帮你怎么学好数学

帮你学数学

河北辛集中学校本课程教材

主编：赵凤歧

编委：焦志诚郝秋者杜迎秋刘连考

刘永立张中尧曹云霄贾爽

李士津康会素赵凤歧

、乙、:

刖s

有人对百名中小学数学教师和大学数学系的研究生进行过这样的调查：当

你接触到数学这个概念时，你把数学想象成什么？调查的结果是：76%的人首

先想到的是计算、公式、法则、证明；20%的人想到的是繁、枯燥、没意思、

成绩不及格；4%的人回答使人聪明、有趣、有用。这个结果令人深思。老师和

大学研究生都如此，那么中学生对数学又了解多少呢？

为了让中学生更多地了解数学，更好的学习数学，对数学更感兴趣，我们

编写了这本校本教材。教材简单介绍了什么是数学，数学在科学技术、社会生

活中的广泛应用，数学是人类文化的主要内容之一，及其高中数学的学习方法

指导和一些案例。希望由此解决高中同学们长期以来心中的疑惑，给出数学是

什么？为什么学习数学？学习什么样的数学？怎样学好数学？等等这儿个问题

的答案。

由于时间仓促，水平有限，在编写过程中难免有不当之处请及时批评指正。

本编写组

2004、5、30

2

目录

认识数学

一、数学是什么................................................5

二、数学的应用................................................7

三、数学是一种文化............................................21

学好高中数学

一、改变观念、树立信心、勤奋学习..............................24

二、做好初高中数学学习的接轨.................................25

三、养成良好的学习习惯........................................28

四、华罗庚谈“怎样学好数学”.................................30

五、学习高中数学的基本环节...................................31

六、怎样学好数学概念..........................................33

七、学好数学的诀窍............................................35

八、学生经验..................................................35

九、漫谈解题..................................................38

十、数学归纳法................................................43

十一、构造法....................................................47

十二、波利亚的怎样解题表........................................50

研究性学习案例

一、如何选择手机卡............................................57

二、交通红绿灯................................................61

三、用图像法解一元二次不等式..................................66

四、直线分平面的区域数........................................68

五、体育比赛中的数学..........................................70

六、由上车引出的决策理论.......................................72

七、一道高考题中的研究性学习..................................74

八、分期付款中的计算问题......................................77

九、装错信封的问题............................................82

十、数学中的研究性复习........................................85

3

认识数学

赵凤岐

到初中毕业，我们每位同学，都已学习了九年数学。在这九年的学习当中，每位同学

对数学的感受可能各异，感触也很多。有的同学数学成绩很好，对数学也很感兴趣。也有

的同学可能感到数学烦、难、死板、抽象、枯燥、乏味。那么数学是什么？为什么学习数

学？学习什么样的数学？怎样才能顺利地走进高中数学的殿堂，并领略其中的美妙呢？这

都需要我们了解数学、认识数学。

一、数学是什么

一谈起数学，很自然会联想到小学里的算术，初中的代数、平面几何，高中即将要学

的立体几何、解析几何等等。数学由浅到深，由少到多，由简单到复杂，真是五花八门，

琳琅满目。

数学的内容是那样的繁多，但是，如果我们把这些内容仔细分析一下，就可以看出数

学大致可分为两类：一类是研究现实世界的数量关系，一类是研究空间形式的。比如算术、

代数是研究数量关系的，几何是研究空间形式的，三角是两种情况都研究。整个数学，包

括初等数学和高等数学都是以数和形作为研究对象的。

恩格斯在谈到数学的时候曾说过：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,

所以是非常现实的材料。”所以说数学是一门研究物质世界的数量关系和空间形式的科学。

这种说法虽然时间已一百多年，但对我们所学的初等数学来说这一答案大体上还是恰当

的，不过如果推广到高等数学，应该把“数量”和“空间”作广义的理解。数量不仅是实数、

复数，还可以是向量、张量，甚至是有代数结构的抽象集合中的元：而空间也不是仅指三

维空间。还有n维、无穷维以及具有某种结构的抽象空间。这样，恩格斯的答案已基本上

包含了数学的主要内容。

说的具体一些，数学以数和形的性质、变化、变换和他们的关系作为研究对象，探索

它们的有关规律，给出对象的系统分析和描述，在这个基础上分析实际问题，然后给出具

体的解法。

数学的内容，决定了数学与其它学科不同的特性：抽象性、准确性、广泛性。

数学的抽象性表现在，暂时撇开事物的具体内容，仅仅从抽象的数学方面进行研究。

比如在简单的2+3计算当中，2+3既可以理解为两棵树加三棵树，也可以理解为两部机床

加三部机床。在数学里，我们撇开树、机床的具体内容，只研究数的运算规律，掌握这个

规律，那就不论是树，还是机床、汽车或是别的什么事物，都可以按加法的规律进行运算。

数学的许多概念都是从现实世界抽象出来的。比如几何中的“直线”这一概念，并不

是指现实世界中拉紧的线，而是把现实的线的质量、弹性、粗细等性质撇开，只留下“向

4

两方无限伸长”这一属性，但是现实世界是没有向两方无限仰长的线的。

数学的抽象性具有下列三个特性：第一，它保留了数量关系或者空间形式。第二，数

学的抽象是经过一系列阶段形成的，它达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽

象。第三，不仅数学的概念是抽象的，而且数学方法本身也是抽象的。物理、化学家为了

证明自己的理论，总是通过实验的方法。而数学家证明一个定理却不能用实验的方法，必

须用推理和计算。比如我们千百次地精确测量等腰三角形的两底角是相等的，但是还是不

能说明已经证明了等腰三角形两底角都是相等的，而必须用逻辑推理的方法严格地给予证

明。在数学里证明一个定理，必须利用已经学过的或已经证明过的概念、定理，用推理的

方法导出这个新定理来。

数学的第二个特点是确定性，或者说是逻辑的严密性、结论的确定性。数学的推理和

它们的结论是无可争辩、毋容质疑的。数学证明的精确性、确定性从中学课本中就充分显

示出来了，当然数学的严密性不是绝对的，它也在发展。

数学的第三个特性是应用的广泛性。我们几乎每时每刻都在生产和日常生活中应用数

学，丈量土地、计算产量、制定计划、设计建筑、实验数据的统计与分析，都离不开数学。

没有数学，现代科技的进步是不可能的。从简单的技术革新到复杂的人造地球卫星的发射

都离不开数学。而且，几乎所有的精密科学、力学、天文学、物理学，甚至化学通常都是

以一些数学公式来表示自己的定律的，并且在发展自己的理论时广泛应用数学这一工具。

由数学的内容及其特性，决定了数学的重要性，及数学本身的绚丽多彩。马克思说过:

“世间一切事物都离不开数学，当一种科学只有成功地运用数学时，才能达到了真正完善

的地步。”今天的社会现实正验证着这•点。

关于数学的广泛应用性，早在1959年，华罗庚教授就在《人民日报》上发表了《大

哉数学之为用》的著名文章，精辟地论述了数学在“宇宙之大，粒子之小，火箭之速，化

工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁”等诸方面的广泛应用。1992年，由中科院

院士王梓坤先生执笔，中国科学院数学物理学部又撰写了《今日数学及其应用》一文，进

一步系统地论述了数学在国富民强中的重要意义，以及近年来数学在我国许多领域中的应

用，文章深刻、全面而又有见地。使我们从中不仅了解了随着社会的进步和科学技术的发

展，数学的应用越来越广泛，也使我们了解了数学的独到妙处，那就是有些问题的解决非

有数学方法介入不可，只用其他方法、手段、仪器都会一筹莫展。如石油矿藏的勘探定位、

医学技术中的计算机辅助层析扫描仪CT技术、飞机制造（现代民航客机的设计、控制和

效率方面的一切进展，都依赖于在制造样机前就能模拟其性能的先进的数学模型）、宏观

经济的控制、微观经济的统计实验设计等，如果我们了解了近几十年来数学在我国科技发

展、经济建设、军事与安全领域中发挥的重要作用，尤其在优化控制与运筹、预测与管理、

大型工程项目、投资开发与环境保护方面的作用。我们就会清楚地看到“数学的贡献在于

对整个科学技术（尤其是高新技术）水平的推进与提高，对科技人才的培养和滋润，对经

济建设的繁荣，对全体人民的科学思维与文化素质的哺育，这四方面的作用是极为巨大的,

也是其他学科所不能全面比拟的。”

当代数学已经远不止是算术和几何，而是一门丰富多彩的学科，是计算和演绎的创造

性的配合，扎根于数据而展现于抽象形式中，通过揭示现象中隐蔽的模式来帮助人们了解、

认识周围的世界。它所处理的是科学中的数据、测量和观察资料，是推断、演绎和证明，

是自然现象、人类行为和社会系统的数学模型，是数、机会、形状、算法和变化。数学除

5

了提供我们所熟悉的认识世界的数学定理和理论之外，更为重要的是还提供了普遍适用而

又有特色的强有力的思考方式，这些方式包括：

建立模型——对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要而有用的特征的表示，

常常是形象化的或符号化的表示；

最优化——通过提问“假如……将会怎样”和考察所有的可能性来寻求最优解(如最

省钱或最有效)；

符号化——用一种在通信和计算中都是紧凑节约的形式把自然语言推广到抽象概念

的符号表示；

推断——从数据、前提、图形、不完全和不一致的原始资料出发进行推理；

逻辑分析——寻求前提中所蕴涵着的东西以及寻求能解释所观测到的现象的基本原

理；

抽象化——选出为许多不同的现象所公有的性质来进行专门的研究。

人们在现实生活中，应用这些思考方式，就能够批判地进行阅读，就能够估计各种风

险，就能够对问题提出各种变通的解决办法，从而使人们能够更好地生活在这充满信息的

世界。所以，数学是现代生活不可或缺的工具。

事实上，近现代世界发展史确已证实：“国家的繁荣昌盛，关键在于高新科技的发达

和经济管理的高效率”“高新科技的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学”。所以，

“高新技术本质上是一种数学技术”，这一历史性结论充分说明了数学对国家建设、人民

生活水平的提高的重要作用。数学己在自然科学、行为科学和社会科学的全部领地上烙上

抹不掉的印记。

二、数学的应用

1、数学与其他科学

太阳系中的行星之-------海王星是在1846年在数学计算的基础上发现的。1781年

发现了天王星后，观察它的运行轨道，总是和预测的结果有相当的差距。是万有引力定律

不正确呢？还是有其它原因呢？有人怀疑在它的周围有另一颗行星存在，影响了它的运行

轨道。1844年英国的亚当斯(1819——1892)利用万有引力定律和对天王星观察的数据，

推算这颗未知的行星的轨道，花了很长时间计算出这颗未知行星的位置，以及它出现在天

空的方位。亚当斯于1845年9月——10月把它的结果分别寄给了剑桥大学天文台台长查

理士和英国格林尼治天文台台长艾里，但是，查理士和艾里迷信权威，把他的结果束之高

阁，不予理睬。1845年法国一个青年天文学家、数学家勒维烈(1811——1877)经过一年

多的计算，于1846年9月写了一封信给德国柏林天文台助理员加勒(1812——1910)»信

中说：“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶座，就是经度三百二十六度的地方，那时你将在

那个地方一度之内，见到一颗九等亮度的星加勒按勒维烈所指的方位进行了观察，果

然在离指出的位置相差不到一度的地方找到了•颗在星图上没有的星——海王星。海王星

的发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼H心说的胜利，也是数学的伟大胜利。

这样的例子还很多。如1801年谷神星的发现，意大利天文学家皮亚齐(1746——1826)

只记下了这颗小行星沿9度弧的运动，这颗星就又躲藏了起来，皮亚齐和其他天文学家都

没有办法求得。德国二十四岁的高斯根据观察的数据进行了计算，求得了这颗小行星的轨

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道。天文学家在这一年的十二月七日在高斯预先指出的地方又重新发现了谷神星。

已过去的百年中，最伟大的科学创造是电磁学理论、相对论和量子理论，它们都广泛

地运用了现代数学。我们在这里先讨论电磁理论，因为我们大家都很熟悉其应用。在19

世纪前半叶，一部分物理学家和数学家对电学和磁学投入了大量研究，但却只有少数几个

关于这两种现象特性的数学定律问世，19世纪60年代，麦克斯韦将这些定律汇集起来并

研究其一致性。他发现，为了满足数学上的一致性，必需增加一个关于位移电流的方程。

对于这一项他所能找到的物理意义是：从一个电源（粗略地说是一根载有电流的导线）出

发，电磁场或电磁波将向空间传播。这种电磁波可以有各种不同的频率，其中包括我们现

在可以通过收音机、电视机接收的频率以及X射线、可见光、红外线和紫外线。这样，麦

克斯韦就通过纯粹的数学上的考虑预言了当时还属未知的大量现象的存在，并且正确地推

断出光是一种电磁现象。尤为值得注意的是我们对什么是电磁波并无丝毫的物理认识，只

有数学断言它的存在，而且只有数学才使工程师们创造了收音机和电视机的奇迹。

同样的观察也被运用于各种原子与核现象。数学家和理论物理学家谈到场——引力

场，电磁场，电子场等等——就好像它们都是实际的波，可以在空间传播，并有点像水波

不断拍击船舶和堤岸那样发挥着作用。但这些场都是虚构的，我们对其物理本质一无所知，

它们与那些可直接或间接感觉到或是看得见的事物，例如光、声、物体的运动，以及现在

很熟悉的收音机和电视只是隐约地有些关系。贝克莱曾把导数描述为消失的量的鬼魂，现

代物理理论则是物质的鬼魂。但是，通过用数学上的公式表示这些在现实中没有明显对应

物的虚构的场，以及通过推导这些定律的结果，我们可以得到结论，而当我们用物理术语

恰当地解释这些结论时，它们又可以用感性知觉来校验。

赫兹（HeinrichHertz）这位伟大的物理学家，第一个用实验证实了麦克斯韦关于电磁波

能在空间传播的预言。他为数学的力量所震惊而不能抑制自己的热情，“我们无一例外地

感受到数学公式自身能够独立存在并且极富才智，感受到它们的智慧超过我们，甚至超过

那些发现它的人，从中我们得到的东西比我们开始放进去的多得多”。

1930年英国物理学家荻拉克，利用数学推理及计算预言存在正电子。1932年美国物

理学家安德逊在试验中证实了这一点。

20世纪最大的科学成就莫过于爱因斯坦的狭义和广义相对论了，但是如果没有黎曼于

1854年发明的黎曼几何，以及凯莱，西勒维斯特和诺特等数学家发展的不变量理论，爱因

斯坦的广义相对论和引力理论就不可能有如此完善的数学表述。爱因斯坦自己也不止一次

地说过这一点。例如，1912年夏，他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但是为了

实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，爱因斯坦为此花了3年的时间，最

后，在数学家M•格拉斯曼的介绍下掌握了发展相对论引力学说所必需的数学工具——以

黎曼几何为基础的绝对微分学，也就是爱因斯坦后来所称的张量分析。在1915年11月25

H发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出了广义协变的引力场方程，在该文中他说：“山

于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成！”广义相对论的数学表达第一

次揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一。他还说过“事实

上，我是通过她（诺特）才能在这一领域内有所作为的。”

7

非欧几里德几何是从欧几里德时代起的几千年来，人们想要证明平行公理的企图中，

也就是说，从一个只有纯粹数学趣味的问题中产生的。罗巴切夫斯基创立了这门新的几何

学，他自己谨慎地称之为“想象的”，因为还不能指出它的现实意义，虽然他相信是会找

到这种现实意义的。他的几何学的许多结论对大多数人来说非但不是“想象的”，而且简

直是不可想象和荒涎的。可是无论如何罗巴切夫斯基的思想为几何学的新发展以及各种不

同的非欧几里德空间的理论的建立打下了基础；后来这些思想成为广义相对论的基础之

一，并且四维空间非欧几里德几何的一种形式成了广义相对论的数学工具。于是，至少看

来是不可理解的抽象数学体系成了一个最重要的物理理论发展的有力工具。同样地，在原

子现象的近代理论中，在所谓量子力学中，实际上都运用着许多高度抽象的数学概念和理

论，比如，无限维空间的概念等等。

如果没有凯莱在1858年发展的矩阵数学及其后继者的进一步发展，海森伯和狄拉克

就无法开创现代物理学量子力学方面的革命性工作。狄拉克甚至说，创建物理理论时，“不

要相信所有的物理概念”，但是要“相信数学方案，甚至表面上看去，它与物理学并无联

系。”

整个电磁场的理论是由马克斯威尔方程组表述的，但是“虽然场的理论起源应归功于

英国物理学家法拉第，但法拉第不是数学家，他没能发展这个概念。经过马克斯威尔之手，

电场理论得到了精确的描述，成为以后所有场论的模式。”

整个流体运动的理论是由纳维―托克斯方程组表述的，它首先是由法国多科工艺和交

通工程学校的力学教授纳维初步完成的，而最终是由英国物理学家和数学家斯托克斯爵士

完善并完成的。计算的技艺——数值分析以及运算速度的问题（计算机的制造），牛顿、

莱布尼兹、欧拉、高斯都曾给予系统研究，它们一直是数学的重要部分。在现代计算机的

发展研制中数学家起了决定性的作用。莱布尼兹，贝巴奇等数学家都曾研制过计算机。20

世纪30年代，符号逻辑的研究方程活跃，丘奇，哥德尔，波斯特和其他学者研究了形式

语言。经过他们以及图灵的研究工作，形成了可计算性这个数学概念。1935年前后，图灵

建立了通用计算机的抽象模型。这些成果为后来冯•诺伊曼和他的同事们制造带有存储程

序的计算机，为形式程序的发明提供了理论框架。

通信的数学理论是由数学家香农（他还具有电气工程的学位）于1948年发表的《通

信的数学理论》一书奠定其理论基础的，随后就掀起了持续的信息技术革命。数学家纳维

于1948年出版的《控制论》一书宣告了控制论这门学科的诞生。

自1968年起诺贝尔经济学奖获奖设立项目90%以上都是有关经济学行为的数学建模及

相应的研究工作，获奖者中不少人有数学博士学位。特别要提到的是1994年诺贝尔经济

学奖授予纯粹数学家J•纳什是意义重大的，“这意味着在诺贝尔奖93年的历史上，第一

次授予了纯数学领域的工作。”类似的例子还有许多，我们不再举了，我们真正要讨论的

问题，是从这些事实中我们得到什么样的启示。

材料科学所关心的是性质和使用。目的是合成及制造新材料，了解并预言材料的性质

以及在一定时间段内控制和改进这些性质。不久以前，材料科学还主要是在冶金，制陶和

塑料业中的经验性研讨，今天却是个大大增长的知识主体，它基于物理科学，工程及数学。

所有材料的性质最终取决于它们的原子及其组合成的分子结构。例如，聚合体是山简单分

子组合成的物质，而这些分子是些重复的结构单元，称之为单体。单个的聚合体分子可以

由数百至百万个单体构成并具有一个线性的，分枝或者网络的结构。

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聚合体的材料可以是液态也可以是固态，其性质取决于加工它的方式（譬如，先加热，

逐渐冷却，高压）。聚合体的交错缠绕的排列提出了一个困难的建模问题。但是，在一些

领域中数学模型已经表现得相当可靠，这些模型非常复杂，故而迄今只取得很少几个结果,

它们对聚合体加工可能有用，聚合体的较简单但却更表象的模型是基于连续介质力学，但

附加了要记忆的一些条件。对材料科学家来说，解的稳定性与奇点是重要的结果，但甚至

对于这些较简单的模型仍缺少数学。

复合材料的研究是另一个运用数学研究的领域，如果我们在一种材料颗粒中搀入另■

种材料，得到•种复合材料而其显示的性质可能根本不同于组成它的那些材料，例如汽车

公司将铝与硅碳粒子相混合以得到重量轻的钢的替代物。带有磁性粒子充电粒子的气流能

提高汽车的制动气流和防撞装置的效果。

最近卜年来，数学家们在泛函分析，PDE及数值分析中发展了新的工具，使他们能够

估计或计算混合物的有效性质。但是新复合物的数目不断增长，同时新的材料也不断被开

发出来，迄今所取得的数学成就只能看作一个相当不错的开始。甚至对H经研究了好些年

的标准材料仍面临着大量的数学挑战。例如，当一个均匀的弹性体在承受高压时会破裂。

破裂是从何处又是怎样开始的，它们是怎样扩展的，何时它们分裂成许多裂片，这些都是

有待研究的问题。

数学在生物学、医学等领域正起着越来越重要的作用，无论在生态学、生理学、心理

学，以至DNA和生命科学的研究中，我们都看到数学的强大生命力。甚至医生在做手术之

前都可以先进行数学模拟以预知各种方案可能出现的后果，再依据个人的经验来选择手术

方案。2002年美国科学基金会专门在俄亥俄州立大学成立了一个“数学生物科学研究

所”。

在生物学和医药科学中也出现了数学模型，炒得很热的基因方案的一些重要方面需要

统计，模型识别以及大范围优化法。虽不太热却是长期挑战的是生物学其他领域中的进展,

比如在生理学方面，拿肾脏作个例子吧，肾的功能是以保持危险物质（如盐）浓度的理想

水平来规范血液的组成。如果一个人摄入了过多的盐，肾就必须排出盐浓度高于血液中所

含浓度的尿液。在肾的四周上有上百万个小管，称作肾单位，负有从血液中吸收盐份转入

肾中的职责，他们是通过与血管接触的种传输过程来完成的，在这个过程中渗透压力过

滤起了作用。生物学家已把这过程涉及到的物质与人体组织视为一体了，但过程的精确过

程却还只是勉强弄明白了。

肾脏的运作过程的一个初级数学模型，虽然简单，却已经帮助说明了尿的形成以及肾

脏做出的抉择，比如是排出一大泡稀释的尿还是一小泡浓缩的尿，然而我们仅仅是在了解

这种机理的非常初级的阶段。一个更加完全的模型可能会包含PDE、随机方程、流体

力学、弹性力学、滤波论及控制论，或许还有一些我们尚不具备的工具。心脏力学、钙（骨）

力学、听觉过程、细胞的附着与游离（对生物过程是非常重要的，如发炎与伤口愈合）以

及生物流体（biofluids）是生理学中其他一些学科，在那里现代数学研究已经取得了一些

成就；更多的成就会随后而至。

数学将要取得重要进展的其他领域，包括有一般性的生长过程和特殊的胚胎学、细胞

染色、免疫学、反复出现的传染病，还有环保项目如植物中的大范围现象及动物群体性的

建模。当然我们决不能忘记还有人类的大脑，自然界最棒的计算机，还有它所具有的感觉

神经元、动作神经元以及感情和梦想！

历史学研究中运用数学方法.不仅促进了新研究领域的开拓，而且使研究过程和研究

成果更精确、严谨；不仅影响着对原始材料的收集和整理以及分析这些资料的方向、内容

和着眼点，而且影响着观察问题的角度和思考问题的方式，从而有可能解决使用习惯的传

统的历史研究方法所无法解决的某些难题.

前面提到在与其他学科的关系中，数学的发展不少方面正逐渐从后台走向前台，这又

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是20世纪数学发展的一个重要特点。这方面的典型范例大概有两个方面，一是密码学及

电子商务、信息安全、军事运筹学、网络战等相关领域，主要依靠数学思想和方法的创新

及其软件实现；二是发达国家政府的重要部门以及许多大公司都设有阵容强大的数学部。

1984年，美国国家安全局局长曾说过，美国国家安全局是美国数学界最大的雇主，它雇用

了2000多位具有博士等学位的数学家。这些数学家通过完成部门或公司交给他们的工作,

逐步和所在单位的科技人员融为一体，直接为雇主作出贡献，为数学的发展作出贡献。更

为重要的是这些数学家知道哪些成果可以直接或间接地用于他们的研究中去，也能向数学

界提出源于实践的数学研究课题，在某种意义下对数学发展的方向产生了巨大影响。回顾

20世纪后半叶以来诸如有限元方法、快速富里埃变换、小波分析、分形、混沌等等领域无

一例外地都是在实际工作者和数学家的合作中迅速发展起来的，并且显示了强大的威力。

2、数学与工业生产、信息技术

从数学本身产生的抽象数学体系和它的结果也会产生极有价值的应用。比如在高中阶

段我们即将学习的夏数，在已开始不被人理解，直到19世纪三十年代高斯给出了几何解

释才在数学中站住了脚，以后又建立了复变函数论，成了解决技术问题的有力工具。例如

解决飞机飞行的理论、热运动理论、电场理论和弹性理论的某些问题。

在电子计算机充分发展的今天，更为数学的应用提供了广阔天地。例如，在飞机制造

行业，过去每设计开发一种新型飞机，都要进行成千上万次的实物试验。模仿飞机在天空

飞行的各种气流情况，测验其各个方面的性能，并加以改正。这样，既耗费了大量资金，

又延长了飞机的开发周期。而现在，借助于计算机的帮助，建立数学模型，进行大量的计

算和虚拟模拟，在此基础上再进行实物试验，使试验次数大为减少，降低了开发成本，缩

短了开发周期。

计算机自从其诞生之日起，它的主要任务就是进行各种各样的科学计算。文档处理，

数据处理，图像处理，硬件设计，软件设计等等，都可以抽象为两大类：数值计算与非数

值计算。作为研究计算机科学技术的人员，我们大都对计算数学对整个计算机科学的重要

性有•些了解。但是数学对我们这些专业的研究和应用人员究竟有多大的用处呢？我们先

来看一下下面的一个流程图：

上图揭示了利用计算机解决科学计算的步骤，实际问题转换为程序，要经过一个对问

题抽象的过程，建立起完善的数学模型，只有这样，我们才能建立一个设计良好的程序。

从中我们不难看出计算数学理论对用计算机解决问题的重要性。

大约五十年前建成了第一台计算机，从而开始了•场可从表面上看与1760年到1840

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年发生在英国的产业革命相匹比的革命。我们现在亲自证实了这场计算机革命的完全冲

击：在商业、制造业、保健机构及工程业，与计算和通讯技术的进步相配的是数字信息的

萌芽状态，它已为多媒体铺出了•条路，其产品包括了文字图像、电影、录像、音乐、照

像、绘画、卡通、数据、游戏及多媒体软件，所有这些都由一个单独站址发送。

多媒体的数学包括了一个大范围的研究领域，它包含有计算机可视化，图像处理，语

音识别及语言理解、计算机辅助设计和新型网络。这些会有广泛的应用，应用于制造业、

商业、银行业、医疗诊断、信息及可视化，还有娱乐业，这只点出了几个而己。多媒体中

的数学工具可能包括随机过程、Marko场、统计模型、决策论、PDE、数值分析、图论、

图表算法、图象分析及小波等。还有其他一些领域中的一些，目前似乎还处在某种程度的

监护下，如人造生命和虚拟世界。

计算机辅助设计正在成为许多工业部门的强大工具：完全在计算机上设计，在键盘上

一敲后产品便在远处的工厂里实现了•这种技术能成为数学家进行研究的工具吗？万维网

(WWW)已经成为多媒体最强劲的动力。它未来的辉煌取决于许多新的数学思想和算法

的发展，目前仍处在孩提时期。随着多媒体技术的扩展，对于保护私人数据的通讯文本的

需要也与II俱增。发展一个更加安全的密码系统就是数学家们的任务了。为此，他们必定

要借助于在数论、离散数学、代数几何及动力系统方面的新进展，当然还有其他一些领域。

组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数

学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科

学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心,

而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数

占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续时象的，如分析、方程等,

另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地

位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物

等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合

数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是

因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对

离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有

思维的.

随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会

活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。在美国听到过一种说法,

将来•个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件上的落后，要说出根

本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管

理水平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。除去这些人文因素以外，一个最根本的原

因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。

然而问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也

J经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是

需要集体的合作和力量，就象软件的开发需要多方面的人员的合作。美国的软件之所以能

领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。一般人可能会

认为数学是•门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。如果真是这样，

一门纯粹学科的发展落后几年，甚至卜年，关系也不大。然而中国的软件产业的发展已向

数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，网络安全，编码技术，系统软

件，并行算法，数学机械化和计算机推理，等等。此外，与实际应用有关的还有许多许多

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需要数学基础的算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设计等。如果我们的软件产业

还是把眼光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的

企业抢去很大的市场。如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力支持和投入，那将是

亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产

业的竞争中，扭转局面，甚至反败为胜。吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中

国在信息技术领域占领了•个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的

竞争力。这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。值得注意的是，印度有

很好的统计和组合数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。

现在也有人认为不需要懂得很多数学，只要会用软件就行了，学生不需要用那么多时

间去学数学。这种似是而非的观点是要认真分析的。诚然，有了计算机和软件，确实是只

要输入数据就能得出结果，过程似乎无关紧要，这也确实是常见的事实。但是，这样的学

生很难做出创新。“文革”北京内燃机总厂从国外进口了一分程控机床。有关齿轮加工的

机床说明中还特别附有一条：如果你们要加工新的产品，请把设计要求寄给我们，我们会

告诉你们应该怎么做。可以想象，在这种情况下我们还能有什么独立自主的创新可言呢。

这个机床的控制部分是与微分几何有关的数学建模问题，对于很多先进的软件，甚至计算

器来说，如果没有相当的数学基础，是不可能用好的，或者根本就不会用

3、数学与军事

高新科技的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学。现代战争总是借助现代数学

的运算进行事先模拟，在战争爆发之前就运算着战争的结局，以达到运筹帷幄决胜千里之

外的目的。数学与军事科学的交叉学科——军事运筹学。

军事科学中可以运用蒙特卡罗方法建立概率模型，因而可在实战前对作战双方的军事

实力，政治、经济、地理、气象等因素进行模拟，以选择出对自己一方既有利又最稳妥的

作战方案.

对天文学感兴趣的人可能知道“黑洞”现象。其实，数学也有类似的神秘数字现象，

比如''六一七四”问题。美国数学家马丁曾于上个世纪八十年代在《科学的美国人》杂志

上发表文章指出，任何不同的四位数字通过从大到小和从小到大的排列，得到差后再重复

上述运算，至多七次，得到的答案都是“六一七四”，国际数学界将之称为“马丁猜想一

一六一七四问题”。此后，全世界有不少人研究这一问题，但均未获得圆满的解决。“六•

七四问题”在打赢未来战争有着非同寻常的意义。如果战争爆发，一方得到敌方的某行动

密码，要破译它就需要“六一七四”的理论。

“六一七四”问题的成功解决，不但有重大的军事价值，还具有巨大的民用价值。比

如用在密码通讯、数据通讯等领域，它可以给加密和保密传输带来很大的方便，还可以运

用于电子产品、其它工业产品或工业设备并能解决电压的稳定性问题。

1950年，纳什进入兰德研究所工作，这是中央情报局设在圣莫尼卡的一个战略研究机

构，雇佣数学家推行冷战时代的对策理论。

4、数学与经济金融管理

提到数学与经济及金融，就会提到博弈论，就会提到《美丽心灵》主人公的原型一

诺贝尔经济学奖获得者——美国数学家纳什。

博弈论的英文名为gametheory,又称对策论，数学的一个分支，是使用严谨的数学模

型研究冲突对抗条件下最优决策问题的理论。用于分析竞争的形势，这种竞争的结果不仅

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依赖于一个人自己的抉择及机会，而且依赖于其他参与者的抉择。由于竞争结果依赖于所

有参与者的行为，每个局中人都企图预测其他参与者的可能抉择，以确定自己的最佳对策。

如何合理地进行这些相互依存的战略策划就是博弈论的主体。作为一门正式学科，博弈论

是在20世纪40年代形成并发展起来的。

博弈论的整个大厦建立在两个定理之上：冯・诺依曼1928年提出的极小极大定理和纳

什1950年发表的均衡定理。通过将这一理论扩展到牵涉各种合作与竞争的博弈，纳什成

功地打开了将博弈论应用到经济学、政治学、社会学乃至进化生物学的大门。

博弈论毕竟是数学，更确切地说是运筹学的一个分支，谈经论道自然少不了数学语言,

外行人看来只是一大堆数学公式。好在博弈论关心的是日常经济生活问题，所以不能不食

人间烟火。其实这一理论是从棋弈、扑克和战争等带有竞赛、对抗和决策性质的问题中借

用的术语，听上去有点玄奥，实际上却具有重要现实意义。博弈论大师看经济社会问题犹

如棋局，常常寓深刻道理于游戏之中。

所以，多从我们的日常生活中的凡人小事入手，以我们身边的故事做例子，娓娓道来,

并不乏味。话说有一天，一位富翁在家中被杀，财物被盗。警方在此案的侦破过程中，抓

到两个犯罪嫌疑人，斯卡尔菲丝和那库尔斯，并从他们的住处搜出被害人家中丢失的财物。

但是，他们矢口否认曾杀过人，辩称是先发现富翁被杀，然后只是顺手牵羊偷了点儿东西。

于是警方将两人隔离，分别关在不同的房间进行审讯。由地方检察官分别和每个人单独谈

话。检察官说：“由于你们的偷盗罪已有确凿的证据，所以可以判你们一年刑期。但是，

我可以和你做个交易。如果你单独坦白杀人的罪行，我只判你三个月的监禁，但你的同伙

要被判十年刑。如果你拒不坦白，而被同伙检举，那么你就将被判卜年刑，他只判三个月

的监禁。但是，如果你们两人都坦白交代，那么，你们都要被判5年刑”。斯卡尔菲丝和

那库尔斯该怎么办呢？他们面临着两难的选择——坦白或抵赖。显然最好的策略是双方都

抵赖，结果是大家都只被判一年。但是由于两人处于隔离的情况下无法串供。所以，按照

亚当•斯密的理论，每一个人都是从利己的目的出发，他们选择坦白交代是最佳策略。因为

坦白交代可以期望得到很短的监禁——3个月，但前提是同伙抵赖，显然要比自己抵赖要

坐10年牢好。这种策略是损人利己的策略。不仅如此，坦白还有更多的好处。如果对方

坦白了而自己抵赖了，那自己就得坐10年牢。太不划算了！因此，在这种情况下还是应

该选择坦白交代，即使两人同时坦白，至多也只判5年，总比被判10年好吧。所以，两

人合理的选择是坦白，原本对双方都有利的策略（抵赖）和结局（被判1年刑）就不会出

现。这样两人都选择坦白的策略以及因此被判5年的结局被称为“纳什均衡”，也叫非合

作均衡。因为，每一方在选择策略时都没有“共谋”（串供），他们只是选择对自己最有

利的策略，而不考虑社会福利或任何其他对手的利益。也就是说，这种策略组合由所有局

中人（也称当事人、参与者）的最佳策略组合构成。没有人会主动改变自己的策略以便使

自己获得更大利益。

从“纳什均衡”的普遍意义中我们可以深刻领悟司空见惯的经济、社会、政治、国防、

管理和日常生活中的博弈现象。我们将例举出许多类似于“囚徒的两难处境”这样的例子。

如价格战、军奋竞赛、污染等等。,般的博弈问题由三个要素所构成：即局中人（players）

又称当事人、参与者、策略等等的集合，策略（strategies）集合以及每一对局中人所做的选

择和赢得（payoffs）集合。其中所谓赢得是指如果一个特定的策略关系被选择，每一局中人

所得到的效用。所有的博弈问题都会遇到这三个要素。

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价格战博弈：

现在我们经常会遇到各种各样的家电价格大战，彩电大战、冰箱大战、空调大战、

微波炉大战……这些大战的受益者首先是消费者。每当看到一种家电产品的价格大战,

百姓都会“没事儿偷着乐”。在这里，我们可以解释厂家价格大战的结局也是一个“纳

什均衡”，而且价格战的结果是谁都没钱赚。因为博弈双方的利润正好是零。竞争的

结果是稳定的，即是一个“纳什均衡”。这个结果可能对消费者是有利的，但对厂商

而言是灾难性的。所以，价格战对厂商而言意味着自杀。从这个案例中我们可以引伸

出两个问题，一是竞争削价的结果或“纳什均衡”可能导致一个有效率的零利润结局。

二是如果不采取价格战，作为一种敌对博弈论(vivalrygame)其结果会如何呢？每一

个企业，都会考虑采取正常价格策略，还是采取高价格策略形成垄断价格，并尽力获

取垄断利润。如果垄断可以形成，则博弈双方的共同利润最大。这种情况就是垄断经

营所做的，通常会抬高价格。另一个极端的情况是厂商用正常的价格，双方都可以获

得利润。从这一点，我们又引出一条基本准则：“把你自己的战略建立在假定对手会

按其最佳利益行动的基础上”。事实上，完全竞争的均衡就是“纳什均衡”或“非合

作博弈均衡”。在这种状态下，每一个厂商或消费者都是按照所有的别人已定的价格

来进行决策。在这种均衡中，每一企业要使利润最大化，消费者要使效用最大化，结

果导致了零利润，也就是说价格等于边际成本。在完全竞争的情况下，非合作行为导

致了社会所期望的经济效率状态。如果厂商采取合作行动并决定转向垄断价格，那么

社会的经济效率就会遭到破坏。这就是为什么WTO和各国政府要加强反垄断的意义所

在。

污染博弈：

假如市场经济中存在着污染，但政府并没有管制的环境，企业为了追求利润的最

大化，宁愿以牺牲环境为代价，也绝不会主动增加环保设备投资。按照看不见的手的

原理，所有企业都会从利己的目的出发，采取不顾环境的策略，从而进入“纳什均衡”

状态。如果一个企业从利他的目的出发，投资治理污染，而其他企业仍然不顾环境污

染，那么这个企业的生产成本就会增加，价格就要提高，它的产品就没有竞争力，甚

至企、也还要破产。这是一个“看不见的手的有效的完全竞争机制”失败的例证。直到

20世纪90年代中期，中国乡镇企业的盲目发展造成严重污染的情况就是如此。只有

在政府加强污染管制时.，企业才会采取低污染的策略组合。企业在这种情况下，获得

与高污染同样的利润，但环境将更好。

贸易自由与壁垒：

这个问题对于刚刚加入WTO的中国而言尤为重要。任何一个国家在国际贸易中都

面临着保持贸易自由与实行贸易保护主义的两难选择。贸易自由与壁垒问题，也是一

个“纳什均衡”，这个均衡是贸易双方采取不合作博弈的策略，结果使双方因贸易战

受到损害。X国试图对Y国进行进口贸易限制，比如提高关税，则Y国必然会进行反

击，也提高关税，结果谁也没有捞到好处。反之，如X和Y能达成合作性均衡，即从

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互惠互利的原则出发，双方都减少关税限制，结果大家都从贸易自由中获得了最大利

益，而且全球贸易的总收益也增加了。

虽然博弈论是作为数学的一个分支出现的，但是它在军事、政治、经济许多方面都有

很多重要的运用，其中以在经济学内的运用最多也最为成功。

在经济金融管理上，数学的应用更是不可估量，据报道：美国近几年来不断有大批具

有数学博士学位的年轻人加盟华尔街，形成一只非常强大的数学金融队伍。欧洲一些发达

国家的数学金融研究队伍也是日趋强大。美国花旗银行副总裁柯林斯于1995年3月6日

在英国剑桥大学的讲演中叙述到：在二十世纪“从事银行业工作而不懂数学的人，实际上

处理的是意义不大的东西”。他指出“花旗银行70%的业务依赖于数学。”他还特别强调“如

果没有利用数学发展起来的工具和技术，许多事情我们一点也没办法做到……没有数学我

们不可能生存」

现代金融理论的核心之一是定量分析。只有运用定量分析手段来分析处理问题，才能

做出正确的金融决策。显而易见，定量分析手段实际上就是数学工具的运用。一个最典型

的例子是金融事业中的风险管理问题，风险管理得当，对稳定金融市场，保持国民经济的

持续增长有着十分重要的意义。风险管理的工具就是数学与经济学的结合物——金融衍生

物理论。

5、数学与生活

大物理学家伽利略曾经说过，“自然界的伟大的书是用数学语言写成的”“我们生活在

受精确的数字定律制约的宇宙中”，所以，生活于其中的我们，要想认识自然、改造自然，

就不可能离开数学。也许正如上面所谈，在我们的生活空间，我们感受不到现代数学的气

息，然而，它己经作为一种技术渗透在我们的生活环境之中，像电视机的遥控、数码录像

机、自动控温的微波炉、全自动洗衣机等现代家庭电器中没有一个不是利用数学技术的产

品。在这里，数学是以一种我们看不见的方式影响着我们的生活，改变着我们的生活质量

和生活方式。有一些是我们过于习惯了，已经融入到我们的生活里了，它是那样的自然，

以至我们感觉不到它的存在，像我们的计数、测量等数学活动。

现代社会里，“数学不仅能够帮助我们在经营中获利，而且，它能给予我们能力，包

括直观思维、逻辑推理、精确计算，以及结论的明确无误”。下面的这个案例足以说明数

学在我们经营中的作用。一个人要成立一家新公司，由于业务关系，急需一辆汽车，但又

因资金问题无力购买，决定暂租一辆汽车使用。现有两家出租车公司供选择，两家出租车

公司条件不同，租哪家的更合算？一家的出租条件是“每月付给司机100。元工资，另

外每百公里付10元汽油费”；另一家公司只按行程算账，出租条件是“每百公里付14

0元的费用”。这就要求新公司老板根据自身业务用车情况（里程）运用数学的知识去选

择有利于自己的出租车公司。

过去，一说起读写，就是指文字的读写，读书看报学时事只要认字就够了。但是，现

代社会里的读写的内涵已有所改变，不再单单是指文字、词语的读写了，也包括了数学的

读写，而且，对人们的数学读写能力的要求也是随着时代的进步越来越高，它与词语的读

写能力被看成同样基本的一种能力。只要留意，你会发现，如果没有理解基本的数学思想

的能力，有时就不可能完全领会、理解诸如在每天报纸上出现的现代文章。其实，许多的

数学概念，如机会（可能性、概率）、逻辑、图象等，已经渗透到了每天的新闻和例行公

事的决定中。诸如报纸上的“证券特别关注”“深证所股市行情”（给出了成分指数分时走

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势图，你能从中看出某个时间段中何时指数处于高峰、最高峰值是多少、何时处于最低谷、

最低指数是多少、成交量何时最高、其成交股数是多少、指数最高的时候其成交量是多少）

等等，这些东西都要求读者运用数学去理解、思考、把握。其实，这类包含数学成分的阅

读材料、文章、信息，儿乎在各大、中、小报纸的每期中都会涉及。有时还会涉及数字及

推理的内容，像“2000年一季度我国对外贸易进出口总额达980亿美元，比199

9年同期增长40%,其中出口增长39%,进口增长46%”这样的报道，你若从中再

想获得1999年一季度我国对外贸易进出口各为多少、200。年一季度我国的对外贸

易是顺差还是逆差等信息就要用数学了。

公众政策中定量成分也多了起来，公众关于税率和公共卫生的重大问题的争论常常集

中在用数字表述出来的科学问题上。如从人口增长的预测中、从影响利率的诸因素之间的

相互作用中推断问题的结论，本质上都包含着运用数学的成分。生活环境中需要运用数学

的地方越来越多，像比较贷款的优劣，存款利息的多少，保险金额的计算，家庭或个人外

出旅游前旅行社或旅行路线的最优选择，等等，所以，人们比过去任何时候都需要数学地

思考，生活越来越离不开数学。

“数学是我们这个时代的看不见的文化”，数学的观念在众多不同层次上影响着我们

的生活方式和工作方式。数学与生活的密切关系其实也是我们为什么要学数学的一个原

因。人们以不同的方式感受着数学与生活的联系，很多人根据在日常生活、办公室或在工

作场所所需要使用的数学技能认识数学与生活的联系；一些人则从更高层次上认识数学与

生活的联系，即数学是科学发展和现代技术的基础，数学技术促进科学技术的发展与进步,

而后者直接改变着我们的生活；一些人从数学技术作为一种商业和工业中的管理工具认识

数学与生活的联系。可以说，不同的人群感受数学与生活的联系方式是不同的，就好比不

乘坐火车或飞机的人可能不需要查看时刻表，不开汽车或摩托车的不必去买汽油计算油

价，他们有可能只了解数学与生活的这一面的联系而体会不到在另一方面的联系。但是，

一般说来，生活中总会遇到下列活动：读数和计数、看钟点、购物付钱和找零、测量和计

重、看浅易简单的图形表格和图示、对数量进行合理的计算和近似估计等，这是我们感受

最多最深的数学与生活的联系。除此之外，职业中数学与职业生活的联系更显专业性。

计算几乎是所有职业中都需要的，完成这些计算有时用心算，有时用笔算，有时用计

算器。百分数常用于有关钱的计算，例如，折扣、增值税、利润等。估计是在工业和商业

部门中经常用到的数学知识。计数和计量更重要，职业中使用的绝大多数数学都与计量有

关。计量包括两个方面，-是必须确定现存的计量，二是需要确定所要求的计量。

制造业中，在被认为是操作工的人员中，很多人的工作似乎与数学无联系，但有两类

操作工的劳动仍是与数学有关的。一类操作工可能需要计算堆积物品的数量并计录结果，

识别、抄录和解释数码，做加、减、乘、除等运算，看懂刻度表和计量器（可能只是确认

指针或别的指示器是否处在规定的限度内），计重和测量（包括熟悉毛重和净重的概念）；

另一类操作工可能要使用更广泛的基本知识和基本技能，例如看懂工程图纸（一般是标有

一些尺寸的手画草图，要求拥有必要的几何知识，以便能用三维术语解释二维图形），理

解用“土”或其他方式表示的误差界限，有些可能需要根据给定的比例混合配料等。技工

行当所使用的数学的范围一般要比操作工广，他们可能需要在一定的误差范围内工作，看

懂数字显示器上数字的意义，看懂仪表，看懂图纸（平面图、垂直投影图和截面图等）。

技术人员用数学的机会更多，科学实验室的技术人员在绘制和解释由实验的结果、实验仪

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器的标度或装备有计算机的测试仪器的输出而产生的各种图形和图象时要用到更高深的

数学，例如可能需要确定拐点、知道线性关系或非线性关系，有些技术人员可能要经常与

数字统计处理打交道，有些技术人员可能需要使用正比例和反比例概念来检验判断一些实

验结果的情况。

工商业中，雇员、办事员的工作可能包括把数字代入一般用文字表述的公式和画出销

售或生产图表，计数（可能是一个一个地计数，也可能是五个五个地计数等）、记数并把

它们排序或列成表格形式。有些工作需要开帐单、算折扣或增值税，可能需要与平均数、

百分数打交道，对数据表格可能要求既按行又按列相加，或简单的数据表格相乘，即是矩

阵相加或相乘。饮食服务业工作人员涉及最多的是钱的计算，需要核加账单，有时需要帮

助顾客查看时刻表，炊事人员要涉及计重、测量、估计，有时需要按一定比例、大小配制

食谱，特殊炊事员还可能要计算特定的营养要求，以提供营养搭配合理的饮食，有时也可

能需要计算每一份的成本。

建筑业公司雇员常常需要较为准确地估计用料多少，砌砖工、泥水工、油漆工和装饰

工同样需要估计其工作所需要材料的数量，要求在长度、面积和体积方面有一定的直觉，

大多数建筑行业的人需要经常看图纸，进行精确测量。

传统农业生活似乎与数学的关系不大，对数学的要求不高，主要是计数和测量。但是,

现代农业用数学的机会越来越多。基本原料及先进技术方面的高成本迫使农业生产者要对

诸如动物饲料、除草剂、农药化肥等作出精确计量。农业机械要求农业生产者能看懂一系

列仪表盘、计量器，如精细播种要求农业生产者正确校准仪表，提供准确的种子数量。饲

养人员有时要求按各种有关物质的需求量之间的比例进行饲料配制。菜农种植塑料大棚，

大棚的建造需要成本、用料的计算、估计等。

新的世纪是一个高度信息化的社会，收集、筛选、处理和利用信息为决策和预测服务

既是公民必备的素质之一，又是经常性的工作，而运用统计和概率的方法收集、整理、描

述和分析数据是获取有用信息的重要途径，这将更加密切数学与我们日常工作的关系。

数学应用的实例举不胜举。数学的一个分支运筹学在生产管理、决策、控制方面的应

用。原本与数学无关的通讯在今天也直接应用上了数学。用模糊数学的观点和思想研制的

智能型家用电器也走进了家庭。人们在猜测二十一世纪是一个数字化的世纪。

因此，为了让我们的学生成为21世纪的合格公民，我们要掌握好数学，使我们能在

适当的地方数学地思考，合理地运用数学进行决策。

6、数学与艺术

早在古希腊时代，数学本身就被视为艺术。毕达哥拉斯学派从研究数学与声学的实践

中概括出“美是和谐的比例”。那个时代，琴弦之间长度的比例关系就是依靠数学方法来

确定的，而琴弦的长度直接影响声音的和谐。毕达哥拉斯学派在研究中发现，两根绷得一

样紧的弦，如果一根长度是另•根的2倍，那么两根弦弹奏时发出的音是同一个调，但相

差八度，在此基础上，他们发现了关于音程的数学基础学说，提出了关于音乐的基本