承德期末考试高二数学试卷

承德期末考试高二数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=x^3-3x+2$，则其对称中心为（）

A.（0，-2）B.（1，-2）C.（2，-2）D.（3，-2）

2.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n+1$，则数列$\{a_n^2\}$的通项公式为（）

A.$4n^2+4n+1$B.$4n^2+8n+1$C.$4n^2+4n-1$D.$4n^2+8n-1$

3.已知复数$z=2+i$，则$|z|$的值为（）

A.$3$B.$2$C.$1$D.$\sqrt{5}$

4.已知函数$y=x^2-4x+4$，则该函数的图像为（）

A.抛物线B.双曲线C.直线D.椭圆

5.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2+2n$，则该数列的公差为（）

A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$

6.已知函数$y=\frac{1}{x}$，则该函数在定义域内（）

A.有最大值B.有最小值C.无最大值也无最小值D.有最大值和最小值

7.已知三角形的三边长分别为$a$，$b$，$c$，若$a^2+b^2=c^2$，则该三角形为（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.梯形

8.已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，则该数列的公比为（）

A.$q$B.$\frac{1}{q}$C.$q^2$D.$\frac{1}{q^2}$

9.已知函数$y=\log_2x$，则该函数在定义域内（）

A.有最大值B.有最小值C.无最大值也无最小值D.有最大值和最小值

10.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=n^2-n$，则数列$\{a_n^2\}$的前$n$项和为（）

A.$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$B.$\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$C.$\frac{n(n+1)(2n-1)}{3}$D.$\frac{n(n+1)(2n-1)}{6}$

二、判断题

1.函数$y=\frac{1}{x}$的图像是关于原点对称的。（）

2.在直角坐标系中，若点$A(1,2)$和点$B(3,4)$，则线段$AB$的中点坐标为$(2,3)$。（）

3.二项式定理中的系数$C_n^k$表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数。（）

4.平面向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积等于它们的模长乘积和夹角余弦值的乘积。（）

5.在等差数列中，任意两项之和等于它们在数列中的位置之和。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=x^2-4x+3$的图像的顶点坐标为$(-1,2)$，则该函数的解析式为_______。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前三项分别为$2$，$5$，$8$，则该数列的通项公式为$a_n=$_______。

3.复数$z=3-4i$的共轭复数为_______。

4.若函数$y=\log_2(x+1)$的图像向左平移$2$个单位，则新函数的解析式为$y=\log_2(x+1-2)$，即$y=\log_2(x)$，故该函数的定义域为_______。

5.若等比数列$\{a_n\}$的第一项为$3$，公比为$-2$，则该数列的前$5$项和$S_5=$_______。

四、简答题

1.简述二次函数图像的顶点坐标与函数解析式的关系，并给出一个例子说明。

2.如何求解一个二次方程的根？请说明求根公式及其适用条件。

3.请解释等差数列和等比数列的前$n$项和的公式，并说明它们的区别。

4.简述复数的概念及其基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。

5.请解释函数的连续性和可导性的概念，并举例说明这两个概念在实际问题中的应用。

五、计算题

1.计算下列函数的导数：$f(x)=\sqrt{x^4-8x^2+16}$。

2.解下列二次方程：$x^2-6x+9=0$。

3.求等差数列$\{a_n\}$的前$10$项和，其中$a_1=3$，公差$d=2$。

4.已知复数$z_1=2+3i$和$z_2=4-5i$，求$z_1z_2$和$z_1/z_2$。

5.求函数$y=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$处的切线方程。

六、案例分析题

1.案例背景：某工厂生产一批产品，已知每件产品的成本为$100$元，售价为$150$元。根据市场调查，每增加$1$元的售价，销量会减少$5$件。假设工厂生产的总成本为$50000$元。

案例分析：

（1）求该产品的需求函数和收入函数。

（2）求该产品的利润函数，并找出使利润最大化的售价。

（3）根据利润最大化条件，计算工厂应生产的产品的数量。

2.案例背景：某班级有$30$名学生，其中$18$名男生，$12$名女生。该班级进行数学测试，男生平均分为$80$分，女生平均分为$85$分。为了提高整体成绩，学校决定进行一次补考。

案例分析：

（1）计算该班级在补考前后的平均分。

（2）如果补考后男生的平均分提高至$82$分，女生的平均分保持不变，计算补考后班级的平均分。

（3）假设补考后班级的平均分达到$85$分，计算至少需要多少名男生或女生在补考中得满分（满分$100$分）。

七、应用题

1.应用题：某商店为促销活动，对一件标价为$200$元的商品进行打折销售。已知顾客购买时，每满$100$元可以返现$10$元，且顾客还可以享受$20\%$的折扣。请计算顾客实际支付的金额。

2.应用题：一辆汽车以$60$公里/小时的速度行驶，在行驶了$3$小时后，速度降低到$40$公里/小时，继续行驶$2$小时后，速度又降低到$30$公里/小时。求汽车在这$7$小时内行驶的总距离。

3.应用题：某工厂生产两种产品，第一种产品每件利润为$20$元，第二种产品每件利润为$30$元。已知工厂每月生产成本为$1000$元，每月至少需要生产$50$件产品。求工厂每月至少需要生产多少件产品才能保证利润不低于$3000$元。

4.应用题：某班有$40$名学生，其中有$25$名学生参加了数学竞赛，$20$名学生参加了物理竞赛，$15$名学生同时参加了数学和物理竞赛。求只参加数学竞赛的学生人数和只参加物理竞赛的学生人数。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B

2.A

3.D

4.A

5.A

6.C

7.A

8.A

9.C

10.C

二、判断题

1.×

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.$f(x)=x^2-4x+3$

2.$a_n=2n+1$

3.$3+4i$

4.$(-1,2)$

5.$-3125$

四、简答题

1.二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。例如，对于函数$y=x^2-4x+3$，顶点坐标为$(-1,2)$。

2.二次方程$ax^2+bx+c=0$的根可以用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$来求解，适用于$a\neq0$且$b^2-4ac\geq0$的情况。

3.等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，等比数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。等差数列的公差是相邻两项之差，等比数列的公比是相邻两项之比。

4.复数$z=a+bi$的共轭复数为$z^*=a-bi$。基本运算包括加法$z_1+z_2=(a+b)+(c+d)i$，减法$z_1-z_2=(a-b)+(c-d)i$，乘法$z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$，除法$z_1/z_2=\frac{(ac+bd)}{(a^2+b^2)}+\frac{(ad-bc)}{(a^2+b^2)}i$。

5.函数的连续性指函数在某一点处可以无限接近该点的函数值，可导性指函数在某一点处的导数存在。例如，函数$y=x^2$在$x=0$处连续且可导。

五、计算题

1.$f'(x)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^4-8x^2+16})=\frac{1}{2}(x^4-8x^2+16)^{-\frac{1}{2}}(4x^3-16x)=\frac{2x^3-8x}{\sqrt{x^4-8x^2+16}}$

2.$x^2-6x+9=(x-3)^2=0$，解得$x=3$。

3.$S_{10}=\frac{10(3+2(10-1))}{2}=10(3+18)=10(21)=210$

4.$z_1z_2=(2+3i)(4-5i)=8-10i+12i-15i^2=23+2i$，$z_1/z_2=\frac{2+3i}{4-5i}=\frac{(2+3i)(4+5i)}{(4-5i)(4+5i)}=\frac{23+2i}{41}$

5.$y'(x)=3x^2-12x+9$，$y'(2)=3(2)^2-12(2)+9=3$，切线方程为$y-1=3(x-2)$，即$y=3x-5$

六、案例分析题

1.需求函数$Q(p)=-5p+150$，收入函数$R(p)=(-5p+150)p=-5p^2+150p$，利润函数$L(p)=R(p)-50000=-5p^2+150p-50000$，最大利润时$p=30$，实际支付金额为$90$元。

2.总距离$D=60\times3+40\times2+30\times2=180+80+60=320$公里。

3.利润函数$L(x,y)=20x+30y-1000$，不等式$20x+30y\geq3000$，解得$x\geq50$或$y\geq50$，至少需要生产$50$件产品。

4.只参加数学竞赛的学生人数为$25-15=10$，只参加物理竞赛的学生人数为$20-15=5$。

知识点总结：

1.函数与导数：包括函数的基本概念、导数的定义和计算、复合函数的求导等。

2.方程与不等式：包括一元二次方程的解法、不等式的解法、不等式组的解法等。

3.数列：包括等差数列和等比数列的定义、通项公式、前$n$项和公式等。

4.复数：包括复数的概念、基本运算、复数的几何意义等。

5.应用题：包括函数在实际问题中的应用、数列在实际问题中的应用、方程组在实际问题中的应用等。

各题型所考察学生的知识点详解及示例：

1.选择题：考察学生对基础知识的掌握程度，例如函数图像、数列通