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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年云南省文山州高二(上)期末数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−2x−8<0},B={−2,0,1,3},则A∩B=A.{0,1} B.{−2,0,1} C.{0,1,3} D.{−2,0,1,3}2.已知复数z满足z2−2iz−1=0,则z−A.−1 B.1 C.i D.−i3.抛物线y=2x2的焦点坐标是(
)A.(12,0) B.(−12,0)4.在空间直角坐标系中,已知向量a=(3,2,2−m),b=(m,9,−3),若a⊥b,则A.−2 B.2 C.4 D.−45.若双曲线x2a2−y2b2A.y=±2x B.y=±2x C.y=±6.已知f(x)=(a−2)x+5,x<1,−ax2+x,x≥1在(−∞,+∞)上满足f(xA.(0,2) B.[12,2) C.[7.已知长方体ABCD−A1B1C1D1的体积为16A.2053π B.16058.已知点O(0,0),点P满足|PO|=1,则点P到直线x−my−3=0的距离的最大值为(
)A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团,该校共有2000名同学,每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个,各个社团的人数比例的饼状图如图所示,其中参加朗诵社团的同学有8名,参加太极拳社团的同学有12名,则(
)A.这五个社团的总人数为100
B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C.这五个社团总人数占该校学生人数的5%
D.从这五个社团中任选一人,其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
10.已知圆C1:x2+y2=1,CA.当r=1时,圆C1与圆C2有2条公切线
B.当r=2时,y=1是圆C1与圆C2的一条公切线
C.当r=3时,圆C1与圆C2相离
D.当r=411.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,yA.过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条
B.以PQ为直径的圆与x=0相切
C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥2
D.若三、填空题:本题共3小题,共20分。12.已知平面α过点O(0,0,0),A(2,2,0),B(0,−1,2)三点,直线l与平面α垂直.则直线l的一个方向向量的坐标可以是______.13.将函数y=cos(2x−π6)的图象向右平移φ(0<φ<π14.1911年5月,欧内斯特⋅卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这箭论文中,他描述了用α粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前,卢瑟福希望α粒子能够通过金箔,就像子弹穿过雪一样,事实上,有极小一部分α粒子从金箔工反弹.如图2显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径,则该双曲线的离心率为______;如果α粒子的路径经过点(20,10),则该粒子路径的顶点距双曲线的中心______cm.四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)
在锐角△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知1−cos2A=4sinAsinBsinC.
(1)求1tanB+1tanC的值;
(2)若a=4,求16.(本小题12分)
已知点A是圆C:(x−2)2+(y−2)2=4与y轴的公共点,点B是圆C上到x轴距离最大的点.
(1)求直线AB的方程;
(2)求经过A17.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x−a⋅2x.
(1)当a=2时,求f(x)在[−2,2]上的最值;
(2)设函数g(x)=f(x)+f(−x),若g(x)存在最小值18.(本小题12分)
如图,已知在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB//CD,AA1⊥底面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1,E是B1C1的中点,F是DD1的中点.
(1)求证:19.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,其中一个焦点的坐标为(1,0).
(1)求C的方程;
(2)过左焦点的直线交C于A,B两点,点P在C上.
(i)若△PAB的重心G为坐标原点,求直线AB的方程;
(ii)若△PAB参考答案1.C
2.D
3.C
4.A
5.B
6.B
7.C
8.D
9.BD
10.BC
11.ACD
12.(−2,2,1)(答案不唯一)
13.π614.2
1015.解:(1)由1−cos2A=4sinAsinBsinC及倍角公式,
可得2sin2A=4sinAsinBsinC,
又A∈(0,π2),所以sinA≠0,
故sinA=2sinBsinC,
又A+B+C=π,则sinA=sin(B+C),
则有sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,
由锐角△ABC可知B,C∈(0,π2),故cosBcosC≠0,
因此sinBcosC+cosBsinCcosBcosC=2sinBsinCcosBcosC,
整理可得tanB+tanC=2tanBtanC,
所以1tanB+1tanC=2;
(2)16.解:(1)在圆C:(x−2)2+(y−2)2=4中令x=0,解得y=2,
可知圆C与y轴切于点A(0,2),
结合BC⊥x轴,|BC|=4,点B在x轴上方,可知B(2,4),
所以直线AB的方程为y−24−2=x−02−0,化简得x−y+2=0.
(2)由(1)知A(0,2),B(2,4),
所以线段AB的中点为(1,3),且直线AB的斜率k=1,
可得线段AB的中垂线方程为y−3=−(x−1),即x+y−4=0,
由x+y−4=0y=2x−5,解得x=3y=117.解:已知函数f(x)=4x−a⋅2x,
(1)当a=2时,f(x)=4x−2⋅2x=(2x)2−2⋅2x,
设t=2x∈[14,4],则ℎ(t)=t2−2t,开口向上,对称轴t=1,
所以函数ℎ(t)在[14,1]上单调递减,(1,4]上单调递增,
所以ℎ(t)min=ℎ(1)=−1,ℎ(t)max=ℎ(4)=8,
所以f(x)在[−2,2]上的最小值为−1,最大值为8.
(2)g(x)=f(x)+f(−x)=4x−a⋅2x+4−x−a⋅2−x=(2x+2−x)2−a⋅(2x+2−x18.解:(1)证明:因为AA1⊥底面ABCD,AD⊥AB,
所以以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
可得A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),E(32,12,2),F(0,1,1),C(1,1,0),C1(1,1,2),D(0,1,0),D1(0,1,2),
则CB1=(1,−1,2),CF=(−1,0,1),BB1=(0,0,2),D1E=(32,−12,0),
设平面CB1F的一个法向量为m=(x,y,z),
则CB1⊥mCF⊥m,则CB1⋅m=x−y+2z=0CF⋅m=−x+z=0,
令x=1,可得y=3,z=1,
即m=(1,3,1),
因为D1E⋅m=(1,3,1)⋅(32,−12,0)=0,可得D1E19.解:(1)由题可得ca=1c=1b2=a2−c2,解得:a2=4b2=3,
所以C的方
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