八年级数学上册教案1

第7―章三角形

11.1与三角形有关的线段11.1」三角形的边

Q教学目标

1.掌握三角形的定义，并能正确地表示出三角形，以及三角形的边、角、顶点等表示方法.

2.能正确地进行三角形的分类.

3.通过复习以前的知识,让学生更加容易接受新知识，并能提高学习的积极性，增加学习数学的信心.

Q教学重难点

【重点】掌握三角形的分类及三角形的三边关系.

【难点】利用三角形的三边关系解答综合性问题.

旧教学过程

反新课导入

导入一:

▲..同学们，你们看这个图案美丽吗?这个图案主要是由什么图形构成的?（学生议论后）

我们本节课要继续学习三角形的相关知识.

导入二：

（老师拿出三根不能拼成三角形的〃薄）同学们请看，老师手中的三根小棒能首尾相搭组成一个三角形吗?

亚新知构建

一、三角形的相关概念

1.三角形的概念.

【学生活动一】⑴在一张纸上任意画三条线段;（2）在同一条直线上任意画三条线段.

【问题思考】任意画的三条线段都能组成三角形吗?怎样才能组成一个三角形？

【学生活动二】判断下列由三条线段组成的图形是不是三角形.

三角形定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

［知识拓展］三角形的特征:三条线段;不在同一条直线上;首尾顺次相接.这三点表明三角形是一个封

闭的图形.

2.三角形的表示方法.

"三角形"可用符号"A"表示，如图所示，顶点（相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点）是4瓦。的三角

形，记作△协，读作"三角形是A/1比的三个角（相邻两边组成的、位于三角形内部的角叫

做三角形的内角,简称三角形的角）;A板,的三边（组成三角形的线段叫做三角形的边）分别是仍如。，有时也

可用小写字母来表示，顶点44。所对的边分别可用a,也c来表示，即/切可用。表示，以、可用a表示可用b

表小.

二、三角形的分类

思路一【生】锐角三角形，钝角三角形，直角三角形.

【师】刚才大家的分类是按照三角形角的特点划分的，大家还有什么别的分类方法吗？

【生】可以按照三角形的边长进行分类.

【师】是根据不同的三角形边的长度进行分类,还是同一个三角形的边长特点进行分类？

【生】在同一个三角形之内.

【师】按照边长进行分类,你想的分类标准是什么呢？

【生】根据是否有相等的边.

【师】按照这种分类方法，可以把三角形分为哪两大类？

【生】三边都不相等的三角形和等腰三角形.

【师】在等腰三角形中,什么样的边是腰呢?等腰三角形的边和角有什么特殊的称呼吗？

【生】在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角

叫做底角.

【师】按照有没有相等的边对三角形进行分类,等边三角形应该划到哪一类当中？

【生】等腰三角形.

【师】根据刚才的讨论，大家整理下三角形的分类吧！

思路二

【师生活动】通过讨论,学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类接着引出等腰三角形及等边

三角形的概念，引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系，强化学生对三角形按边分类的理解.

在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角.

三角形按边分类：

三、三角形三边之间的关系

探究一:三角形两边之和与第三边之间的关系.

【情境引入】如右图三角形中,假设你要从点8出发沿着三角形的边到点C有几条路线可选择?各条

路线的长一样吗？H

【师生活动】引导学生讨论分析，得到两条路线：

⑴/，直接到即BC.

⑵先由。至再至I」C即BA+AC.

显然，路线⑴中的以'要短一些，即/水物+〃：(为什么?一定要学生给出依据:两点之间线段最短)

最后，师生共同得到：

BC<Al^AC展(A拼BC,4区成*即"三角形的两边之和大于第三边”.

探究二:三角形两边的差和第三边之间的关系.

【质疑I】用测量的方法验证三角形两边之差和第三边的长度关系可以吗?这个办法有说服力吗？

【简评】可以，但不能做到——验证，还有不足以让人信服的地方.

【质疑2】是不是三角形任意两边的差都小于第三边？

【简评】MBC^,BC<AB+AC,AC<A»-BC,A?〈册〃:通过不等式的性质,可以得出:%BOAC-AB,

这就是说，三角形两边的差小于第三边.

例1(教材例题)用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.

⑴如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？

⑵能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗?为什么？

〔解析〕⑴设底边长为xcm,则腰长为2xcm,根据周长列出一元一次方程，解方程即可求得各边的长;(2)

题中没有指明4cm是底边长还是腰长，故应该分情况进行分析,同时注意利用三角形三边关系进行检验.

解：。)设底边长为x。叫

则腰长为2xcm.

2A+2X+A=18,解得A=3.6.

所以三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.

⑵①当4cm为底边长时,腰长为7cm,任意两边之和都大于第三边，故可以构成三角形.

②当4cm为腰长时，底边长为18-4-4=10(cm),

V4+4<10,.,•不能构成三角形，故舍去.

•••能构成底边长为4cm的等腰三角形，不能构成腰长为4cm的等腰三角形.

［知识拓展］三角形两边之和是指任意两边之和.理论依据:两点之间线段最短.

推论:由济力G根据不等式的基本性J觉得c-伙a,即三角形两边之差小于第三边.

三角形三边关系的作用：(1)已知三角形两边,求第三边的取值范围.(2)判断三条线段能否组成三角

形.⑶利用三角形三边关系解决含绝对值符号的化简问题.

例2已知三角形一边长为5,另一边长为3,求第三边长。的取值范围.

解:因为5-3VH5+3,即2<&8,

所以第三边长c的取值范围是2<c<8.

［易错提示］两条线段的和不大于第三条线段，就不能组成三角形.例如，三条线段行2c叫H3cm,^4cm

能组成三角形，因为2+3>4,而三条线段由2cm,广3cm,户5cm就不能组成三角形，因为2+3=5.

［解题策略］一般地，判断三条线段能否组成一个三角形时,只需判断两条短的线段之和是否大于最长

的线段即可，无需再从任意两边之和大于第三边的角度进行判断.

胫课堂小结

1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三角形的分类:三边都不相等的三角形和等腰三角形.

3.在一个三角形中,两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

注意:三角形任意两边和与第三边的关系不包括等于这种关系.等边三角形也是等腰三角形，等腰三角形

的范围要大于等边三角形,且包含等边三角形.

区板书设计

11.1.1三角形的边

一、三角形的相关概念二、三角形的分类

三、三角形三边之间的关系探究一:三角形两边之和与第三边之间的关系

探究二:三角形两边的差和第三边之间的关系

叵布置作业

【必做题】教材第4页练习第1,2题.

【选做题】教材第8页习题11.1第1,2题.

SL教学反思

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

Q教学目标

1.让学生了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.

2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法.

3.能利用三角形的高、中线、角平分线的性质解决问题.

【重点】1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线.

2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线所在直线分别交于一点.

【难点】1.三角形的角平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.

2-钝角三角形高的画法.

3.不同的三角形三条高的位置关系.

旧教学过程

新课导入且入.

E导人一.

如下图，图中右侧支撑太阳能电池板的三角形支架有多高呢?这就涉及我们本节课所学的三角形高的问

•导入二：

同学们，我们以前学习过了"过一点画已知直线的垂线"，谁能说一说是怎样画的?（同学们纷纷发言，老师

可让几名同学到黑板上演示一下,然后让其他学生都拿出本来，过一点画已知直线的垂线，注意画法的规范性）

你们知道过三角形的一个顶点如何画三角形的高吗?这节课我们就来研究这个问题.（老师书写板书）

导入三:⑴复习提问三角形的定义.（由三条线段首尾相接组成的图形）

⑵三角形的面积公式是什么?就.

⑶你还记得三角形的高是怎么作出来的吗?引出课题.

思事知构建----------------------------三角形的高

【学生活动一】让学生动手画出一个锐角三角形的高，然后找学生描述三角形的高的画法与定义.

（教师总结三角形的高的定义并板书）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之

间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高.如图所示，在^ABC^.ADX.用点。是垂足，所以AD是&ABC

的一条高.

引需生注意垂直摘的书写.

【学生活动二】让学生拿出事先准备好的三角形纸片,用直尺与三角板作出这个三角形的三条高，然后

用折纸的方法，观察这三条高的位置关系，你有什么发现?如果已知三角形的一条高，你知道它是哪一条边上

的高吗？

【师生共同总结】锐角三角形的三条高相交于一点,此点在锐角三角形的内部.如图所示.

【学生活动三】在纸上画出一个直角三角形或通过折纸的方法，画出它的三条高，它们有怎

样的位置关系？

将你的结果与同桌进行交流.

【师生共同总结】直角三角形的三条高交于一点，即是直角三角形的直角顶点.如图所示.

。【学生活动四】画一个钝角三角形,让学生尝试画出它的三条高，或通过折纸的方法

找到它的三条高.观察三条高，看它们有什么样的位置关系.

为强调作图,可进行投影.将8c与顶点A调节成闪烁的效果，且把底边用虚线延长,引导学生自己作出不

同三角形的高.在同学们发现作一条高时，一条边不够长的时候，教师要提示学生们，可以把所在边的线段进

行延长.【师生共同总结】钝角三角形的三条高中,有两条在外面，一条在内部，且它们所在直线交于一点.

々_ABJ-fr-4C

如图所示.BD。表述:如图，因为4）是A4匕的D高（已知），

所以"_L比于久或N4游N4叱90°）.因为"_1_欧于仄或/月游N4游90°）（已知），所以4。是A4国的边

8。上的高.（高的定义）

［知识拓展］钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高.锐角三角形的三条高在三角形的内部,

相交于一点;直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点;钝角三角形

有两条高在三角形的外部，一条高在三角形内部,三条高不相交，但三条高所在的直线相交于三角形外一点.

二、三角形的中线

思路一

【学生活动一】学生们动手画图，之后同桌之间研讨，并且要同学们说出所画出的线的特点?为什么它

就能把三角形分成面积相等的两部分呢?它是线段吗？

【师生共同总结】三角形中线的定义:连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线.

【学生活动二】让学生任意画出一个三角形，画出这个三角形的三条中线,然后分析这三条中线的位置

关系,同桌之间互相研讨.

（老师可多让几名同学发言，分别指出他们画出的是什么样的三角形，这样三角形的任意性就有了）

【师生共同总结】任意三角形的三条中线都交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.

思路二

指导学生阅读教材第4右页的内容，思考如下问题：

⑴什么是三角形的中线？

⑵三角形的中线有几条？

⑶三角形的三条中线是否相交于一点？

⑷什么是三角形的重心？

⑸一块三角形的玻璃，利用圆规的尖脚，你能让三角形玻璃平衡在圆规上面吗？

表述:如上图,4〃是根比的边比上的中线（已知），所以BADC*或BR2BA2DC或。为比的中点.

因为盼吟BC或BO2BW2DC或。为8。的中点（已知），所以线段4〃为比上的中线（中线定义）.

［知识拓展］⑴一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部,相交于一点.

（2）三角形的中线是一条线段.

⑶三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

三、三角形的角平分线

【学生活动】同学们先画出一个任意三角形，分别画出一个三角形中的三个角的平分线,同时观察这三

条角平分线的位置有哪些特点.

（要提醒学生三角形形状的多样性＜同时要注意作图的规范性，可用量角器量）

【师生共同总结】三角形的角平分线定义:连接三角形顶点与该顶点内角平分线与对边交点的线段叫

三角形的角平分线.

（最后老师要强调三角形的角平分线是三条线段，而一个角的平分线是一条射线）

表述:如图，因为劭是A械、的角平分线（已知），所以4法/限4%

因为NA8庐NMA或/物=1//比；或NAK畤N4比八已知），所以线段仍是A4应'的角平分线.（三角形

的角平分线定义）

［知识拓展］⑴一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部,相交于一点.

⑵三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线.

画如图，等腰三角形四。中,4左〃;一腰上的中线/力将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,

求这个三角形的腰长及底边长.

〔解析〕由题意可知，中线劭将A/8C的周长分成4加4）和筋以两部分（注意不是A5M小创和

册O加两部分），故有两个可能:⑴/I加4M5且BC+Cg（2）A》AA6且BC+C25.再由/庐4心2A9=2勿及三

角形三边关系知⑴成立,（2）不成立.

叵课堂小结

L三角形的高、中线、角平分线都是线段.

2.三角形的高（所在直线）、中线、角平分线都相交于一点，钝角三角形的高线所在直线相交于三角形外

一点.

区板书设计

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

一、三角形的高

二、三角形的中线

三、三角形的角平分线

度布置作业

【必做题】教材第5页练习第1,2题.

【选做题】教材第8页习题11.1第3,4题.

S教学反思

11.1.3三角形的稳定性

任教学目标

1.通过观察、实践、想象、推理、交流等活动,了解三角形具有稳定性和四边形不具有稳定性.

2.能判断一般的图形是否具有稳定性.

3.通过提问，让学生通过小组交流等方式探究三角形的稳定性.

Q教学重难点

【重点】了解三角形稳定性和四边形的不稳定性在生产、生活中的应用.

【难点】能正确利用三角形的稳定性解决实际问题.

日教学过程

熨新课导入

导入一:

【问题】通过观察，你发现生活中哪些物体的形状是三角形的？

【师生活动】学生汇报观察结果:房梁、建筑工地的脚手架、自行车车架、乐谱架、起重机的起重臂等.

【师】生活中有很多物体的形状是三角形的，为什么要把它们做成三角形呢?我们这节课就来研究三

角形的稳定性.

【师】如图,在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢?

【生】为了让它更牢固.

【师】这节课我们就来研究三角形的这种稳定性.

导入三:教师拿出三根木条，用钉子把三个顶点固定好，让同学们猜测，此三角形能不能变形?这说明什

么问题呢?

〕超_新知构建

一、三角形具有稳定性

7、【学生活动一】把同学们四人分成一组，发给3张硬纸条,3枚钉子，分组合作探究实验.

如图所示才巴三张硬纸条用钉子钉成一个三角形，然后扭动它，它的形状会改变吗?这说明什么问题？

（教师巡回检查并指导，指定个别同学归纳结论）

【师生共同总结】如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小也就完全确定了,在数学

上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.

【学生活动二】同学们想一想，在现实生活中，三角形的稳定性有哪些方面的应用呢?举例子说明.（对

于学生的发言，只要符合实际,教师都要给予肯定）

二、四边形不具有稳定性

n【学生活动一】如图所示,4张硬纸条,1枚钉子钉成一个四边形，然后扭动它，看看它的形

状会不会改变.

【学生活动二】

学生以组来汇报讨论结果，并展示其成果.可能出现多种方法：

方法一:在木条衔接处用粗钉子钉牢；

方法二:沿四边形的对角线加一根木条，如图①；

方法三:在对边之间加一根木条，如图②；

方法四:加两根木条，如图③.

①②③

学生自己评说各小组的加固方法.

教师适当引导，让学生给"加固"后的四边形框架施加较大外力，验证其牢固程度.

说明：（1）当给四边形加一根支架，出现了三角形时，四边形就能稳定.如方法二，但当四边形没有出现三角

形时，还不会稳固，如方法一、三.

⑵方法四的四边形虽然稳定，但多加了木条，会浪费材料的.

【师生共同总结】在四边形木架上最少再钉上一根木条，将它的相对顶点连接起来，它的形状就不会改

变.

【学生活动三】让小组同学用5张硬纸条,5枚钉子钉成一个五边形纸架，看看它的形状会不会改变？

如果能改变的话，至少要用几张硬纸条能使它变稳定?要是其他的多边形呢?有什么规律?你有什么发现吗？

【师生共同总结】要使四边形具有稳定性至少用一根木条，五边形至少用两根，六边形至少用三根

边形至少用S-3）根.

三、四边形不稳定性的应用

（教师举例后让学生进行交流）

活动挂架

［知识拓展］四条边以及四条边以上的物体不具有稳定性.要使一个图形具有稳定性，就是要使它的基

本组成部分构成三角形.

鲍小明家有一个由六根钢管连接而成的钢架力以比汽如图所示），为使这一钢架稳固，他计划用三根

钢管连接使它不变形.你能帮助小明想办法来解决这个问题吗？

〔解析〕把此六边形分割成几个小三角形即可.

解:如图所示都可以，答案不唯一.

亘课堂小结

1.三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.

2.三角形的稳定性和四边形的不稳定性都有各自的应用.

区板书设计

11.1.3三角形的稳定性

一、三角形具有稳定性

二、四边形不具有稳定性

三、四边形不稳定性的应用

原布置作业

【必做题】教材第7页练习.

【选做题】教材第8页习题11.1第5,8题.

旧教学反思

11.2与三角形有关的角

11.2.1三角形的内角第口［课时

①教学目标

1.理解"三角形的内角和等于180。”及其推理过程.

2.能运用三角形内角和定理解决问题.

3.通过测量、猜想、推理等数学活动，探索三角形的内角和,感受数学思考过程的条理性，发展合情推理能

力和语言表达能力.

q教学重难点

【重点】三角形内角和定理的推导及应用.

【难点】三角形内角和定理的推导、验证过程.

S教学过程

E新课导入写人一街飞入

(展示情境)如图所示，在一个直角三角形里住着三个内角,平时三兄弟非常团结，可是有一天，老二突然不

高兴，发起脾气来，它指着老大说："你凭什么度数最大，我也要和你一样大!"老大说："不行啊!这是不可能的,

否则，我们这个家就再也围不起来了……""为什么?"老二很纳闷.

同学们，你们知道其中的道理吗？

导入二：【提出问题】1.三角形有几个内角呢？

2.三角形按角分类有哪几种呢？

3.三角形的内角和是指什么呢？

匿新知构建-----------------------------三角形内角和定理的验证

1.量一量:一副三角板的每个角各是多少度?一副三角板三个内角的和各是多少？

2.猜一猜:任意一个三角形的三个内角和都相等吗?是多少度呢？

3.动动手，仔细观察：

⑴拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？

(2)观察，小组内观察比较，会得出什么结论？

【学生活动】学生根据探究步骤，依次进行猜想、测量、拼接等活动，获得对于三角形内角和的认识,

同时小组内进行讨论全班展示，如图所示.

【结论】三角形的内角和是180°.

【教师活动】教师深入参与活动，指导、倾听学生交流，引导学生通过多种方法说明三角形的内角和为

180：通过多媒体进行展示拼接过程.

二、三角形内角和定理的证明

思路一【师生活动】教师引导学生借助拼接方法，进行小组讨论，借助辅助线进行解答,学生依据拼接

的方法进行讨论、交流,教师做好引导和指导工作.

【师生共同完成证明过程】«「

【师生活动】学生根据已有的证明方法和拼接经验，自主思考三角形内角和定理的证明过程，最后小组

讨论，师生交流得到证明方法,学生书写证明过程.

A

，N

辅助线的作法:⑴如图所示，延长8c过点。作CN//AB.

⑵如图所示，在比边上任取一点〃作DE〃AB,交4C于E,DF//AC^,AB于F.

⑶如图所示，过月点任作直线/,

【师生总结并板书】三角形内角和定理:三角形内角和为180°.

三、例题讲解

例1（教材例1）如图所示在A4比中,N%B40°,N於75°,4〃是，的角平分线.求N4W的度数

〔解析）根据角平分线的定义求出/加瓦根据三角形的内角和定理得到NA0B=18O°-NDA8-NB,代值

求出即可.

［解题策略］对于求某个角的度数的问题，一般是分析这个角是哪一个三角形的内角，其他两个角是否

已

知度数或已知三角之间的数量关系，然后利用三角形的内角和定理进行求解.

例2（教材例2）如图所示的是44。三岛的平面图，。岛在A岛的北偏东50。方向,6岛在A岛的北偏东

80°方向,。岛在/，岛的北偏西40°方向，从8岛看44.两岛的视角N4比是多少度?从C岛看"两岛的视角Z

〔解析〕4内。三岛的连线构成△四，所求的NACB是A/函的一个内角，如果能求出NCAB,就能

求出的度数.

〔解题策略）解答本题关键是明确方向角的定义，知道题目所给出的角的度数，再运用平行线的性质和

三角形的内角和定理解答问题.

叵课堂小结

1.三角形内角和定理:三角形的内角和为180°.

2.三角形内角和定理的证明:思路是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角,在转化过程中

借助平行线.

3.三角形内角和定理的应用:直接根据三角形中角的关系，用代数方法求三个角.

区板书设计

第I课时

一、三角形内角和定理的验证

二、三角形内角和定理的证明

三、例题讲解

览布置作业

【必做题】教材第13页练习第1,2题.

【选做题】教材第16页习题11.2第1,2题.

区L教学反思

11.2.1三角形的内角第②课时

Q教学目标

1.会用符号和字母表示直角三角形.

2.掌握"直角三角形的两个锐角互余”的性质.

3.会用"两锐角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形及证明几何中的垂直问题.

①教学重难点

【重点】探索并掌握直角三角形的性质定理和判定定理.

【难点】有关推理表述及性质定理和判定定理的应用.

旧教学过程

新课导入

E导入一：1.要求学生观察图形，找出图中所包含的直角

三角形.2.回顾已学习的直角三角形知识,如:直角三角形及相关概念——直角边、斜边等.

【板书】有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

导入二：【提出问题】

问题1复习:三角形的内角和为多少？

问题2在中,N△90°,N4与N8有什么关系?请说明理由.

隆童知构建----------------------、直角三角形的表示方法

【问题】三角形ABC表示成A48C直角三角形应该如何表示呢？

【师】直角三角形可以用符号"口△”表示.

如图所示，直角三角形力a,表示方法:RtA4伙;直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边.

4

直

斜

边

角

边

‘’二、探究直角三角形的性质思路一

【活动一】根据以上问题，教师指导学生借助三角板进行分析、计算,学生能够得到/小60。,教师引导

学生总结乙4和之间的关系.

【活动二】请同学们画一个直角三角形4园其中/上90。,用量角器分别量出/4N8的度数，并且求

出N/+N8的值.

【追问】通过对问题的计算你发现//和N8有什么关系？

【师生活动】学生讨论后,小结得出:直角三角形的两个锐角互余.

【追问】结合图形你能写出已知、求证和证明吗？

【师生活动】学生回答，教师板书，师生共同完成证明过程.同时教师指出,经过证明的这个结论被称为

”直角三角形性质定理”.

【追问】此直角三角形性质用几何语言该怎样表示？

几何推理过程：

在Rt△4回中，

VZJ+Z/?+ZO180°（三角形内角和定理），

而90°,

二NA+N片90°,

即直角三角形的两个锐角互余.

［知识拓展］直角三角形中的直角为90。,而三角形的内角和为180。,故另外两个锐角的和为90°.以后我

们在求直角三角形中锐角的度数时，就可以直接利用直角三角形的这个性质进行解答,而不必再去用三角形

的内角和定理.

思路二1.算一算:直角三角形的两个锐角有怎样的数量关系？

2.直角三角形性质定理:直角三角形的两个锐角互余.结合图形给出定理的几何语言.

如图，乙4和是Rt的两个锐角厕N4+N后90°0B

【练习】

1.在A48C中,NC=90°,N走54°,则/比度.

2.在三角形中,有一个锐角为42.5度,能求出另一个锐角度数吗?

［答案］L36

2.不能，没有给出直角三角形这个条件，不能运用性质.

找一找:已知:如图，在A4附中,N"®=90。,切是斜边A?上的高.

⑴图中有几对互余的角？

(2)有几对相等的锐角？

根据性质定理找到三对互余的角,分别是比9O°,N4+N409O°,N比沙N庐90°.还可以根据/

〃》=90。,得到N40/a作90°.故图中共有四对互余的角.

从而根据同角的余角相等得到两组相等的角,N/f=N8C〃N代N｛微

例1(教材例3)如图,NON氏90°,4〃比’相交于点£NC4£"与有什么关系?为什么?

【师生活动】⑴要想找出/。£与2〃跖有什么关系，它们不在同一个三角形中，通过观察知它们是在

两个不同的直角三角形中的锐角,只要找另外两个锐角的关系即可;(2)学生独立完成解题过程，一名学生板

书;(3)师生共同分析板书学生解题过程是否合理规范.

解在MCE中,Ze90°,所以ZCAE+除90°,

在KBDE中,N/90°,所以N能*90°,

因为//由N啊对顶角相等)，

所以NCA炉NDBE.

三、探究直角三角形的判定

【师生活动】学生独立思考，然后小组讨论、交流，形成结论,汇报交流结果，教师做好指导和评价.

【教师提出问题】参照直角三角形性质的几何推理过程判定定理几何推理过程又该怎样表示呢?

【学生书写推理过程】推理过程如下：

【师生活动】学生独立思考，然后小组交流,并相互批改.

【总结】有两个锐角互余的三角形是直角三角形.

例2如图⑴所示，在MBC中,若NACANB◎工AB于D.A4比■为直角三角形吗?为什么?

A

I)

［解题策略］本题综合考查了直角三角形的性质和判定，根据已知，通过角与角之间的转化关系,获得三

角形中两个锐角之和为90。,从而证明是直角三角形.

变式如图⑵所示在Rt吃■中/月变=90。,〃£分别在AB,AC上若△/）劭为直角三角形吗?试说

明理由.

在教师完成例题的证明后由学生独立完成本题，重在锻炼学生知识迁移能力.

场课堂小结

1.直角三角形的表示方法:RtA.

2.直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余.

3.直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形.

区板书设计

第2课时

一、直角三角形的表示方法

二、探究直角三角形的性质

三、探究直角三角形的判定

后布置作业

【必做题】教材第14页练习第1,2题.

【选做题】教材第16页习题11.2第7题.

O教学反思

11.2.2三角形的外角

$教学目标

1.理解外角的定义并能够识别三角形的外角.

2.理解三角形外角的性质，能够用三角形外角性质求与三角形有关的角的度数.

3.能够用三角形的外角性质解决生活中的实际问题.

（加教学重难点

【重点】三角形外角的识别及外角性质的运用.

【难点】运用三角形外角性质进行有关计算时，能准确地表达推理的过程和方法，并能够迁移到生活中.

5教学过程

F新课导入导入一:

（提出问题）

1.三角形的内角和定理是什么?那么你是用什么方法得到这个结论的呢?怎样用硬纸板证明这一结论呢？

2.学生根据要求完成操作.

3.把学生的拼图在黑板上展示，学领察.

学生回忆三角形的内角和定理,并说出证明的方法:拼图、推理、画出图形，进行表述.

导入二:两只猎豹在如图所示的』处发现一只野牛独自在。处，猎豹打算用迂回的方式，先由一只从4前进到

。处,然后再折回在8处截住野牛,另一只直接从4处扑向野牛，已知N物上40。,N4除70”,则猎豹从C处要转

多少度才能直达8处？'）~HC）

臣新知构建

一、三角形外角的定义（教师提出问题）

1.观察图形切与N4"在位置上有什么关系？Hc'）

2.对于而言,N40在初比的内部还是外部？

学生回答教师问题，继而师生共同总结三角形外角的定义.

板书:像N4切这样三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.

二、三角形外角性质的探究

思路一问题1如图，在△/成'中，分另U度量N/1和的大小，并且度量/的大小.»

B〃问题2N4和N8的和与N4S有什么关系?再画一个图形试一下!

【师生活动】学生进行操作、探究、交流后得到结论教师引导学生用自己的语言总

结三角形外角的这一性质.【结论】三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.老师引导学生回顾三

角形内角和定理的证明方法.

【师】我们是否可以不加辅助线证明三角形外角的性质?

【生】用等量代换.

【师】在证明三角形外角性质时，采用了等量转化.

学生小组讨论，尝试使用等量代换的思想证明三角形外角的性质，并进行汇报.教师根据学生汇报的情况

有针对性地讲解并点名学生进行板演.

已知:如图所示,4ABe中力为砥延长线上一点.

【教师板书】三角形外角性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

教师布置学生自学教材第15页思考的内容，然后同学间进行交流、讨论，归纳三角形的外角有什么性质,

并提出以下问题：

你能否用证明的方法说明你所归纳的性质?让学生先自己去尝试说一说，互相讨论交流，然后安排学生当

堂发言，师生共同纠正过程中的不当之处，学生归纳得出三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的

两个内角的和.

［知识拓展］因为三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,所以可以得到三角形的外角大于任

意一个和它不相邻的内角.

利用以上的关系证明角之间的不等关系时，应设法把求证中的大角放在三角形的外角位置上，把小角放

在内角位置上，也可以把它们的TB分放在外角或内角的位置上.

例1根据下列图形，分别求出各图中的N1的度数.

〔解析〕根据图形中z1的位置，判断N1是三角形的内角还是外角，选择运用三角形的内角和定理或

外角的性质进行解答.

例2（教材例4）如图所示,期N4切是A4回的三个外角，它们的和是多少?

〔解析〕由图形可知,所求三角均为A/%的外角，所以利用三角形外角的性质把外角转化为三角形内

角和进行计算.

【师生总结】三角形的外角和为360。.

［解题策略］求三角形的外角可以转化为求三角形的内角，再根据三角形内角和知识进行解答.

亘课堂小结

1.三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角.

2.三角形外角的性质:三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.

叵板书设计

11.2.2三角形的外角

一、三角形外角的定义

二、三角形外角性质的探究

叵布置作业

【必做题】教材第15页练习.

【选做题】教材第16页习题11.2第2题.

旧教学反思

11.3多边形及其内角和

11.3.1多边形

Q教学目标

1.正确识别多边形及其顶点、边、内角、外角、对角线，而且牢固掌握这些概念.

2.能够对多边形进行分类，并且了解正多边形的相关概念.

3.掌握多边形对角线条数计算公式,并进行简单的应用.

J教学重难点

【重点】L多边形的有关概念:多边形的边、内角、外角、顶点、对角线.

2.多边形对角线条数公式.

【难点】1.归纳得到多边形对角线条数公式.

2.灵活运用多边形的对角线条数公式进行计算.

旧教学过程

新课导入

JF导入一:

复习才是出以下问题：(1)什么是三角形?

⑵与三角形有关的线段有哪些？

⑶与三角形有关的角有哪些？

学生抢答，教师指导点评,通过类比教学，由三角形的概念推出四边形的概念.

导入二:多媒体（课件1）展示，生活方面、建筑方面等的图片（包含一个或多个明显的多边形）.

c

学:

会

*

4

【问题】请学生观察图片,在图中能找出哪些多边形?

【学生活动】观察图形，然后交流，发表看法.

【教师活动】长方形、正方形、平行四边形等都是四边形,还有边数很多的图形，它们在日常生活、工

农业生产中都有应用.引出本节课课题:多边形.

陷新知构建

一、多边形的定义

思路一【师生活动】学生边观察图片边讨论，教师引导学生回忆三角形的定义，并仿照三角形的定义给

多边形下定义.如果学生回答不完整、不准确，老师给予指正、鼓励.最后板书定义.

多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

【教师质疑】在定义中，为什么要有"在平面内”这一条件呢？

教师展示空间图形给予解释.

【追问】多边形按组成它的线段的条数可以分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由〃

条线段组成，那么这个多边形就叫做〃边形.

思路二问题1观察下列图片，它们由哪些基本图形组成？

问题2你能说出生活中的多边形吗？

教师利用投影出示图片,学生观察图片并进行讨论、交流,之后学生自由发言,这一过程中教师应当关注

学生能否积极地参与到活动中，是否能认真观察、敢于发言.最后教师指明相关的概念.

多边形:在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.按组成多边形线段的条数分为

三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由〃条线段组成，那么这个多边形叫做〃边形.

【教师说明】我们知道,三角形中有三条线段，多边形中有不止三条线段，其定义中还加了一个条件"在

平面内”，这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一平面内，而四点、五点甚至更多的点就有可能在同一平

面内，也有可能不在同一平面内，而我们初中阶段主要探讨的是平面图形，所以应在前面加上条件"在平面

内”.

对于定义应抓住以下四点:①在同一平面内;②一些线段;③首尾顺次相接;④封闭图形.

二、多边形的相关概念【学生活动】学生观察老师给出的图形，然后思考回答.N4Z6/四

Z尸是六边形的内角,N戊为是六边形的一个外角.

教师进而指出，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角

叫做多边形的外角.

【问题】连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做对角线，如右图（课件3）所示，仔■为对角线，那么从六

边形的一个顶点出发可以得到几条对角线呢?六边形一共有多少条对角线?

【师生活动】教师介绍对角线的概念，学生通过画图、自主思考、讨论交流等总结〃边形对角线的条

数计算公式为中.

三、多边形的分类

【师生活动】教师引导学生分析得出:图⑴中，画出四边形力比®的件可一条边所在的直线，整个四边形

都在这条直线的同一侧;图⑵中，画出边磔所在的直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.教师介绍，学生

总结彳导出凸多边形和凹多边形的定义.

凸多边形:画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形者陋这条直线的同侧，那么这个多边形

就是凸多边形.

凹多边形:画出多边形的某一条边所在的直线，如果整个多边形不者解这条直线的同侧，那么这个多边形

就是凹多边形.

【教师活动】在黑板上画T凸多边形和f凹多边形,展示并解析.

【学生活动】任意画一个多边形,并判断属于哪一类多边形.

四、认识正多边形

【多媒体展示】正三角形、正方形、正五边形等.

【师生活动】学生回答，师生共同总结.

正多边形:各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

例1若一个正六边形的周长为36cm,请求出它的边长.

〔解析）正六边形的特点是有六条边，每条边都相等.

解:因为正多边形的边长相等，所以正六边形的六条边都相等，

所以边长为3646=6（cm）.

［解题策略］本题考查的是正多边形的性质，能够熟记正多边形的特征是解题关键.

例2若一个多边形自一个顶点引对角线可把它分割为六个三角形，则这个多边形是几边形?

解:设该多边形的边数为〃，因为〃边形过一个顶点有S-3)条对角线,它们把〃边形分割成了(〃-2)个三角

形，所以〃-2=6,解得n=8,

所以这个多边形是八边形.

［解题策略］解答此类问题可以运用对角线条数计算过程进行分析，也可以画图形进行考虑，明确对角

线是不相邻顶点之间的线段，所以〃边形由一个顶点出发可作(〃-3)条对角线，即可分为(〃-2)个三角形.

臣课堂小结

本节课学习的主要内容有：

1.多边形的定义、内角、外角、对角线等概念，“边形对角线条数的计算公式:誓.

2.多边形的分类.

3.正多边形的定义及性质.

区板书设计

11.3.1多边形

一、多边形的定义

二、多边形的相关概念

三、多边形的分类

四、认识正多边形

度布置作业

【必做题】教材第21页练习第1,2题.

【选做题】教材第24页习题11.3第1题.

旧教学反思

11.3.2多边形的内角和

I耳教学目标

L理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式.

2.灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题.

3.经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生合情推理的能力和语言表达能力,掌握化复杂为简单,

化未知为已知的思想方法.

o教学重难点

【重点】探索多边形的内角和及外角和公式.

【难点】推导多边形的内角和与外角和公式，灵活运用公式解决简单的实际问题.

定新课导入

导入一:

(多媒体课件1展示)【问题1】你还记得三角形内角和是多少吗？

【师生活动】学生思考并回答问题，教师提出问题并对学生的回答进行总结.

三角形内角和定理:三角形内角和是180°.

【问题2】正方形、长方形的内角和是360。,那么任意一个四边形的内角和是否等于360。呢?能证明

你的结论吗？

【师生活动】学生在独立探究的基《出上，分组交流、探讨，汇总解决问题的方法.教师深入小组参与活

动，指导、倾听学生交流,可以在测量、拼图的基础上引导学生利用添加辅助线的方法把四边形转化为三角形.

大家愕然，怎么回事?接着，这位教授对大家的疑问给出了精辟的解答："三角形的内角和为180。不对，不

是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说三角形的外角和为360。!”

把眼光盯住内角,那么三角形内角和为180。,四边形内角和、五边形内角和、…、〃边形的内角和分别是

多少呢？

反新知构建

一、探究五、六边形内角和

【教师讲解】将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角和

的问题.

问题类比前面的过程，你知道五边形的内角和是多少吗?六边形呢?十边形呢?你是怎么得到的呢？

【学生活动】先独立思考每个问题再分组活动，最后总结如下图(课件2).

【教师活动】教师深入小组，并参与小组活动,及时了解学生情况.

从五边形的一个顶点出发可以作2条对角线，将五边形分割为三个三角形彳导到五边形的内角和为

(5-2)刈80。=540。,六边形的内角和为(6-2)><180。=720。.教师进一步启发学生从顶点或边或多边形内部分割

多边形，进而得到多边形的内角和.

二、探究多边形内角和计算公式

问题你知道〃边形的内角和吗？

【学生活动】学生在独立思考的基础上分组活动，推导出〃边形可以转化为(〃-2)个三角形，发现和概

括出边数与内角和之间的关系，归纳总结〃边形的内角和公式，即(〃-2)180。.

【教师活动】教师和学生相互交流，共同归纳总结.

多边形的内角和定理:〃边形内角和等于(〃-2)180。.

画(课件3：教材例1)如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系?

〔解析〕由多边形的内角和公式可知四边形的内角和为360。,若其中两个角的和为180。,则可得到另

两个角的和也为180°.

解:如图所示，四边形防制中,N/+N田180。.

因为N4+N班NON介360°,

所以N*NZM80°.

所以说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.

三、探究多边形的外角和

思路一问题

你能求出六边形的外角和等于多少吗？

【投影】(课件4：教材例2)在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.

六边形的外角和等于多少？

【教师活动】教师板图六边形，画出它们的内角和外角,辅助学生理解和探索，并提出三个问题：

(1)件可一个外角同与它相邻的内角有什么关系？

⑵六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？

(3)上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？

【学生活动】观察图形，思考这三个问题，然后尝试解答.

【解答】六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角,都等于180。,6个外角连同它们各自相邻的内角,

共有12个角，这些角的总和等于6X180。.这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于

6X180°-(6-2)X180°=2X180°=360°.

问题请探究总结多边形的外角和.

【学生活动】学生分组交流、探究、总结多边形的外角和.

【教师活动】教师进行指导、点拨，最后确定定理.

多边形的外角和:多边形的外角和等于360°.

［知识拓展］多边形内角和与外角和的作用：(1)内角和公式的作用:①已知边数，求内角和;②已知内角和,

求边数.⑵外角和定理的作用:①已知各相等外角度数，求多边形边数;②已知多边形边数，求各相等外角的度

数.

思路二L想一想:什么叫做三角形的外角?三角形的外角有几个？

【学生回答】三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫做三角形的外角.三角形有6个外角.

2.(课件5多媒体演示)米老鼠沿五边形广场按逆时针方向跑了一圈提出问题：

⑴米老鼠由一条街道转到下一条街道时，身体转过的是哪个角？

⑵当米老鼠跑完一圈后，身体转过的角度之和是多少度？

学生观察、思考、交流.

(1)多媒体演示加强直观效果彳导出米老鼠身体转过的角是五边形的外角，这五个角的和是五边形的外角

和.你能给多边形的外角和下个定义吗？

类比五边形的外角和定义得到:在一个多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这

个多边形的外角和