八年级下册数学教案

第十六章分式

16.1分式

16.1.1从分数到分式

一、教学目标

1.了解分式、有理式的概念.

2.理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意

义的条件，分式的值为零的条件.

二、重点、难点

1.重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

2.难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.

3.认知难点与突破方法

难点是能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.突破难点的

方法是利用分式与分数有许多类似之处，从分数入手，研究出分式的有关概念，

同时还要讲清分式与分数的联系与区别.

三、例、习题的意图分析

本章从实际问题引出分式方程100=60,给出分式的描述性的定义：像这

20+v20-v

样分母中含有字母的式子属于分式.不要在列方程时耽误时间，列方程在这节课

里不是重点，也不要求解这个方程.

1.本节进一步提出P4［思考］让学生自己依次填出：10,£,200,L为下

7a33s

面的［观察］提供具体的式子，就以上的式子J2L，包，£,L有什么共同点？

20+v20-vas

它们与分数有什么相同点和不同点？

A

可以发现，这些式子都像分数一样都是（即A4-B）的形式.分数的分子A

与分母B都是整数，而这些式子中的A、B都是整式，并且B中都含有字母.

P5［归纳］顺理成章地给出了分式的定义.分式与分数有许多类似之处，研究

分式往往要类比分数的有关概念，所以要引导学生了解分式与分数的联系与区

别.

希望老师注意：分式比分数更具有一般性，例如分式&可以表示为两个

B

整式相除的商（除式不能为零），其中包括所有的分数.

2.P5［思考］引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由

分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有

A

满足了分式的分母不能为零这个条件,分式才有意义.即当BW0时，分式-才

B

有意义.

3.P5例1填空是应用分式有意义的条件一分母不为零，解出字母x的值.

还可以利用这道题，不改变分式，只把题目改成“分式无意义”，使学生比较全

面地理解分式及有关的概念，也为今后求函数的自变量的取值范围，打下良好的

基础.

4.P12［拓广探索］中第13题提到了“在什么条件下，分式的值为0?”，

下面补充的例2为了学生更全面地体验分式的值为0时，必须同时满足两个条件:

①分母不能为零；②分子为零.这两个条件得到的解集的公共部分才是这一类题

目的解.

四、课堂引入

1.让学生填写P4［思考］,学生自己依次填出：12,£,200,I.

1a33s

2.学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江

以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时

间相等，江水的流速为多少？

请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.

设江水的流速为x千米/时.

轮船顺流航行100千米所用的时间为型_小时，逆流航行60千米所用时间

20+v

工.小时，所以I。。=60.

20-v20+v20-v

3.以上的式子60,上，L有什么共同点？它们与分数有什么相

20+v20-vas

同点和不同点？

五、例题讲解

P5例1.当x为何值时，分式有意义.

［分析］已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解

出字母x的取值范围.

［提问］如果题目为：当x为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样

可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.

(补充)例2.当m为何值时，分式的值为0?

">2,„2_|

(1)m-1(2),"+3(3)加+］

［分析］分式的值为0时，必须回枝满足两个条件：①分母不能为零；②分

子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解.

［答案］(1)m=0(2)m=2(3)m=l

六、随堂练习

1.判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？

9x+4,Z,2±z,竺a,8y-3,

x205y2x-9

2.当x取何值时，下列分式有意义？

3x+52x-5

(1)^1(2)五(3)E

3.当x为何值时，分式的值为0?

⑴山(2)(3)4^

5x21-3xx-x

七、课后练习

1•列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？

(1)甲每小时做x个零件，则他8小时做零件个，做80个零件需小

时.

(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流

速度是千米/时，轮船的逆流速度是千米/时.

(3)x与y的差于4的商是.

2.当x取何值时，分式;与无意义？

3x-2

3.当x为何值时，分式RB的值为0?

X'-X

八、答案：

六、1.整式：9x+4,山，I分式：1,为二2,_L

205xy2x-9

3

2.(1)xW-2(2)水W(3)xW±2

3.(1)x=-7(2)x=0(3)x=-l

80

sx-y・x-y

七、1.18x^,a+b,------，------，整式:8x,a+b,

a+b44

分式：双，上

xa+b

2.X=23.x=-l

3

16.1.2分式的基本性质

一、教学目标

1.理解分式的基本性质.

2.会用分式的基本性质将分式变形.

二、重点、难点

1.重点：理解分式的基本性质.

2.难点：灵活应用分式的基本性质将分式变形.

3.认知难点与突破方法

教学难点是灵活应用分式的基本性质将分式变形.突破的方法是通过复习

分数的通分、约分总结出分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.

应用分式的基本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的基础上灵活地将分

式变形.

三、例、习题的意图分析

1.P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以

了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了

这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.

2.P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.

值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；

通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及

所有因式的最高次累的积，作为最简公分母.

教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示

加深对相应概念及方法的理解.

3.P11习题16.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母

都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、

分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.

“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含号”是分式的基本性质的

应用之一，所以补充例5.

四、课堂引入

1.请同学们考虑：（与算相等吗？i与（相等吗？为什么？

31593

2.说出W与五之间变形的过程，五与i之间变形的过程，并说出变形

依据？

3.提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.

五、例题讲解

P7例2.填空:

［分析］应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，

使分式的值不变.

P11例3.约分：

［分析］约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式,

使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.

P11例4.通分：

［分析］通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及

所有因式的最高次幕的积，作为最简公分母.

（补充）例5.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

_6b,-x,_2m,-Im,-3x。

-5a3y-n6n-4y

［分析］每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同

时改变，分式的值不变.

X2m_2m

解：3="，一九_---,9

-5a5a37一3y一〃n

-7m_Im-3x_3x

0

6n6n_4y4y

六、随堂练习

1.填空：

(1)a6aE_3万

⑵

x~+3xx+38/n

)附1=()——)，2

(3(4)

a+carisen(x+4()

2.约分：

⑴网2(2)如4/o\―4工2/3⑷

Gabc2mn16X”5yr

3.通分：

(1)—^和2(2)，-和巴

2ab35c12bze2xy3x2

⑶券和一七(4)—和」一

y-1y+1

4.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

⑴芸⑵-高⑶得（4）n

m

七、课后练习

1.判断下列约分是否正确:

b+chx2-y2x+y

(3)^-^=0

m+n

2.通分：

3.不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带号.

(1)~2a~b(2)_r+2y

-a+b3x-y

八、答案：

六、1.(l)2x(2)4b(3)bn+n(4)x+y

4m

2.(1)—(2)(3)--二(4)-2(x-y)2

2bcn4z~

3.通分：

(1)—!-y=5ac24b

2ab3l0a2h3c56b2c10a2b3c

(2)2=3axb2by

/2'

2xy6xy3?"6x2y

(3)-^=12c3aah

2ab2Sab2c28bcSab2c2

y+i1

(4)—=

y-l(y-i)(y+i)y+i(y-i)(y+i)

4.⑴二a35a⑷(a-b)2

-(2)(3).

3ab217b213x2m

16.2分式的运算

16.2.1分式的乘除（一）

一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.

二、重点、难点

1.重点：会用分式乘除的法则进行运算.

2.难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算.

3.难点与突破方法

分式的运算以有理数和整式的运算为基础，以因式分解为手段，经过转化后

往经过转化后往往可视为整式的运算.分式的乘除的法则和运算顺序可类比

分数的有关内容得到.所以，教给学生类比的数学思想方法能较好地实现新

知识的转化.只要做到这一点就可充分发挥学生的主体性，使学生主动获取

知识.教师要重点处理分式中有别于分数运算的有关内容，使学生规范掌握，

特别是运算符号的问题，要抓住出现的问题认真落实.

三、例、习题的意图分析

1.P13本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效

率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是上•呵，大

ahn

拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的（三倍.引出了分式的乘除法的

n）

实际存在的意义，进一步引出P14［观察］从分数的乘除法引导学生类比出分式的

乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.

2.P14例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，

应化简到最简.

3.P14例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多

项式分解因式，再进行约分.

4.P14例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但

要注意根据问题的实际意义可知a〉l,因止匕（a-1）Ja2-2a+l<aJ2+l,即（a-D'a'-l.

这一点要给学生讲清楚，才能分析清楚“丰收2号”单位面积产量高.（或用求

差法比较两代数式的大小）

四、课堂引入

1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高工•生，问题2求大拖拉机的工

ahn

ab

作效率是小拖拉机的工作效率的倍.

mn

［引入］从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量

关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法

法则.

1.P14［观察］从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.

3.［提问］P14［思考］类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？

类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.

五、例题讲解

P14例1.

［分析］这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运

算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在

计算结果.

P15例2.

［分析］这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，

再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把

它们展开.

P15例.

［分析］这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？

先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收

1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是空、还要

«2-1("if

判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>l,因此

(a-l)2=a2-2a+l<a2-2+l,BP(a-l)2<a2-l,可得出“丰收2号”单位面积产量高.

六、随堂练习

计算

(1)S.过(2)_匚.皿(3)

abc2m5〃一

,/一］

(4)-8xy/(5)--4(6),，2-6＞，+9丑3_),)

5xa2—2a+\a2+4614-4y+2

七、课后练习

计算

(1)学国(3)等+

(4)-4b'ab(6)42(1、_y2)

3ab2'a-2b-35(y-x)3

八、答案：

六、(1)ab(2).2m(3)(4)-20x2(5)5+D(2)

5n14(a-l)(a+2)

(6)IzZ

y+2

七、(1)_1(2)(3)(4)”丝

X2c2\Oax3b

(5)上(6)6x(i+y)

l-x5(x-»

16.2.1分式的乘除(二)

一、教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算.

二、重点、难点

1.重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.

2.难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.

3.认知难点与突破方法：

紧紧抓住分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算这一点，然后利用上节

课分式乘法运算的基础，达到熟练地进行分式乘除法的混合运算的目的.课堂练

习以学生自己讨论为主，教师可组织学生对所做的题目作自我评价，关键是点拨

运算符号问题、变号法则.

三、例、习题的意图分析

1.P17页例4是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先把除法

统成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约

分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

教材P17例4只把运算统一乘法，而没有把257-9分解因式,就得出了最后

的结果，教师在见解是不要跳步太快，以免学习有困难的学生理解不了，造成新

的疑点.

2,P17页例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、变号法则是学生

学习中重点，也是难点，故补充例题，突破符号问题.

四、课堂引入

计算

(1)2/.(_马(2)更“玛.(__1)

xyx4yy2x

五、例题讲解

(P17)例4.计算

［分析］是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先统•成为乘法

运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最

后的计算结果要是最简的.

(补充)例.计算

二、3ah2.8xy、3x

(1)—T—•(----------2+--------

2x3y9a2b(-4/?)

=邛/-4b(先把除法统一成乘法运算)

2x3y9a2b3x

3ab28xy4b

（判断运算的符号）

2x3y9a2b3x

16/

（约分到最简分式）

9ax,

2x—6.,C(x+3)(x—2)

⑵---------------(X+J)

4-4x+4x------------------3-x

2x-61(x+3)(x-2)

（先把除法统一成乘法运算）

4-4x+4x2x+33-x

,2(X-3)1(x+3)(x-2)

（分子、分母中的多项式分解因式）

(2-x)2x+33-x

,2(X-3)1(x+3)(x-2)

(x-21x+3一(工一3)

2

x—2

六、随堂练习

计算

2

3b20c3

⑴意十条（急(2)—+(—6ab6c2)-L.

2a2b430淀护。

x2-2x)>+y2

9(4)(xy—/)十

⑶狂…y-x孙X2

七、课后练习

计算

。a2

⑴-中等+关）⑵q--6+93—a

4-b2"2+13。一9

12-6y/八x+盯‘.

(4)—~-H-(x+y)4-町

9-y2x"—xyy2f

八、答案:

⑴有⑶T

六.(4)-y

⑴36xz⑵昌

七.⑶旨(4)--

y3b-2X

16.2.1分式的乘除（三）

一、教学目标：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.

二、重点、难点

1.重点：熟练地进行分式乘方的运算.

2.难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.

3.认知难点与突破方法

讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算

a2a3

2_aaa-a3二3.3aaaa

bbbbb2~b~b~b~bbb17'

顺其自然地推导可得:

n个n小

人

aa4_〃・Q…na

―,即（n为正整数）

~b'~hnn

bjb♦b・・・・bbb

n个n个

归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.

三、例、习题的意图分析

1.P17例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判

断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方

的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除..

2.教材P17例5中象第（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者

来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样象第（2）题这样

的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应的增加几题为好.

分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，

强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点.

四、课堂引入

计算下列各题:

(1)(_)2=_._=())

bhbbbob

aaa

-=()

hhbb

［提问］由以上计算的结果你能推出（/（n为正整数）的结果吗？

五、例题讲解

（P17）例5.计算

［分析］第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结

果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运

算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.

六、随堂练习

1.判断下列各式是否成立，并改正.

(1)心=与(2)(凸

2a2a~2a46r

(3)(卷)3=驾Gy2

(4)(^£_)2=_2^

-3x9x3x-bx2-b2

2.计算

5v2

(1)(当2⑵小⑶用H

2

(4)段)、(2

—)5）（力•（-%（中）

-Z

(6)(-2)2.(—汐

2x2y

七、课后练习

计算

⑴(告)3⑵(-都之

341

⑶(二7)2+(*)2+(与4(4)(三2)2.(})3«2_从)

ababcabb-a

八、答案：

六、1.(1)不成立，匹¥=里(2)不成立，(0)2="

2a4a22a4a2

(3)不成立，(工匕了=一上二(4)不成立，

-3%27/

2

(/----3----x---)、2二-----------9---x---------------

x-bx2-2bx+b2

43

⑴器⑵_答8a)xv

2.(3)-(4)-4

4

⑸与⑹答

X

42

(1)-WC⑷誓

七、(2)-^―(3)

a&2,1+27

16.2.2分式的加减（一）

一、教学目标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.

（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.

二、重点、难点

1.重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.

2.难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.

3.认知难点与突破方法

进行异分母的分式加减法的运算是难点，异分母的分式加减法的运算,

必须转化为同分母的分式加减法，，然后按同分母的分式加减法的法则计算，转

化的关键是通分，通分的关键是正确确定几个分式的最简公分母，确定最简公分

母的般步骤：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）所出现的字母（或含字

母的式子）为底的累的因式都要取；（3）相同字母（或含字母的式子）的事的因式

取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因

式就是最简公分母除以原分母所得的商.

异分母的分式加减法的一般步骤：（1）通分，将异分母的分式化成同分母

的分式；（2）写成“分母不便，分子相加减”的形式；（3）分子去括号，合并

同类项；（4）分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式.

三、例、习题的意图分析

1.P18问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲

工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，

两队共同工作一天完成这项工程的2+—匚.这样引出分式的加减法的实际背

n〃+3

景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量

关系时，需要进行分式的加减法运算.

2.P19［观察］是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，

分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则.

3.P20例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式减法的

运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所

以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；

第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，

没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单,

教师应适当补充一些题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则.

（4）P21例7是一道物理的电路题，学生首先要有并联电路总电阻R与各

支路电阻Ri,Rz,…，R”的关系为_L=_L+_L+…+_L.若知道这个公式，就比较容

R"R2R.

易地用含有R的式子表示Rz,列出_L=_L+_^,下面的计算就是异分母的分式

RR、R1+50

加法的运算了，得到1.2凡+50,再利用倒数的概念得到R的结果.这道题的数

R/?,（/?,+50）

学计算并不难，但是物理的知识若不熟悉，就为数学计算设置了难点.鉴于以上

分析，教师在讲这道题时要根据学生的物理知识掌握的情况，以及学生的具体掌

握异分母的分式加法的运算的情况，可以考虑是否放在例8之后讲.

四、课堂堂引入

1.出示P18问题3、问题4,教师引导学生列出答案.

引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式

的加减法运算.

2.下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则

吗？

3.分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法

则？

4.请同学们说出万的最简公分母是什么？你能说出最简

2x2y33x4y29xy2

公分母的确定方法吗？

五、例题讲解

（P20）例6.计算

［分析］第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，

第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号

的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两

个分母的乘积.

（补充）例.计算

（.x+3yx+2y2x-3y

［分析］第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应

把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.

盘〃x+3yx+2y2x-3y

解:47-笆7+47

_（x+3y）-（x+2y）+（2x-3y）

=2x-2y

,2(x-y)

(x-y)(x+y)

2

犬+y

6

⑵小悬x2-9

［分析］第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解,

再确定最简公分母，进行通分，结果要化为最简分式.

11-x6

解:---7+-Z--------7---

x—36+2x厂一9

---1---1---1---x-----------6------

x—32(x+3)(x+3)(x—3)

_2(x+3)+(l—尤)(工-3)—12

2(x+3)(x-3)

_-(x2-6x+9)

2(x+3)(x-3)

2(x+3)(x-3)

x-3

2x+6

六、随堂练习

计算

a+bb-am+2nn2m

5a2b'5a2b5a2hn-mm—nn-m

63a-6b5a-6b4a-5h7a-8b

\O7(4)

Q+3a2-9a+ha-ha+ba-h

七、课后练习

计算

5a+6b3b-4aa+3b3b-aa+2b3a-4b

-------+----------------

⑴⑵2222

3a2be36。2c3cba2a2-b2a-b~b-a

/xb2a2..113x

(o3)------1-------FQ+0+](4)

a-hb-a6x—4y6x-4y4y2-6x2

八、答案：

3m+3〃1

四.⑴竺女(2)(3)(4)1

5a~bn-ma-3

2a-3b1

五.(1)：-(2)(3)1(4)

a2ba2-b23x-2y

16.2.2分式的加减（二）

一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.

二、重点、难点

1.重点：熟练地进行分式的混合运算.

2.难点：熟练地进行分式的混合运算.

3.认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序,在没有括号的情况下,

按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减.有括号要按先小括号，再中括

号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的

结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本

身的前面.

三、例、习题的意图分析

1.P21例8是分式的混合运算.分式的混合运算需要注意运算顺序，式与

数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要

进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

例8只有一道题，训练的力度不够，所以应补充一些练习题，使学生熟练掌

握分式的混合运算.

2.P22页练习1：写出第18页问题3和问题4的计算结果.这道题与第一

节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.

四、课堂引入

1.说出分数混合运算的顺序.

2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.

五、例题讲解

（P21）例8.计算

［分析］这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合

运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意

运算的结果要是最简分式.

（补充）计算

x2-2xx2-4.x+4x

［分析］这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号

提到分式本身的前边..

x~-2xx?-4x+4x

x+2x-1x

一x(x-2)―(x-2)2--(x-4)

_(x+2)(x-2)x(x-l)x

x(x-2)2x(x-2)2-(x-4)

_x~—4—x2+xx

x(x—2)~—(x—4)

1

x2-4x+4

242

'/)44"22

x-yx+yx-yx+y

［分析］这道题先做乘除，再做减法，把分子的“一”号提到分式本身的前边.

242

解：———＞「三J

x-yx+yx-yx+y

_xyx4yx2+y2

x-yx+y(x2+y2)(x2-y2)x2

_孙2________

(x—y)(x+y)x2-y2

_x」y-x)

(x-y)(x+y)

xy

x+y

六、随堂练习

计算

(1)++(2)(―--------

x-22-x2xa-bb-aab

31221

(3)+---------)

a—2Q~—4«—2Q+2

七、课后练习

1.计算

(1)(1+上)(1--—)

x-yx+y

/o、/。+2a—1CL—24-ct

(2)---------------;-----------)--------—丁

ci"-2。a—4。+4(I

114

2.计算()+=，并求出当。=T的值.

Q+2Q—2a

八、答案:

六、(1)2x(2)(3)3

a-b

外(2)—!—(3)a2

七、1.(1)2.-

x2-y2a-2a2-4,3

16.2.3整数指数塞

一、教学目标：

1.知道负整数指数幕&-"=3•（a#0,n是正整数）.

a"

2.掌握整数指数第的运算性质.

3.会用科学计数法表示小于1的数.

二、重点、难点

1.重点：掌握整数指数幕的运算性质.

2.难点：会用科学计数法表示小于1的数.

3.认知难点与突破方法

复习已学过的正整数指数嘉的运算性质：

（1）同底数的幕的乘法：/（m,n是正整数）；

（2）幕的乘方：（〃"）"=*（m,n是正整数）;

（3）积的乘方：（H）"=a"b"（n是正整数）；

（4）同底数的基的除法：a"'^a"=a"-"（aWO,m,n是正整数，

m>n）；

（5）商的乘方：（/"=9（n是正整数）；

0指数幕，即当a70时，a°=l.在学习有理数时，曾经介绍过1纳米

=1。9米，即1纳米=焉米.此处出现了负指数嘉，也出现了它的另外一种形式是

正指数的倒数形式，但是这只是一种简单的介绍知识，而没有讲负指数累的运算

法则.

学生在已经回忆起以上知识的基础上，一方面由分式的除法约分可知，当a

W0时，/+。5=吗=41^=3；另一方面，若把正整数指数基的运算性质

aaa

a'"+a"（a^O,m,n是正整数，m>n）中的m>n这个条件去掉，那么

43+。5=/一5=12.于是得到q-2=3（a7,0）,就规定负整数指数于的运算性质:

CT

当n是正整数时，a-n=^-（aWO）,也就是把""=屋”"的适用范围扩大了，

an

这个运算性质适用于m、n可以是全体整数.

三、例、习题的意图分析

1.P23思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幕的运算性质.

2.P24观察是为了引出同底数的事的乘法：am-an=a,n+n,这条性质适用

于m,n是任意整数的结论,说明正整数指数幕的运算性质具有延续性.其它的正

整数指数事的运算性质，在整数范围里也都适用.

3.P24例9计算是应用推广后的整数指数幕的运算性质，教师不要因为这

部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正,

以达到学生掌握整数指数幕的运算的教学目的.

4.P25例10判断下列等式是否正确？是为了类比负数的引入后使减法转

化为加法，而得到负指数暴的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式

的运算与整式的运算统一起来.

5.P25最后…段是介绍会用科学计数法表示小于1的数.用科学计算法表

示小于1的数，运用了负整数指数幕的知识.用科学计数法不仅可以表示小于1

的正数，也可以表示一个负数.

6.P26思考提出问题，让学生思考用负整数指数基来表示小于1的数，从

而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0,

用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负儿.

7.P26例11是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个

新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数.

四、课堂引入

1.回忆正整数指数基的运算性质：

(1)同底数的骞的乘法:优"""=a'i(m,n是正整数)；

(2)基的乘方：(a")"=*方,n是正整数);

(3)积的乘方：(")"=a"b"(n是正整数);

(4)同底数的幕的除法:(aWO,m,n是正整数，m>n)；

(5)商的乘方：(J=，n是正整数)；

2.回忆0指数界的规定，即当aWO时，a°=l.

1

3.你还记得1纳米=10-米，即1纳米=米吗？

107

331

4.计算当a70时，«3^«5=^=-^—=4,再假设正整数指数幕的运算

a'a-aa

性质=屋…(a#0,m,n是正整数，m>n)中的m>n这个条件去掉，那么

/+a5=/-5=。-2.于是得到一2=勺(a70),就规定负整数指数于的运算性