∠C=2∠B，∵EF⊥BC，∴∠EGB=90°，∴∠B+∠AEF=90°，∴∠AEF=90°-∠B，当AF=EF时，∠EAF=∠AEF，∴90°-∠B=2∠B，∴∠B=30°，∴∠BAC=180°-2∠B=120°.12.60°解析如图，连结BE，与AD交于点P，连结PC.∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，即线段BE的长就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°.13.解析（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=12×（180°-∠（2）∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD=4，∵点E是AB的中点，∴S△BDE=S△ADE=12S△ABD=12×12AD·BD=114.解析（1）∵DF⊥BC，∴∠FDC=90°，∴∠C=∠AFD-∠FDC=65°，又∵AB=BC，∴∠A=∠C=65°.（2）证明:连结BF.∵AB=BC，F是AC的中点，∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=12∠∴∠CFD+∠BFD=90°，∵DF⊥BC，∴∠CBF+∠BFD=90°，∴∠CFD=∠CBF，∴∠CFD=12∠15.解析（1）由题意可得AB=AD，∴∠ADB=∠ABC=50°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-50°-90°=40°，∵∠C=28°，∴∠AED=∠EDC+∠C=40°+28°=68°.（2）证明:∵AB=AD，点F是BD的中点，∴AF⊥BD，∠BAF=∠DAF，∴∠DAF+∠ADB=90°，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠ADF+∠EDC=90°，∴∠DAF=∠EDC，∴∠BAF=∠EDC.素养探究全练16.解析（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，∵∠BAD=30°，∴∠CAD=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=12∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∴∠BAD