2022北京市昌平区高二（上）期末数学真题试卷（学生版）

1/82022北京昌平高二（上）期末数学2022.01第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知直线，则直线的倾斜角为（A） （B） （C） （D）（2）已知，则（A） （B） （C） （D）（3）在的展开式中二项式系数最大的项是（A）第项和第项 （B）第项和第项 （C）第项 （D）第项（4）设椭圆的两个焦点为，过点的直线交椭圆于两点，如果，那么的值为（）（A） （B） （C） （D）（5）已知平行六面体中，设，，，则（A） （B） （C） （D）（6）设，则“”是“直线与直线平行”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于2022年2月4日（星期五）开幕，2月20日（星期日）闭幕.北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.其中七个大项分别为：滑雪、滑冰、雪车、雪橇、冰球、冰壶、冬季两项（越野滑雪射击比赛）.现组委会将七个大项的门票各一张分给甲、乙、丙三所学校，如果要求一个学校4张，一个学校2张，一个学校1张，则共有不同的分法数为（A） （B） （C） （D）（8）在四棱锥中，底面是矩形，平面，为中点，，则直线与所成角的大小为（A） （B） （C） （D）（9）直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点,若，则的面积为（A） （B） （C） （D）（10）已知正三棱锥的底面的边长为2，是空间中任意一点，则的最小值为（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.(11)已知是直线的方向向量，是直线的方向向量，若直线，则_____。(12)在的展开式中所有的二项式系数之和为512，则_______；展开式中常数项的值为___________.(13)双曲线的渐近线方程为 ；若抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则.(14)在空间直角坐标系中，已知点，，，若点在平面内，则 （15）已知圆，直线过点且与圆交于两点，当面积最大时，直线的方程为__________（16）已知正方体的棱长为2，为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面平面.给出下列四个结论：=1\*GB3①△的面积的最大值为； =2\*GB3②满足使△的面积为的点有且只有两个；=3\*GB3③点可以是的中点；=4\*GB3④线段的最大值为.其中所有正确结论的序号是_______．三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(17)（本小题14分）已知过点的直线被圆所截得的弦长为.（=1\*ROMANI）写出圆的标准方程及圆心坐标、半径；（=2\*ROMANII）求直线的方程.(18)（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面,，，.（=1\*ROMANI）求证：平面；（=2\*ROMANII）求直线和平面所成角的正弦值；（=3\*ROMANIII）求二面角的余弦值.(19)（本小题14分）有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人.（=1\*ROMANI）共有多少种不同的坐法？（=2\*ROMANII）如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？（=3\*ROMANIII）如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？(20)（本小题14分）如图,在棱长为1的正方体中，是的中点.（=1\*ROMANI）求证：；（=2\*ROMANII）求证：平面；（=3\*ROMANIII）求点到平面的距离.(21)（本小题14分）已知椭圆：，，，，点在线段上，且，直线的斜率为.（=1\*ROMANI）求椭圆的离心率；（=2\*ROMANII）若直线与椭圆交于两点,弦的中点为，且，求椭圆的方程.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

2022北京昌平高二（上）期末数学参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号12345678910答案BCDCBADCBA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）（12）（13）（14）（15）（16）=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④（第12、13题：第一空3分，第二空2分；第16题:答对一个给2分，答对两个给3分，全对给5分，不选或有错选得0分.）三、解答题(本大题共5小题，共70分)（17）（共14分）解：（=1\*ROMANI）由圆整理得.……2分所以圆心坐标为；圆的半径为.……6分（=2\*ROMANII）①当直线的斜率不存在时，直线方程为.圆心到直线的距离为.此时直线被圆截得的弦长为，符合题意.……8分②当直线的斜率存在时，设直线方程为.……9分因为弦长为，半径为4，所以圆心到直线的距离为.……10分根据点到直线距离公式，解得，……12分所以直线方程为.综上，直线方程为或.……14分（18）（共14分）解：（=1\*ROMANI）在四棱锥中，因为，平面，平面，所以平面.……4分（=2\*ROMANII）因为平面,，所以.以为坐标原点，方向为轴，轴，轴的正方向，如图建立空间直角坐标系.则……5分.所以.……6分设平面的法向量为.则即……7分令，则.所以.……8分设直线和平面所成的角为.因为，所以直线和平面所成角的正弦值为.……10分（=3\*ROMANIII）因为，，，所以平面.所以平面的法向量为.……11分所以.……13分由题知，二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.……14分（19）（共14分）解：（=1\*ROMANI）7个人分成两排就座，第一排4人，第二排3人,共有种不同的坐法.……4分（=2\*ROMANII）法一：甲和乙都在第二排，有种不同的坐法；……9分法二：甲和乙都在第二排，有种不同的坐法；……9分（=3\*ROMANIII）法一：如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有种不同的坐法.……14分法二：如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有种不同的坐法.……14分法三：甲坐在第一排的中间，乙坐在第二排的中间两个位置，共有种不同的坐法；乙坐在第一排的中间，甲坐在第二排的中间两个位置，共有种不同的坐法；甲和乙坐在第二排的中间两个位置，共有种不同的坐法；所以甲和乙不能坐在每排的两端，共有720种不同的坐法.……14分（20）（共14分）解：（=1\*ROMANI）法一：在正方体中，连结.因为平面，平面，所以.……1分因为，，所以平面.……3分因为平面,所以.……4分法二：因为,所以以为坐标原点，方向为轴，轴，轴的正方向，如图建立空间直角坐标系.则……1分.所以.……2分因为，……3分所以.……4分（=2\*ROMANII）因为，……5分设平面的法向量为.则即令，则.所以.……7分因为，所以.……8分因为平面，所以平面.……9分（=3\*ROMANIII）因为，……10分所以.……14分所以点到平面的距离为.（21）（共14分）解：（=1\*ROMANI）设，则，.……1分因为，所以.……2分因为，所以.……3分所以，解得.……4分根据，得到.……5分所以.……6分（=2\*ROMANII）由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线方程为.……7分由，得到.……8分