八年级数学下册 18 平行四边形教案 新人教版

第十八章平行四边形

本/章/整/体/说/课

«教学目标

产知识写技能」

1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系.

2.探索并证明平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理,并能运用它们

进行证明和计算.

3.了解两条平行线之间距离的意义,能度量两条平行线之间的距离.

4.探索并证明中位线定理.

r过程写方法1

1.通过经历平行四边形与各特殊平行四边形之间的联系与区别，使学生进一步认识一般

与特殊的关系.

2.通过经历平行四边形和特殊的平行四边形的性质和判定的探索、证明及相关计算的过

程，以及相关问题证明和计算的过程,进一步培养和发展学生合情推理、演绎推理的能力.

嘴感态度与侨情殖

1.通过几何问题的证明和计算,体验证法和解法的多样性，渗透转化思想.

2.通过动手实践,积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲.

«教材分析

平行四边形是特殊的四边形,它与三角形一样,既是几何中的基本图形,也是“空间与图

形”领域主要的研究对象.本章内容也是在已经学过的多边形、平行线、三角形的基础上

学习的，也可以说是在已有知识的基础上做出的进一步较系统的整理和研究,它是以后我们

继续学习其他几何知识的基础.本章内容主要包括:平行四边形、特殊的平行四边形.其中

平行四边形主要探索平行四边形的性质和判定,特殊的平行四边形主要介绍了矩形、菱

形、正方形,并根据定义探索它们的性质和判定.

«教学重难点

【重点】理解和掌握平行四边形、特殊的平行四边形的定义、性质和判定，掌握三角

形的中位线定理,会应用平行四边形和特殊的平行四边形的相关知识以及三角形中位线定

理解决一些简单的实际问题.

【难点】分清平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系和区别，能够灵活运用平

行四边形、特殊平行四边形的定义、性质和判定方法进行推理论证.

G教学建议

1.关于平行四边形及特殊的平行四边形概念之间从属、种差、内涵与外延之间的关系.

本章概念比较多,概念之间联系非常密切,关系复杂.由于平行四边形和各种特殊平行四

边形的概念之间重叠交错，容易混淆,因此弄清它们的共性、特性及其从属关系非常重要.

实际上,有时学生掌握了它们的特殊性质，而忽略了共同性质.如有的学生不知道正方形既

是矩形,又是菱形,也是平行四边形,应用时常犯多用或少用条件的错误.教学时,不仅要讲

清矩形、菱形、正方形的特殊性质，还要强调它们与平行四边形的从属关系和共同性质.也

就是在讲清每个概念特征的同时；强调它们的属概念,弄清这些概念之间的关系.在原有属

概念基础上附加一些条件（种差），通过扩大概念的内涵、减少概念的外延的方式引出新的

种概念；同时在原有属概念的性质和判定方法的基础上,来研究种概念的性质和判定方法.

弄清这些关系,最好是用图示的办法.在弄清这些图形之间关系的基础上,还要进一步向学

生说明概念的内涵与外延之间的反变关系，即内涵越小,外延越大;反之外延越小，内涵越大.

例如，正方形的性质中，包含四边形、平行四边形、矩形、菱形所有的特征，它的外延很小，

而平行四边形的外延很大.弄清了各种特殊平行四边形的概念,各种平行四边形之间的从属

关系也就清楚了，它们的性质定理、判定定理也就不会用错了.

2.进一步培养学生的合情推理能力和演绎推理能力.

从培养学生的推理论证能力的角度来说，本章处于学生初步掌握了推理论证方法的基础

上,进一步巩固和提高的阶段.本章内容比较简单,证明方法相对比较单一,学生前面已经进

行了一些推理证明的训练.但这种训练只是初步,要进一步巩固和提高.教学中同样要重视

推理论证的教学,进一步提高学生的合情推理能力和演绎推理能力.在推理与证明的要求方

面,除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外,还要求学生直接由已

有的结论对有些图形的性质通过推理论证得出.另外,为了巩固并提高学生的推理论证能力,

本章定理证明中，除了采用严格规范的证明方法外,还有一些采用了探索式的证明方法.这

种方法不是先有了定理再去证明它，而是根据题设和已有知识，经过推理，得出结论.另外也

有一些文字叙述的证明题,要求学生自己写出已知、求证,再进行证明.这些对学生的推理

能力要求较高,难度也有增加，但能激发学生的学习兴趣,活跃学生的思维,对发展学生的思

维能力有好处.教学中要注意启发和引导，使学生在熟悉“规范证明”的基础上，推理论证

能力有所提高和发展.

a课时划分

18.1平行四边形

18.L1平行四边形的性质（2课

时）5课时

18.1.2平行四边形的判定（3课

时）

18.2特殊的平行四边形

18.2.1矩形（2课时）

5课时

18.2.2菱形（2课时）

18.2.3正方形（1课时）

单元概括整合1课时

课/时/教/学/详/案

18.1平行四边形

T）教学目标

r知识写技能.

i.理解平行四边形的概念，探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.

2.理解并掌握平行四边形的判定条件,能利用平行四边形的判定条件证明四边形是平行

四边形.

3.掌握三角形的中位线的概念和定理.

*过程写

1.在运用平行四边形的性质和平行四边形的判定方法及三角形的中位线定理的过程中，

进一步培养和发展学生自主学习能力及应用数学的意识，通过对平行四边形判定方法的探

究,提高学生解决问题的能力.

2.通过类比、观察、实验、猜想、验证、推理、交流等教学活动,进一步培养学生动手

能力及合情推理能力，使学生会将平行四边形的问题转化成三角形的问题,渗透转化与化归

意识

心盾江观察、猜测、归纳、证明，培养学生类比、转化的数学思想方法，锻炼学生的简单推

理能力和逻辑思维能力，渗透“转化”的数学思想.

产情感态度与侨f

让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养学生善于发

现、积极思考、合作学习的学习态度.

■教学重难点

【重点】平行四边形的性质与判定方法的探究和运用，以及三角形中位线定理的理解

和应用.

【难点】平行四边形的判定与性质定理的综合运用.

18.1.1平行四边形的性质

①教学目标

“知识写技能一

1.理解平行四边形的概念.

2.探究并掌握平行四边形的边、角、对角线的性质.

3.利用平行四边形的性质来解决简单的实际问题.

“过程’与方庄

通过观察、猜测、归纳、证明，培养学生类比、转化的数学思想方法，锻炼学生的简单推

理能力和逻辑思维能力，渗透“转化”的数学思想.

M詈睛度身.首刷

让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养学生善于发

现、积极思考、合作学习的学习态度.

Q教学重难点

【重点】平行四边形的概念和性质的探索.

【难点】平行四边形性质的运用.

第LU课时

口整体设计

教学目标

知识与技能

1.理解平行四边形的定义及有关概念.

2.探究并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质，利用平行四边形的性质进行简

单的计算和证明.

3.了解平行线间距离的概念.

啜程右窗

1.经历利用平行四边形描述、观察世界的过程,发展学生的形象思维和抽象思维.

2.在进行性质探索的活动过程中，发展学生的探究能力.

3.在性质应用的过程中,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的推理能

力和逻辑思维能力.

F情藤度■吊海期

在性质应用过程中培养独立思考的习惯，让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学

的实际应用价值，同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.

(Q教学重难点

【重点】平行四边形边、角的性质探索和证明.

【难点】如何添加辅助线将平行四边形问题转化成三角形问题解决的思想方法.

①教学准备

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题的投影图片.

［学生准备】方格纸,量角器,刻度尺.

旧教学过程

至新课导入

导入一：

［过渡语］前面我们已经学习了许多图形与几何知识,掌握了一些探索和证明几何图

形性质的方法,本节开始,我们继续研究生活中的常见图形.

我们一起来观察下图中的小区的伸缩门，庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏,它们是什么

几何图形的形象？

学生观察,积极踊跃发言,教师从实物中抽象出平行四边形.

本节课我们主要研究平行四边形的定义及有关概念，探究并掌握平行四边形的对边相

等、对角相等的性质，利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.

［设计意图］通过图片展示,让学生真切感受生活中存在大量平行四边形的原型,进而从

实际背景中抽象出平行四边形，让学生经历将实物抽象为图形的过程.

导入二：

（出示本章农田鸟瞰图）

观察章前图,你能从图中找出我们熟悉的几何图形吗？

学生自由说出图中的几何图形，教师结合学生说到的图中包含长方形、正方形等，明确本

章主要研究对象一一平行四边形.

［过渡语］下面我们来认识特殊的四边形一一平行四边形.

［设计意佟口以农田鸟瞰图作为本章的章前图,学生可以见识各种四边形的形状,通过查

找长方形、正方形、平行四边形等，为进一步比较系统地学习这些图形做准备，并明确本章

的学习任务.

解新知构建

1.平行四边形的定义

思路一

黄问:你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？

教师引导学生回顾小学学习过的平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平

行四边形.说明定义的两方面作用：既可以作为性质，又可以作为判定平行四边形的依据.

追问:平行四边形如何好记好读呢？

画出图形,教师示范后,学生结合图练习，并提醒学生注意字母的顺序要按照顶点的顺序

记.

平行四边形用“口”表示，平行四边形/戊〃记作FBCD”.

如右图所示，引导学生找出图中的对边，对角.

对1力•匕RCUDC-5M•布•//匕；/R匚/

进一步引心学业总2吉:向边形中不庙邻前边,也就是没有公共顶点的边叫做对边;没有公

共边的角，叫做对角.

［设计意图］给出定义，强调定义的作用，让学生结合图形认识''对角”“对边”，为学

习性质做好准备.

思路二

请举出你身边存在的平行四边形的例子.

学生举出生活中常见的例子.如小区的伸缩门,庭院的竹篱笆和载重汽车的防护栏……

教师点评,画出图形,如右图所示.

提问：(1)你能说出平行四边形的定义吗？

(2)你能表示平行四边形吗？

(3)你能用符号语言来描述平行四边形的定义吗？

学生阅读教材第41页，点名学生回答以上问题,教师进一步讲解：

(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.概念中有两个条件:①是一个四边形;②

两组对边分别平行.

(2)指出表示平行四边形错误的情况,如。ACDB.

(3)作为性质：：四边形46徵是平行四边形，a;AB〃CD.

作为判定：•.3。多%AB〃CD,：.四边形4昭力是平行四边形.

［设计意图］学生结合实例和教材中的图片，师引导学生归纳这些四边形的共同特征，即:

两组对边分别平行.

2.平行四边形边、角的性质

思路一

［过渡语］同学们回忆我们的学习经历,研究几何图形的一般思路是什么？

一起回顾全等三角形的学习过程，得出研究的一般过程:先给出定义,再研究性质和判定.

教师进一步指出：性质的研究，其实就是对边、角等基本要素的研究.

提问：平行四边形是一种特殊的四边形,它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，

还有什么特殊的性质呢？

教师画出图形，如右图所示，引导学生通过观察、度量，提出猜想.

猜想1:四边形4质力是平行四边形，那么AB=CD,AD-BC.

猜想2:四边形四切是平行四边形,那么乙4=NGN庐/〃

追问：你能证明这些结论吗？

学生讨论,发现不添加辅助线可以证明猜想2.

'：AB//CD,.,.ZJ+ZZ>180°,

YAD〃BC,.../4+/后180°,

同理可得

在学生遇到困难时,教师引导学生构造全等三角形进行证明.

［过渡语］我们知道，利用全等三角形的对应边、对应角都相等是证明线段相等、角

相等的一种重要方法.

学生尝试,连接平行四边形的对角线,并证明猜想,如右图所示.

证明：连接AC.

'：AD//BC,AB//CD,

.\Z1=Z2,N3=N4.

又47是△49C和△烟的公共边，

:.△ABC^XCDA.

：.AD-CB,AB=CD.

N庐

'：ZBAD=Z1+Z4,/ZO=N2+N3,

Z1+Z4=Z2+Z3,

NBA庐NDCB.

引导学生归纳平行四边形的性质：

平行四边形的对边相等；

平行四边形的对角相等.

追问：通过证明,发现上述两个猜想正确.这样得到平行四边形的两个重要性质.你能说出

这两个命题的题设与结论,并运用这两个性质进行推理吗？

教师引导学生辨析定理的题设和结论，明确应用性质进行推理的基本模式：

•••四边形/版是平行四边形（已知），

.•"庐川】庐比（平行四边形的对边相等），

Z/=ZCN庆N〃（平行四边形的对角相等）.

［设计意图：让学生领悟证明线段相等或角相等通常采用证明三角形全等的方法,而图

形中没有三角形，只有四边形,我们需要添加辅助线,构造全等三角形,将四边形问题转化为

三角形问题来解决，突破难点.进而总结、提炼出将四边形问题化为三角形问题的基本思路.

［知识拓展一（1）运用平行四边形的这两条性质可以直接证明线段相等和角相等.（2）四

边形的问题,常常通过连接对角线转化成三角形的问题解决.

例1（教材例1）如图所示,在。/腼中，DEVAB,BFVCD,垂足分别为E,F.求证A^CF.

引导学生分析:要证明线段A序CF,它不是平行四边形的对边,无法直接用平行四边形的

性质证明，考虑证明a/ig△惭由题意容易得到N4&,再根据平行四边形

的性质可以得出/左/以AD=CB.在此基础上，引导学生写出证明过程,并组织学生进行点评.

证明：•.•四边形｛版是平行四边形，

：.ZA=ZC,AD=CB.

又/A盼NCFB=gQ；

△郎

:.AE=CF.

展计息血］应用性质进行推理,体会得到证明思路的方法.

思路二

1.提问：根据定义画一个平行四边形ABCD,并观察这个四边形除了“两组对边分别平

行”外，它的边、角之间还有哪些关系?度量一下，是不是和你的猜想一致？

平行四边形的对角相等.

2.你能证明你发现的上述结论吗？

己知：如图⑴所示，四边形"中8c

求证：⑴/4心/走⑺；

（2）N庐/〃/BAA/DCB.

小组讨论,发现:需要连接对角线,将平行四边形的问题转化成两个三角形全等的问题来

解决.

证明：（1）连接AC,如图（2）所示.

,:AD〃BC,AB〃CD,

二/1=/2,Z3=Z4.

又4C是△/8C和△物的公共边，

:.△ABg/XCDA.

：.AD-CB,AB^CD.

（2）..•△如修△物（已证），

，N后

•:NBAD=N1+N4,N〃CB=N2+N3,

Z1+Z4=Z2+Z3,

:.NBAgNDCB.

一组代表发言后，另一小组补充,我们发现不作辅助线也可以证明平行四边形的对角相等.

：48〃必，/为外N庐180°,

,:AD〃BC,：.4BA屏48^180°,

二N庐/〃

同理可得⑦

教师根据学生的证明情况进行评价、总结.

证明线段相等或角相等时,通常证明三角形全等，图中没有三角形怎么办?一般是连接对

角线将四边形的问题转化为三角形的问题.

引导学生将文字语言转化为符号语言表述,并进行笔记.

•..四边形/比。是平行四边形（已知），

/加如（平行四边形的对边相等），

ZA=ZC,/左/〃（平行四边形的对角相等）.

例2（补充）如图,在口屈力中，然是平行四边形四切的对角线.

（1）请你说出图中的相等的角、相等的线段；

（2）对角线〃■需添加一个什么条件,能使平行四边形1时的四条边相等？

学生认真读题、思考、分析、讨论，得出有关结论.

因为平行四边形的对边相等，对角相等.所以AB-CD,AD-BC,ADAB-ABCD,AB=ZD,又因

为平行四边形的两组对边分别平行,所以N的信N6O,ZDCA=ABAC.

教师根据学生回答,板书有关正确的结论.

解决第（2）个问题时，学生思考、交流、讨论得出：只要添加/C平分即可.

说明理由：因为平行四边形的两组对边分别平行，所以劭C而/的0/物C所以

ZDCA=ZDAC,所以AD^DC,又因为平行四边形的对边相等,所以AB-DOAD-BC.

［设计意图］学生通过亲自动手,提出猜想,验证猜想,得出结论,并初步应用.

3.平行线间的距离

［过渡语］距离是几何中的重要度量之一.前面我们已经学习了点与点之间的距离、

点到直线的距离，那么平行线间的距离又是怎样的呢？

思路一

提问：在教材的例1中，如=6尸吗？

学生思考,都容易发现：由△血腐△物;容易得到DE=BF.

I)

追问：如图所示,直线a4。为直线a上任意两点，点A到直线b的距离四和点〃到

直线b的距离加相等吗?为什么？

学生讨论,发现容易证明AB〃CD,由已知得/〃勿先所以四边形/版是平行四边形,所以

AB=CD.

教师引导归纳:如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.

此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离,

平行线间的距离相等.

学生结合图指出：点A是a上的任意一点,ABLb,6是垂足,线段力6的长就是a,b

之间的距离.

教师点评,并强调:任意两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在两条平行

线之间的最短的线段的长度.

［设计意图：结合例1的进一步追问，自然引出平行线间距离的概念.

思路二

蓄同事们拿出方格纸,在方格纸上画两条互相平行的直线,在其中一条直线上任取若干点,

过这些点作另一条直线的垂线.

老师边看边指导学生画图.

追问：请同学们用刻度尺量一下方格纸上两平行线间的所有垂线段的长度,你发现了什么

现象？

学生发现:平行线间的所有垂线段的长度相等.

教师引导归纳：如果两条直线平行,那么一条直线上所有点到另一条直线的距离都相等.

此时教师适时介绍两条平行线间的距离的概念及性质.

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离,

平行线间的距离相等.

如右图所示,用符号语言表述为：

Vlx〃瓜AB1h,CD1h

：.AB=CD.

教师进一步强调:两平行线上,乙之间的距离是指什么？指在一条直线4上任取一点4

过/作限5于点、B,线段的长度叫做两平行线1、，A间的距离.

引导学生归纳:两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离的区别与联

系.

两平行线间的距离=点到直线的距离=点与点之间的距离.

hA间的距离转化为点A到人间的距离,再转化为点A到点6的距离.

追问：如果AB,5是夹在两平行线上A之间的两条平行线段,那么46和缪仍相等吗？

教师引导学生思考：(出示教材第43页图18.1-5)如图所示,a〃b,c〃d,c,d与a,6分别

相交于A,B,C〃四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形/觎'是平行四边形,AB-CD.

说明：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.

［设计位图］借助学生熟悉的方格纸引出平行线间距离的概念,浅显易懂,并注重两平行

线间的距离、点到直线的距离、点与点间的距离之间的知识整合.

［知识拓展］(1)当两条平行线确定后,两条平行线之间的距离是一定值,不随垂线段位

置的变化而改变.(2)平行线之间的距离处处相等,因此在作平行四边形的高时,可以灵活选

择位置.

4.例题讲解

例3(补充)在口中，6c边上的高为4,AB=5,A(=2,试求口46切的周长.

引导学生根据题意作图分析,教师根据学生考虑不周全的问题进行引导，明确思路后学生

写解答过程

〔解析),本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是分别画出符

合题意的图形.设8c边上的高为AE,分/£在口的内部和在。/时的外部两种情况

计算.

解;在。ABCD中，AB=CD=5,AD=BC.

设园边上的高为AE.

⑴若AE^ABCD的内部,如图①所示，

在RtZU%＞中，4?=5,/户4,

根据勾股定理，得：

B序===3;

在RtZU酸中斤4,

根据勾股定理，得：

CE====2.

:.BC=BE+CE=3+2=5.

腼的周长为2X(5+5)=20.

(2)若在口4?5的外部,如图②所示，

同理可得小3,彦2,

:.BC=BE-C&3-2=\,

，。力融力的周长为2X(5+1)=12.

综上,5的周长为20或12.

［解题策略］本题相当于已知一个三角形的两条边以及第三条边上的高,求第三条边的

长度，因为三角形的高可能在三角形的内部、也可能在三角形的外部,所以作图时应分两种

情况讨论,如下图所示.

R课堂小结

本节课我们主要学习了平行四边形的定义，探索了平行四边形的两个特征，同时还学习了

平行线间的距离,平行线的一些特征.

平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

平行四边形的性质：平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.

平行线间的距离:两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条

平行线之间的距离.

平行线间的距离相等，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.

区检测反馈

1.已知。被力中，N/+N年200°,则N8的度数是()

A.100°B.160°C.80°D.60°

解析：♦.•/4+/俏200°,//=NC；.N4=100°,又4?勿%•••//+/后180°

户180°-N/=80°.故选C.

2.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF〃BC,GH〃AB,EF,加相交于点0,则图中共有平行

四边形的个数为()

A.6B.7C.8D.9

解析：图中的平行四边形有:平行四边形4£的、平行四边形威加、平行四边形CW、平

行四边形砒方、平行四边形4%、平行四边形或次平行四边形力、平行四边形

BEFC、平行四边形48徵.故选D.

3.如图所示,在。4?切中，AA2AB,龙平分/腼交4。边于点E,且4斤3,则丝的长为

()

A.4B.3C.D.2

解析：四边形/效力是平行四边形，庐〃C6cNDEO4BCE,'：龙平分/

DCB,：.乙DC舁4BCE,二/DEC=N

DCE,：.DE-DOAB,'：AD=2AB=2CD,CD^DE,:.A22DE,:.A界D斤3,：.DC=AFD护3.故选B.

4.如图所示,在O4a。中，△/比'和△胸的面积的大小关系是.

解析：♦.•两平行线40玄间的距离相等，与是同底等高的两个三角形，.♦.它

们的面积相等.故填相等.

5.如图所示，已知在平行四边形口中，46。：DELAB于E,DF1BC于F.

(1)求/瓦W的度数；

(2)若4后4,语7,求平行四边形力的周长.

解：(1);四边形四切是平行四边形，.•.四〃勿ZJ=ZO60°,.,.ZOZ^180°.VZ

(=60°，，/斤180°-Z01200.'：DELAB,DFVBC,：.ADEB=ADFB=^QQ，，/£Z!^360°-

NDEB~/DFB~NB=6Q°.(2)在RtzMOE和RtZ\W中，//=//60°,：,/ADE=N

CDF=3Q°,：.AD=2AE=S,公2上14,；.平行四边形46缪的周长为2X(8+14)=44.

区板书设计

第1课时

1.平行四边形的定义

2.平行四边形边、角的性质

例1例2

3.平行线间的距离

4.例题讲解

例3

度布置作业

-、教材作业

【必做题】

教材第43页练习第1,2题;教材第49页习题18.1第1,2题.

【选做题】

教材第50页习题18.1第8题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,在平行四边形4?切中，N比110°,延长力〃至月延长⑦至£连接硒则/及

//等于（）

A.110°B.30°C.50°D.70°

2.如图所示,/〃必BE〃CF,BA，h于点4比1，2于点C有下面的四个结

论；⑴1后〃C;⑵•5^=6?1;⑶&侬=8处；（4）SnwMaFSraa®im：.其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.如图所示,点《是。4?（力的边切的中点,AD,比1的延长线相交于点F,腔3,%士2,则。/腼

的周长为（）

A.5B.7C.10D.14

4.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=A,/物。的平分线与%的延长线交于点E,与DC交

于点石且点尸为边加的中点，而上仍垂足为G,若叱1,则小的长为（）

A.2B.4C.4D.8

5.如图所示，口4版与oMS"的周长相等，且/为庐60°,/QUO°,则N仅/的度数

为.

［能力提升］

6.如图窗示,在平面直角坐标系中,平行四边形/版的顶点A,B,C的坐标分别是

(0,0),(3,0),(4,2),则顶点〃的坐标为.

7.如图所示,在(力中，DE平■分■4ADC,力介6,除2,则口48(力的周长是.

8.(2015•自贡中考)在加腼中，/比力的平分线与BA的延长线相交于点£阻于点H.

求证CH=EH.

9.如图所示，四边形4版是一个平行四边形,BELCD于点E,BFLAD于点F.

(1)请用图中的字母表示出平行线与6C之间的距离；

(2)若止2cm,求平行线四与5之间的距离.

10.如图所示,在平行四边形ABCD中"ELBC,交其延长线于点£力dOT于点F,Z

£4^30°,AE=icm,^3cm,求平行四边形/时的周长.

11.如图所示，已知四边形/⑸定是平行四边形，C为边协延长线上一点,连接AC,CE,AB^AC.

(1)求证△为四

(2)若/后30°,//次＞45°,盼10,求平行四边形四的面积.

【拓展探究】

12.如图所示，点E,尸分别在平行四边形465的边DC,㈢上，且AB=AF,DGLAF,BHLAE,G,H

是垂足.求证DG=BH.

【答案与解析】

1.D(解析：由平行四边形的对角相等可得//麻110。，再由邻补角的性质得出/叱70°,

所以/E+N六NFD-0°.)

2.A(解析：•/71〃瓜BAL71于点A,DCLA于点C/.AB=CD,故⑴正确；；7,〃h,BE〃

CF,二止)故⑵正确；根据HL可以证明RtZVI赎Rt△阳;因此必做=宓的故⑶正确；

四边形490与四边形式)唔是同底等局的两个平行四边形，.'.5四边彩械才S四边彩加阳故⑷正确.

故选A.)

3.D(解析：•.•四边形四龙为平行四边形，...力。〃8c：.乙方乙CBF,4FD44c.W为切的

中点，，叱丝:.4FD恒△BCESN,：.BOA庐FDJ：D户3,D拄2,：.AA3,A*DX,：RABCD

的周长为2(仍4向=14.故选D.)

4.B(解析：为/加8的平分线，，乙DA取乙BAE.由题意知DC//AB,：.4BAE=4DFA,：.Z

DAE=ADFA,：.AD-FD.X6为〃，的中点，，旌优：.AD-DI^DC-AB=2,在口△4%中,根据勾

股定理得AG=,则Af^2AG=2,由题意知AD/7BC,：.乙DA产乙E,在和△成尸中，

(Z»AF=ZE.

，NAFD=NEFC.

lnF=CF.△ADF^AECFlNQ,：.AF=EF,贝！|力臣24尸4.故选B.)

5.25。(解析：•.•。/比》与口〃。表的周长相等，且CD=CD,J.AD-DE,：.』DAE=NDEAJ：Z

力介60°,N尸110°,，/CD拄/斤110°,，吠360°-120°

1100=130。，.•./%⑥=25°.故填25。.)

6.(1,2)(解析:45的坐标分别是(0,0),(3,0),则月合3,根据平行四边形对边相等，得

CD=AB=3,•:熊C的坐标为(4,2),.•.点，的坐标为(1,2)的

7.20(解析：在口ABCD中"斤CD,AD〃BC,且A2Be6.'：B拄2,：.您=8e够6-2=4.如图所

示J：加〃B&；.Nl=/3,又由题意知/1=/2,.../2=/3,.,.◎84,.“4比》的周长为

2(49)■切=2X(6+4)=2X10=20.故填20.)

8.证明：如图所示，•.•在。力戚中，跖〃绍；.N后N2.：龙平分N6G9,；.N1=N2.；.N1=/

E.：.BE=BC.又'：BHLEC,：.CH=EH.

9.解：⑴•.•四边形/腼是平行四边形，〃勿%YBFLAD,：.BF1BC,，平行线A。与BC

之间的距离是线段出,的长度.(2)：四边形四切是平行四边形，•.•矶缪,

BELAB,；.平行线4B与5之间的距离是线段跖的长度,是2cm.

10.解：；四边形力腼是平行四边形，.•.48〃以》,ZB=ZD.,JAELBC,AFLCD,/£4430°，,

N£C庐/庐N介30°.：止4cm,m3cm,庐8cm,/女6cm,...平行四边形/仇力的周

长为8+8+6+6=28(cm).

11.(1)证明：：./斤ZACB.又...四边形43宏是平行四边形，...451〃初，四=能

AB=AC.

-ZB=ZEAC.

后N8.在△烟和△力比中，UD=AE....△烟丝△E4C(SAS).⑵解:过/作

AGYBC,垂足为G,如图所示.设AG-x,在RtZ\/3中，：ZA£)C=45°,：.AG=DG=x.在RtA

4切中，由/斤30°,易得BG=x.又：盼10,：.BG-DG=BD=\Q,即尸产10,解得广=5+5,；.S平

«啊辿彩MUFBD•AG=10X(5+5)=50+50.

12.证明：连接BE,DF.设平行四边形485的面积为S,AB,4。边上的高分别为a和6,依题

意：S^ABXa=A/)Xbj：S2apXABXarS,义制=XADY.b=S,：.S4Mps4a.,:DGVAF,BHL

AE,:.SwXAEXBH,S#XAFXDG,：.AEXBH=A"DGJ：AE=AF,：.DG=BH.

旧教学反思

(C成功之处

本节以探究活动的形式,让学生通过自主探索、合作交流去发现和体验新知识.整个过程

充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动.改变了以例题、示范、讲解为主

的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动中去.这一节课学生已通过画图，测量,

猜想的探究方式发现“平行四边形的对边相等，对角相等”等特征.学生参与度高,提高学

生的学习兴趣和实际操作能力,取得较好的学习效果.

不足之处

引导学生进行思考的语言不够精练,时间把握得不够好,课堂不够紧凑.由于性质探索部

分花了较多时间，导致练习的时间不够多.应该让学生在练习的时候有更多的时间讨论,说

得更多.

G再教设计

最后的小结部分留足时间，由学生自己归纳本节课的内容,把性质按边、角进行归纳，配

以图表方便记忆.补充的例题在教学中侧重对学生思路的引导,开阔学生的视野.

S教材习题解答

练习（教材第43页）

1.解：⑴在。/彷。中，仍以=5,除/氏3,/成。的周长=/班办册4>16.（2）在。ABCD

中，,/比ND=180°-38°=142°.

2.解:4仍纪理由如下：AB//CD,：.四边形465是平行四边形，庆6C

S备课资源

教学建议

本课时教材设计理念

平行四边形是生活中常见的几何图形,是基本的几何图形之一,它具有丰富的几何性质.

对于平行四边形,按照图形概念的从属关系,平行四边形首先是四边形,具有四边形的一般

性质，又是两组对边分别平行的特殊四边形,是四边形中的一类特殊图形,有它特殊的性质，

同时它又包括矩形、菱形、正方形，具有它们的共性.

平行四边形性质的探究，经历了感知（观察）、猜想、证明等过程，本节主要研究边、角的

性质.平行四边形性质的证明,应用了四边形问题转化为三角形问题的思想,是平行线的性

质、全等三角形等知识的延续和深化,对于培养学生演绎推理,训练学生思维，体验数学思

维规律等方面起着重要的作用.平行四边形的性质也是后续学习矩形、菱形、正方形等知

识的基础,在教材中起着承上启下的作用.平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角

相等、两直线平行提供了新的方法和依据.

在研究了平行四边形的性质后,教材引进了平行线间距离的概念,距离是几何中的重要概

念,是几何学习的重要起点.点与点之间的距离是点到直线的距离、两条平行线之间距离的

基础.它们在本质上都是点与点之间的距离.任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一

的,都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线之间距离的给出，是平行四边

形概念和性质的综合应用.

（札趣味数学

如何分田地面积相等

从前，一位农场主有一大块田地，其形状是一个平行四边形（图中的。465.田地内有一口

井,位于图中的点。处.井所占的面积非常有限,与整片田地比起来简直可以看成“一点”

（面积可忽略不计），农场主临死前留下了遗嘱，把两块三角形的田地（图中的①和△60。

给大儿子,剩下的（△｛仍和△GM）全部给小儿子,至于这口井,两家可以共用.由于平行四

边形不比正方形或菱形,相邻两边不相等（力少力切，所以遗嘱公布之后,亲友们七嘴八

舌,议论纷纷.有人埋怨农场主偏心,分配不公平;也有人替小儿子抱不平.同学们，你们觉得

呢?我们可以利用什么数学知识进行验证呢？

.1D

H

我们不妨设大儿子得到的山地（△/如和△80。面积之和为S过点。作EFVAD,交/〃于

F,交BC千E,由题意易得AD//BC,：.EFLBC./必制+宓.=/〃•OF+BC-0E,'：四边形ABCD是

平行四边形，分欧：.S=AD-〈OF+OMAD。止S平行四边彩械

由此可以看出，无论井在什么位置,甚至是在这块地的边上,两个儿子分得的土地大小都

是一样的.我们不得不佩服这位农场主的智慧过人.

第②课时

一整体设计

①教学目标

・知识写技能.

1.理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质.

2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.

*过程写芳*

在观察、操作、推理、归纳的探索活动中，进一步培养学生的数学说理能力与习惯.

产幅神身.

通过小组合作探究学习，促进同学间的情感交流，体验学习的乐趣,在自我评价中学会自

我肯定，增强学习的自信心.

①教学重难点

【重点】平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用.

【难点】综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.

（，）教学准备

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】两张方格纸，铅笔，图钉.

旧教学过程

JT新课导入

导入—

一位饱经沧桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边

形的土地，由于年迈体弱，

他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的：（如右图所示）

当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少，同学们,你认为老人这样分合理吗?为

什么？

本节课,我们将继续学习与平行四边形的对角线有关的性质,你将会明白老人的分法是否

合理

口［应计意图］把知识融入到故事情境中,提高学生的学习兴趣.

导入二：

］复习提问.

(1)什么样的四边形是平行四边形？

(2)前面我们学习过平行四边形的什么性质？

学生自由说,教师根据学生回顾情况梳理知识.

①具有一般四边形的性质(内角和是360。).

②角：平行四边形的对角相等,邻角互补.

边:平行四边形的对边平行且相等.

2.回顾思考：

⑴平行四边形5中，/＜比大20°,则/C的度数为()

A.60°B.80°C.100°D,120°

(2)平行四边形165的周长为40cm,三角形4a'的周长为25cm,则对角线〃、的长为

()

A.5cmB.15cmC.6cmD.16cm

(3)平行四边形/I腼中，对角线AC,6〃交于0,则全等三角形的对数有.

学生独自思考,交流解答情况.教师适当点评.

(DC(2)A(3)4对

画出图形，针对(3)小题学生的错误提问：为什么(3)小题中全等三角形的对数不是2对，

而是4对呢?通过今天的学习，你会明白其中的原因.

［设计意图］以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四边形的性质，温故知新.通过

(1)~(3)的问题串，反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用.希望真

实、客观地反馈学生对上节“平行四边形性质”的掌握情况,并有针对性地在本节补救强

化.

区新知构建

［过渡语］上节课我们研究了平行四边形的边和角的关系,平行四边形中还有一种重

要的线段,这就是对角线，平行四边形对角线之间有什么关系呢？

1.平行四边形的对角线互相平分

思路一

i探究】请大家在方格纸上画两个全等的。4?必和。加密并连接对角线AC,9和

EG,HF,设它们分别交于点0.把这两个平行四边形放在一起,让它们重合,在点。处钉一个

图钉，将M腼绕点。旋转180°,观察它还和。加必■重合吗?你能从中看出前面所得到的平

行四边形的边、角关系吗?进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？

学生按照要求操作，围绕问题讨论,发现:

是否重合对角线

0忙0H,

tnuAB与GH,CD与EF互相重./ABC与/HGF,NADC与

旋转aARrnarppOOOF,

/0个合;｛。与HE,BC与GF互/磔NBAD与NGHE,Z

前里口相重合腼与N67差互相重合0%0G,

OD-OE

0小OR

aARCD&aHCPF他与能切与HG互相重/ABC与NHEF,NADC与

旋转OOOH,

合;与FG,BC与EH互ZIIGF,ABAD与/GFE,N

后里口相重合及力与/糜互相重合OFOE,

OD^OG

结论GIAEF,眸GF能MHEF/GF人蚱。FeOE

教师引导学生交流:旋转后，口与。泓萌还是完全重合的.平行四边形的对边相等，对

角也是相等的,对角线互相平分.

［过渡语］上节课我们证明了平行四边形的对边相等,对角也相等.你能尝试证明平行

四边形的对角线互相平分这一结论吗？

已知:如图所示,平行四边形4败的对角线AC,被相交于点0.

求证：OA=OC,OB=OD.

证明:•••四边形/腼是平行四边形，

：.AB=CD,AB/7DC,

：.ZBAO-ADCO,ZABO-ZCDO,

：.OA=OC,OB^OD.

你还有其他的证明方法吗?与同伴交流.

教师引导学生总结,并板书:平行四边形的对角线互相平分.

用符号语言表述为：

•••平行四边形/及力的对角线AC,即相交于点0,：.OA=OC,OB=OD.

引导学生思考:平行四边形ABCD中,对角线AC,即交于0,则全等三角形的对数有几对？

学生相互补充说出：△/仍与△，(双△加C与△/况1与△物,与分别

全黎共有4对.

［应［意图］,利用活动的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质，并加

以验证.

思路二

'［过渡语］在上节课中，我们发现平行四边形边、角有特殊的关系，那么平行四边形的

对角线有怎样的特殊关系呢？

【探究】如图所示,在。465中，连接对角线AC,BD,相交于点0,0B与如有什么关

系？力与利呢？

学生画图,测量后填表,交流.

阱________00________关系为:_________

0B-0D-关系为:

学生思考、交流得出:平行四边形的对角线互相平分.

追问：互相平分如何理解？

一生回答,其余补充.然与物互相平分,指然平分BD,即06=0/),做平分AC,即OA=OC.

（出示问题）已知。/版中，对角线AC,劭相交于点0,图中有哪些三角形全等?哪些线段相

等?请同学们用多种方法加以验证.

学生互相讨论自己的思维,并交流不同的验证思路.

用“AAS”或“ASA”可以证明图中共有四对三角形全等，分别是侬△，。〃△加缁

/XDOA,/XABC^/XCDA,相尊的线段有：力=阳OB=OD,AB=CD,AD=CB.

师生归纳:平行四边形的对角线互相平分.

学生说出定理的题设和结论,用符号语言表述为：

•.•平行四边形/版的对角线AC,3相交于点0,：.OA=OC,OB=OD.

教师提醒:定理的证明只是让学生进一步理解定理,而在定理的运用时则没必要这么麻烦,

直接由四边形是平行四边形得出其对角线互相平分,这是证明线段相等的常用方法.

［设计意图］学生通过操作感知，辅以三角形全等知识的应用，发现、验证了所要学习的

内容，解决了重点，突破了难点.

2.例题讲解

例1（补充）如图所示,。46缪的对角线AC,即相交于点0,〃过点。与科切分别相交

于点£五

求证OE=OF,AE=CF,BB=DF.

学生讨称:由刚刚福出的塞论“平行四边形的对角线互相平分”，得到法能继而得到

△/偿△CW'（AAS）,从而得证.

证明：在。ABCD中，AB〃CD,

/3=/4.

又0=%（平行四边形的对角线互相平分），

ZW&△泌'（AAS）.

0片OF,｛代函全等三角形对应边相等）.

•..四边形4比。是平行四边形，

庐缪（平行四边形对边相等）.

AB-AE=CD-CF,

即B4FD.

引申提问：若例1中的条件都不变，将斫转动到如图①所示的位置,那么例1中的结论是

否成立?若将所向两方延长,与平行四边形的两对边的延长线分别相交（如图②和图③所

示），例1中的结论是否成立?说明你的理由.

分别由一名学生说说自己分析的结果,证明过程留在课后完成.

例2（教材例2）如图所示,在口ABCD中，/斤10,/么8,ACLBC,求BC,CD,AC,OA的长，以

及口力及力的面积.

引导学生读题，强调“底”是对应着高说的,平行四边形中，任一边都可以作为“底”，

“底”确定后,高也就随之确定了.

学生共同分析：由平行四边形的对边相等,可得BC,切的长,在力中，由勾股定理可

得/C的长.再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长,根据平行四边形的面积计算

公式:平行四边形的面积=底X高（高为此底上的高），可求得。4BCD的面积.

解：•••四边形四必是平行四边形，

:.BOAD=8,CD=AB=\0.

'：ACVBC,

...△48。是直角三角形.

根据勾股定理，

AC===6.

又OA=OC,

%=4俏3,

乱檄〒BOJ<=8X6=48.

师生共同完成解答过程,并说明用S表示面积时,常在它的下脚注上图形标记，例如S.m

表示。4腼的面积.

［设计意图］本节课安排了两个例题，例1是一道补充题,它是平行四边形对角线的性质

的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲,并归纳结论:过平行网

边形对角线的交点作直线,交对边或对边的延长线,所得的对