理论力学-自考习题解答 - 白若阳 第10章 动能定理

10-1如图所示铅垂平面系统，质量为m的摆锤与长度为l的不计质量的直杆OA固连，试求摆锤由图示A位置运动至B位置，以及由A位置经过B再到C位置的过程中摆锤重力所做的功。习题习题10-1图解：由A位置运动至B位置：由A位置经过B再到C位置：10-2如图所示，弹簧的原长为l0，刚度系数为k=2000N/m，一端固定，另一端与滑块的中心A连接。试计算下列过程中，弹簧的弹性力所做的功。(1)滑块中心由A1运动至A2；(2)滑块中心由A1运动至A3；(3)滑块中心由A3运动至A1。习题习题10-2图解：(1)滑块中心由A1运动至A2：(2)滑块中心由A1运动至A3：(3)滑块中心由A3运动至A1：10-3如图所示，质量为m、长度为l=3r的均质细直杆AB，可绕水平定轴A转动，刚度系数为k=mg/(4r)、原长为l0=2r的弹簧，一端与杆AB的B端相连，另一端固定于轴A正下方离轴A距离为h=4r的不动点D，在杆AB上作用一逆时针转向的主动力偶，其矩为，试计算杆AB从转到的过程中，主动力偶、弹簧的弹性力和重力所做的功分别为多少?习题习题10-3图解：10-4试写出下列铅垂面内各系统在图示位置的动能。(a)质量为m、长度为l的均质细直杆AB绕水平轴O以角速度作定轴转动。(b)均质细直杆OA、BD的质量分别为，，长度均为l。两杆在中点C用一销钉相连，杆OA绕水平轴O以匀角速度转动，杆BD的B端与沿铅垂滑道滑动的滑块B铰接，滑块B和销钉C的质量不计。(c)鼓轮O由两个质量均为m的均质圆盘固连在一起，并以角速度绕水平轴O作定轴转动，通过不计质量的细绳分别与质量均为m的重物A、B相连，绳与圆盘之间无相对滑动。(d)坦克履带重P，两个车轮的重量均为W。车轮对其中心的回转半径为r/2，两车轮轴间距离为，坦克前进速度为。习题习题10-4图解：(a)(b)（←），点P为杆BD的速度瞬心，（逆时针），则，其中，所以习题习题10-4(b)解答图ABCOD30°P(c)，其中，，所以(d)履带的线长度密度为。履带的AB段静止，履带CD段作平移，其速度为（→），履带的CD段质量为，履带的半圆弧AC段和BD段合起来可视为圆环，作纯滚动，其质量为。两个车轮均作纯滚动。如图所示。车轮的动能：履带CD段的动能：履带AB段的动能：履带的半圆弧AC段和BD段合起来的动能：系统的总动能为习题10-4(d)习题10-4(d)解答图ABCO1DO2a=习题10-5解答图a=10-5如图所示系统由x=0位置静止释放，设定滑轮、动滑轮及绳的质量均不计。重物A、B的质量均为m，试求（1）当x=0.9m时，重物B的速度；（2）重物Ba=习题10-5解答图a=习题1习题10-5图解：(1)求x=0.9m时，重物B的速度：几何关系：，，则(1)动能定理：(2)当x=0.9m时，由，则（↓）(2)重物B发生的最大位移：由动能定理表达式(2)可知，当重物B下降最大位移xmax时，系统的动能为零（系统处于静止状态），即，再由几何关系式(1)可知，10-6如图所示铅垂平面系统，均质细直杆AB的重量为G1=40N，长度为l=60cm；均质圆盘B的重量为G2=60N，半径r=20cm，杆AB的两端分别与沿光滑固定不动的铅垂杆滑动的套筒A光滑铰接和与圆盘中心B光滑铰接。系统于图示位置无初速释放，在运动过程中圆盘在水平地面上作纯滚动。试求：（1）当套筒碰到弹簧时（此时杆AB处于水平位置）杆AB的角速度；（2）弹簧的最大变形量，设弹簧的刚度系数为k=2kN/m。习题1习题10-6图解：(1)求杆AB处于水平位置（刚好接触弹簧）时的角速度：如图所示习题1习题10-6解答图BACBAr30°kC该瞬时圆盘B处于瞬时静止，，，。杆AB：（↓），（↓），此瞬时系统的动能为动能定理：（逆时针）(2)求弹簧的最大压缩变形量：当弹簧达到最大压缩变形量时，系统的动能，动能定理：（舍去“-”）10-7如图所示，提升机构的转轮半径为r，质量为m1，视为匀质圆柱体，若在轮上加一常力偶M，使吊起一质量为m2的重物由静止上升。若不计摩擦，试求重物上升h时，所具有的速度和加速度。习题习题10-7图解：假设：重物上升h高度时，转轮转过的角度，则。习题10-7解答图（↑）习题10-7解答图动能定理：(1)（↑）将式(1)对时间求导得到（↑）10-8如图所示，放置于倾角为的固定斜面上的质量为m、半径为r的均质圆盘，其中心A系有一根一端固定，并与斜面平行的弹簧，同时与一根绕在质量为m、半径为r的鼓轮B上不可伸长的张紧绳索相连，直线段绳索与斜面平行。今在鼓轮上作用一力偶矩为M的常力偶，使系统由静止开始运动，且斜面与圆盘之间的摩擦因数足够大，使圆盘A沿斜面向上作纯滚动。已知鼓轮的质心在轮心B处，且鼓轮对过轮心B的水平轴的回转半径为，弹簧的刚度系数为k，且初始时弹簧为原长。若不计弹簧、绳索的质量及轴承B处摩擦，试求鼓轮转过时，圆盘的角速度和角加速度的大小。习题习题REF_Ref126616164\n\h10-8图解：鼓轮B对其质心轴B的转动惯量为当鼓轮转过角度之后，鼓轮B转过的弧长为，弹簧的伸长量为，且，。系统动能的增量为在运动过程中所有力所作的功为动能定理：（顺时针）对该式两边对时间求导得到（顺时针）当时，（顺时针）（顺时针）习题习题10-8解答图10-9如图所示铅垂平面系统，半径为r的均质滑轮O绕其光滑中心轴O作定轴转动，张紧不可伸长的绳子绕过滑轮O与重物A和半径为r的均质圆盘B的中心相连，滑轮O、重物A、圆盘B的重量均为W，柔绳的质量不计且与滑轮无相对滑动。圆盘B相对于倾角为的固定斜面作纯滚动。若系统无初速释放，试求重物A下降h时重物A的速度和加速度。习题习题10-9图解：（顺时针），，（顺时针）初始瞬时系统的动能末了瞬时（任意瞬时）系统的动能在运动过程中所有力对系统所作的功动能定理：(1)（↓）对该式两边对时间求导得到（↓）习题习题10-9解答图10-10如图所示，质量为m，长度为l的均质细直杆AB的A端与光滑水平地面接触，杆初始静止并且处于铅垂位置，今受到微小扰动杆在自重作用下自由倒下。试求杆即将倒地时杆的角速度和质心的速度。习题习题10-10图解：在杆AB运动过程中，