【八年级上册数学苏科版】专题03 模型构建专题:全等三角形中的常见解题模型(原卷版)(重点突围)_第1页
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第第页专题03模型构建专题:全等三角形中的常见解题模型模型构建一四边形中构造全等三角形解题模型构建二一线三等角模型模型构建三三垂直模型模型构建四倍长中线模型模型构建一四边形中构造全等三角形解题例题:(2021·天津·耀华中学八年级期中)如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD.求证∠C=∠A.【变式训练】1.(2022·山东济宁·八年级期末)如图,在四边形ABCD中,于点B,于点D,点E,F分别在AB,AD上,,.(1)若,,求四边形AECF的面积;(2)猜想∠DAB,∠ECF,∠DFC三者之间的数量关系,并证明你的猜想.2.(2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习)在四边形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.(1)试说明:DE=DF:(2)在图中,若G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE,EG,BG之间的数量关系并证明所归纳结论.(3)若题中条件“∠CAB=60°,∠CDB=120°改为∠CAB=α,∠CDB=180°﹣α,G在AB上,∠EDG满足什么条件时,(2)中结论仍然成立?模型构建二一线三等角模型例题:(2022·全国·八年级专题练习)如图,在中,,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作,DE交线段AC于E.(1)点D从B向C运动时,逐渐变__________(填“大”或“小”),但与的度数和始终是__________度.(2)当DC的长度是多少时,,并说明理由.【变式训练】1.(2022·全国·八年级)如图,在△ABC中,点D是边BC上一点,CD=AB,点E在边AC上,且AD=DE,∠BAD=∠CDE.(1)如图1,求证:BD=CE;(2)如图2,若DE平分∠ADC,在不添加辅助线的情况下,请直接写出图中所有与∠ADE相等的角(∠ADE除外).2.(2022·全国·八年级课时练习)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(D不与B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.(1)当∠BDE=115°时,∠BAD=°,点D从B向C运动时,∠BAD逐渐变(填“大”或“小”);(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状也在改变,判断当∠BAD等于多少时,△ADE是等腰三角形.3.(2021·山东·肥城市汶阳镇初级中学七年级阶段练习)已知:是经过的顶点C的一条直线,.E、F是直线上两点,.(1)若直线经过的内部,.①如图1,,,直接写出,,间的等量关系:__________.②如图2,与具有怎样的数量关系,能使①中的结论仍然成立?写出与的数量关系,并对结论进行证明;(2)如图3,若直线经过的外部,,①中的结论是否成立?若成立,进行证明;若不成立,写出新结论并进行证明.4.(2022·河南郑州·七年级期末)在直线上依次取互不重合的三个点,在直线上方有,且满足.(1)如图1,当时,猜想线段之间的数量关系是____________;(2)如图2,当时,问题(1)中结论是否仍然成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由;(3)应用:如图3,在中,是钝角,,,直线与的延长线交于点,若,的面积是12,求与的面积之和.模型构建三三垂直模型例题:(2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.(1)求证:△BCE≌△CAD;(2)若AD=12,BE=5,求ED的长.【变式训练】1.(2022·广东佛山·七年级阶段练习)在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,直线MN经过点A,且CD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时,度;(2)求证:DE=CD+BE;(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时,试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.2.(2022·全国·八年级课时练习)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证:DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系(不写证明过程);(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系(不写证明过程).3.(2021·湖北随州·八年级期中)如图(1)AB=9cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=7cm,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,它们运动的时间为t(s).(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由;(2)在(1)的前提条件下,判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,并证明;(3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=50°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.4.(2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.(1)当直线l不与底边AB相交时,①求证:∠EAC=∠BCF.②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明.(2)将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D(D不与AB点重合),请你探究直线l,EF、AE、BF之间的关系.(直接写出)模型构建四倍长中线模型例题:(2022·全国·八年级课时练习)在△ABC中,AB=5,BC边上的中线AD=4,则AC的长m的取值范围是_______.【变式训练】1.(2021·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习)如图,AD是△ABC中BC边上的中线,若AB=6,AC=8,则AD的取值范围是________________.2.(2022·全国·八年级课时练习)已知:多项式x2+4x+5可以写成(x﹣1)2+a(x﹣1)+b的形式.(1)求a,b的值;(2)△ABC的两边BC,AC的长分别是a,b,求第三边AB上的中线CD的取值范围.3.(2022·全国·八年级课时练习)某数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图,在中,AB=6,AC=8,D是BC的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使DE=AD,请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程.(1)求证:△ABD≌△ECD证明:延长AD到点E,使DE=AD在△ABD和△ECD中∵AD=ED(已作)∠ADB=∠EDC()CD=(中点定义)∴△ABD≌△ECD()(2)由(1)的结论,根据AD与AE之间的关系,探究得出AD的取值范围是;(3)【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】如下图,中,,,AD是的中线,,,且,求AE的长.4.(2022·全国·八年级)如图1,在△ABC中,若AB=10,BC=8,求AC边上的中线BD的取值范围.(1)小聪同学是这样思考的:延长BD至E,使DE=BD,连接CE,可证得△CED≌△ABD.①请证明△CED≌△ABD;②中线BD的取值范围是.(2)问题拓展:如图2,在△ABC中,点D是AC的中点,分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中,AB=BM,BC=BN,∠ABM=∠NBC=∠90°,连接MN.请写出BD与MN的数量关系,并说明理由.5.(2022·全国·八年级课时练习)(1)基础应用:如图1,在△ABC中,AB=5,AC=7,AD是BC边上的中线,延长AD到点E使DE=AD,连接CE,把AB,AC,2AD利用旋转全等的方式集中在△

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